Exercícios Resolvidos de Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

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Enunciado

Determine a rotação da mola da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de β 10 .

  • Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

Porém temos uma carga concentrada, que podemos analisar em uma estrutura separada, e usar superposição de efeitos. Nesse caso temos que fórmula a ser usada é:

Sendo assim a nossa conta será:

Com isso teremos que:

β 10 = 540 + 225 = 765   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 3 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 = 3 1 2

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 48   .   10 5   .   1 = 48   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 3 E J l 1 + 48   .     10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 + 48   .     10 5 . 1 E J  

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 + 48   .   10 5 12   .     10 5 = 3 1 2 + 48 12 = 4,25

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo:

765 + 4,25 ∆ 1 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 180

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 180   . 1 E J = - 180   . 1 12   .   10 5 = - 1,5   .     10 - 4   r a d

Resposta

∆ 1 = - 1,5   .     10 - 4   r a d