Exercícios Resolvidos de Apoios Elásticos

Ver Teoria

Enunciado

Calcule as reações nos apoios A e B da viga abaixo sabendo que a viga está apoiada por uma mola linear em B e uma mola de rotação em A . Dado: K A = 10 4   k N m / r a d ; K B = 10 4   k N / m ; E J c = 50.10 4   k N . m 2

Passo 1

Pessoal, vamos resolver essa questãozinha que tem uma viga em condição hiperestática e possui duas molas, como dito no enunciado. Uhullll

A primeira coisa que a gente tem que lembrar é que vamos retirar as molas e substituir por apoios fixos. Dessa forma a nossa resolução fica mais fácil pois resolvermos um problema hiperestático normal. Depois, lá no final do problema a gente calcula a parcela relativa aos apoios elásticos e soma tudo.

Vamos ver com calma tudo isso, partiu!

Passo 2

Vamos retirar as molas e substituí-las por outros tipos de apoio. Para isso a gente tem que lembrar que a mola de rotação é substituída por um apoio do tipo engaste ou carrinho. Como o apoio A é de segundo gênero então vamos substituir por um engaste.

Já a mola linear será substituída por um apoio de primeiro gênero. Assim, vamos obter:

Pronto! Chegamos no nosso problema hiperestático convencional. Agora vamos resolvê-lo normalmente.

Passo 3

Este problema hiperestático possui um grau de hiperestaticidade, então vamos quebrar um vínculo (pode ser qualquer um, eu vou quebrar o apoio B porque eu acho ele boboca) a gente só precisa lembrar que temos de colocar uma força equivalente. Dessa forma vamos obter:

Eis que temos o nosso hiperestático X 1 e agora o que temos que fazer é achar o valor desse “indivíduo” escrutável... Para isso vamos dividir o problema em dois sistemas e fazer os seus respectivos diagramas de momento fletor.

Ps: Como, ao dividirmos o problema em dois sistemas, a gente obtém sistemas isostáticos, não vou perder muito tempo fazendo as contas não ok? Só vou mostrar como que fica o resultado para vocês =D

Viram como eu sou bonzinho e além de colocar o diagrama do momento fletor (em azul) ainda coloquei as forças resultantes (em vermelho). Owwnnnnn, que fofis....

Passo 4

Agora a gente tem que lembrar de como calcular o nosso hiperestático X 1 . A gente faz isso através da equação do deslocamento que tem a seguinte forma:

E J c . δ 10 + E J c . δ 11 . X 1 = 0

Então a gente vai precisar achar a deformação do sistema 0 em relação ao sistema 1 ( δ 10 ) e do sistema 1 em relação a ele mesmo ( δ 11 ). Lembrando que vamos fazer isso com ajuda daquela nossa tabelinha marota.

Então vamos lá! Primeiro vamos calcular δ 10 , aqui a gente precisa ficar ligado porque pode parecer que é a combinação de dois triângulos, mas na verdade é um triângulo e um trapézio. Isso acontece porque no sistema 0 o diagrama acaba em x = 4   m assim o triângulo do sistema 1 vira um trapézio =D

A tabela mostra a combinação de um triângulo com um trapézio:

E J c . δ 10 = 1 6 L ' M A ( 2 M - A + M B - )

Substituindo nós vamos ter:

E J c . δ 10 = - 1 6 ( 4 ) ( 200 ) ( 2 × 6 + 4 )

Observe que há um sinal negativo que é introduzido devido aos sentidos opostos do momento fletor.

E J c . δ 10 = - 2133,33

Agora para δ 11 , dessa vez são dois triângulos mesmo:

E J c . δ 11 = 1 3 L ' M B M B -

E J c . δ 11 = 1 3 ( 6 ) ( 6 ) ( 6 )

E J c . δ 11 = 72

Pessoal, achamos os valores de δ 10 e δ 11 já podemos substituir na expressão abaixo?

E J c . δ 10 + E J c . δ 11 . X 1 = 0

A resposta é não =(

Por que a resposta é não? Porque se fizéssemos isso então a gente não estaria considerando a parte dos apoios elásticos, que até agora ainda não apareceram... Vamos ver como eles aparecem.

Passo 5

Para considerarmos a parte relativa aos apoios elásticos nós vamos calcular um novo δ 10 e um novo δ 11 , vamos chamá-los de δ 10 ' e δ ' 11 . Esses novos termos são as deformações de cada apoio elástico e são dados por aquelas equações que vimos na teoria:

E J c δ l i n e a r = E J c F ¯ F K

E J c δ r o t a ç ã o = E J c M ¯ M K

Vamos olhar novamente as reações da nossa viga:

Com as reações vamos poder calcular os valores δ 10 ' e δ 11 ' .

E J c . δ 10 ' = E J c F ¯ F K + E J c M ¯ M K

Agora vamos fazer a substituição:

δ 10 ' = 50.10 4 ( - 1 ) ( 50 ) 10 4 + 50.10 4 ( 6 ) ( - 200 ) 10 4

E J c . δ ' 10 = - 62500

Para δ ' 11 vamos ter:

E J c . δ 11 ' = E J c . F ¯ F K + E J c . M ¯ M K

Substituindo:

E J c . δ 11 ' = 50.10 4 . ( - 1 ) ( - 1 ) 10 4 + 50.10 4 ( - 6 ) ( - 6 ) 10 4

E J c . δ 11 ' = 1850

Passo 6

Agora podemos finalmente utilizar a equação para achar o nosso hiperestático X 1 . Para isso vamos somar os seguintes valores:

E J c . δ 10 + E J c . δ ' 10 = E J c . δ ' 10   ( r e a l )

E J c . δ 11 + E J c . δ ' 11 = E J c . δ ' 11   ( r e a l )

E vamos obter:

- 2133,33 - 62500 = δ 10   ( r e a l )

72 + 1850 = δ 11   ( r e a l )

Obtendo.

δ 10 r e a l = - 64633,33

δ 11 r e a l = 1922

E finalmente podemos substituir na equação do hiperestático:

δ 10 ( r e a l ) + δ 11 ( r e a l ) . X 1 = 0

- 64633,33 + 1874 . X 1 = 0

X 1 = 33,63   k N

Passo 7

Dessa forma vamos ter:

Nós achamos o nosso hiperestático que é B y = 33,63   k N

Pelas equações da estáticas vamos achar:

A x = 0

A y = 50 - 33,63 = 16,37   k N

M A = 33,63 × 6 - 50 × 4 = 1,78   k N . m

Resposta

B y = 33,63   k N

A x = 0

A y = 16,37   k N

M A = 1,78   k N . m