Exercícios Resolvidos de Apoios elásticos – Caso com Engastamento elástico

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Enunciado

Determine a rotação das seguintes molas da seguinte viga:

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar as deslocabilidades internas, que no nosso caso podemos ver que se tratam de apoios extremos de uma viga e que em teoria não teria deslocabilidades internas, certo? Porém lembre-se da nossa nova regrinha que no lugar das molas do tipo engaste elástico devemos colocar chapas, sendo assim a nossa estrutura será:

Passo 2

Vimos também no início dessa aula que para o sistema zero solucionamos o nosso problema como se não existisse a mola, ou seja, basta determinarmos os valores de β 10 e β 20 . Para isso temos:

  • Perceba que a barra possui chapa de ambos os lados, e ela possui uma carga distribuída e uma carga concentrada, sendo assim nossas tabelas serão:

Como temos dois tipos de cargas diferentes, iremos separar os carregamentos verificando cada um isoladamente na estrutura, e depois juntamos tudo, sendo assim teremos que:

Com isso teremos que:

β 10 = 810 + 810 = 1620   k N m

β 20 = - 810 - 810 = - 1620   k N m

Passo 3

Sabemos que para solucionarmos o sistema 1, basta que rotacionemos a chapa 1, e com isso teremos como determinar o β 11   . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 11 = 4 E J l 1

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 1 E J

β 21 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 = 4 9

β 21 = 2 l 1 = 2 9

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 1, que é essa mola em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 11 mas não ao fator β 21 . Porque não somamos ao β 21 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 1, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da segunda mola vai ser contabilizada, quando rotacionarmos a segunda mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

Temos que tomar cuidado de usar nesse caso o K da mola que rotacionamos, nesse caso, a mola representada pela chapa 1.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 24   .   10 5   .   1 = 24   .     10 5

Somando teremos que:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5

β 21 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 11 = 4 E J l 1 + 24   .     10 5 . 1 E J  

β 21 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 11 = 4 l 1 + 24   .   10 5 96   .     10 5 = 4 9 + 24 96 = 0,694

β 2 1 = 2 l 1 = 2 9 = 0,222

Passo 4

Sabemos que para solucionarmos o sistema 2, basta que rotacionemos a chapa 2, e com isso teremos como determinar o β 22     e   β 12 . Lembrando que sempre rotacionamos a nossa chapa no sentido anti-horário para mantermos o sinal positivo e sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para a barra respeitando o caso Bi-engastado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 22 = 4 E J l 1

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 1 E J

β 12 = 2 E J l 1 1 E J    

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 = 4 9

β 12 = 2 l 1 = 2 9

Maaaaaaaaaaaaaas é aqui que devemos tomar o nosso cuidado. Lembra que tanto a chapa 1 quanto 2 são uma mola? E que rotacionamos, nesse caso a chapa 2, que é essa mola, em 1 radiano? Ou seja, temos que somar esse momento gerado ao fator β 22 mas não ao fator β 12 . Porque não somamos ao β 12 se ele é uma mola? Porque só temos certeza da rotação que aconteceu na chapa 2, que foi uma rotação de 1 radiano que nós mesmos colocamos. A rotação da primeira mola foi contabilizada, quando rotacionarmos a primeira mola.

Como sabemos, a fórmula a ser usada é:

E tome cuidado de usar o k da mola que foi girada, que nesse caso é a mola representada pela chapa 2.

M m o l a = k   .   θ

M m o l a = 60   .   10 5   .   1 = 60   .     10 5

Somando teremos que:

β 22 = 4 E J l 1 + 60   .     10 5

β 12 = 2 E J l 1

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

1 E J

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 1 + 60   .     10 5 . 1 E J  

β 12 = 2 E J l 1 . 1 E J

Substituindo teremos que:

β 22 = 4 l 1 + 60   .   10 5 96   .     10 5 = 4 9 + 60 96 = 1,069

β 12 = 2 l 1 = 2 9 = 0 , 222

Passo 5

Resolvendo o nosso sistema principal teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 1 2 ∆ 2 = 0

β 2 0 + β 21 ∆ 1 + β 2 2 ∆ 2 = 0

Substituindo:

1620 + 0,694 ∆ 1 + 0 , 222 ∆ 2 = 0

- 1620 + 0 , 222 ∆ 1 + 1,069 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 3019 , 66

∆ 2 = 2142,53

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 1   e   ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 1 = - 3019,66   . 1 E J = - 3019,66   . 1 96   .   10 5 = - 3,15   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 2142,53   . 1 E J = 2142,53   . 1 96   .   10 5 = 2,23   .   10 - 4 r a d

Resposta

∆ 1 = - 3,15   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 2,23   .   10 - 4 r a d