Exercícios Resolvidos de Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

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Enunciado

Determine a rotação da mola da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é simplificar a nossa estrutura, ou seja, podemos ver que temos um balanço ali do lado direito, que podemos trocar por um momento que faça o mesmo que o balanço, ou seja, no nosso caso, o balanço no apoio B produz uma tração em cima, logo, precisamos ali de um momento que tracione as fibras da parte de cima, dessa maneira teremos que:

Passo 2

A segunda coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 3

Como só temos uma chapa, que é a chapa da mola, para o segundo passo, que é a determinação dos termos zero, iremos determinar apenas o valor de β 10 .

  • Perceba que a barra possui um apoio de um lado (no ponto B) e uma chapa de outro (no ponto A), logo será do tipo engastado apoiado, e a carga nela é distribuída, sendo assim nossa tabela será:

E na barra ainda temos um ponto muito importante, temos um momento de 100 kNm agindo na extremidade rotulada, se temos um momento ali, seria como se aquilo fosse um “engaste” porém perceba que não é. O motivo de eu estar chamando de engaste é para lembrarmos que em uma barra Bi-engastada, ou seja, como momentos fletores em ambos os lados, a quantidade de momento que ela transfere para a outra extremidade é metade do que age na primeira extremidade, ou seja, se temos de um lado um momento de 100 kNm no sentido horário, ele vai transferir para o outro lado metade, ou seja, 50kNm e NO MESMO SENTIDO do momento inicial, ou seja, horário também.

Essa é a única parada que devemos tomar cuidado, iremos representar isso no desenho ali embaixo, mas achei que seria bom deixar bem explicadinho aqui em cima o motivo do que vai acontecer ali em baixo, exatamente pra não deixar dúvidas, beleza? Então vamos lá.

Com isso teremos que:

β 10 = 312,5 - 50 = 262,5   k N m

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 3 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 = 3 10

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 5 0   .   10 5   .   1 = 5 0   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 3 E J l 1 + 5   .     10 5 . 1 E J  

Substituindo teremos que:

β 11 = 3 l 1 + 5 0   .   10 5 0,6   .     10 5 = 3 10 + 50 0 6 = 83,63

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo:

262,5 + 83,63 ∆ 1 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 3,14

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 3,14   . 1 E J = - 3,14   . 1 0,6   .   10 5 = 5,23   .     10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = 5,23   .     10 - 5 r a d