Exercícios Resolvidos de Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

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Enunciado

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga. E J = 10 7   k N m / r a d .

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é eliminar o trecho em balanço, para fazer isso a gente substitui a força por uma força de igual valor e um momento associado:

Agora vamos começar o problema fazendo a substituição de alguns apoios por chapas. Sempre vamos substituir o apoio elástico engastado por uma chapa e no caso do problema o apoio central possui uma deslocabilidade interna, então também deve ser substituído por chapa. Assim vamos ter:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra com 4 m   possui chapa de ambos os lados, e ela possui apenas uma carga concentrada, sendo assim nossa tabela será:
  • Já para a barra com 6   m nós vamos ter um lado engastado e outro apoiado, sendo submetido à um momento.

Portanto, utilizando essas duas informações vamos ter:

Onde:

P a b 2 l 2 = 400 × 3 × 1 2 4 2 = 75   k N . m

E

P a 2 b l 2 = 400 × 3 2 × 1 4 2 = 225   k N . m

A gente só tem que lembrar que o momento de 600   k N . m é transferido ao engaste pelo fator de 0,5 .

Com isso teremos que:

β 10 = 75   k N m

β 20 = - 225 - 300 = - 525   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 4

β 21 = 2 l 1 = 2 4

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que a chapa 1 é uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 .

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 36   .   10 5   .   1 = 36   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 36   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 36   .   10 5 10 7 = 4 4 + 36 100 = 1,36

β 21 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado e o engastado-apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2

β 12 = 2 E J l 1

Usando o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 3 E J l 2 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 3 l 2 = 4 4 + 3 6 = 1,5

β 12 = 2 l 1 = 2 4 = 0,5

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

75 + 1,36 ∆ 1 + 0,5 ∆ 2 = 0

- 525 + 0,5 ∆ 1 + 1,5 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 209,50   r a d

∆ 2 = 419,83   r a d

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez (porque utilizamos a rigidez relativa):

∆ 1 = - 209,50 . 1 E J = - 209,50 . 1 10 7 = - 2,1   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 419,83   . 1 E J = 419,83   . 1   10 7 = 4,2 .   10 - 5 r a d

Resposta

∆ 1 = - 2,1   .   10 - 5   r a d

∆ 2 = 4,2 .   10 - 5 r a d