Exercícios Resolvidos de Apoios Elásticos

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Enunciado

Determine as reações de apoio do pórtico abaixo.

u s e   E J = 50   .   10 4   k N . m 2

Passo 1

Fala, galerinha!!! Esse problema pede para acharmos as reações de apoio e para isso é importante a gente perceber que existem dois apoios elásticos e que se trata de uma estrutura hiperestática.

Então a primeira coisa que vamos fazer é trocar os apoios elásticos por apoios simples. Depois nós vamos trabalhar apenas com a estrutura hiperestática, quebrando os apoios e aplicando as forças (hiperestáticos) correspondentes.

Por fim vamos aplicar o conceito dos deslocamentos para achar o hiperestático e o deslocamento pedido!

Passo 2

Vamos achar a estrutura correspondente, sem os apoios elásticos. A mola rotacional irá se transformar num engaste e a mola linear num apoio de primeiro gênero.

Perceba que temos uma estrutura hiperestática com grau hiperestático igual a 1. Então vamos quebrar um dos apoios de forma a obter um sistema isostático:

E como temos um hiperestático vamos dividir em 2 sistemas:

Passo 3

Beleza, agora vamos como vão ficar as nossas equações do deslocamento. Se não tivéssemos as molas a nossa equação seria da seguinte forma:

δ 10 + δ 11 . X 1 = 0

Mas a gente tem dois apoios elásticos que também irão se deslocar, então temos de aplicar o deslocamento referente aos apoios elásticos. Isso acontece da forma:

E J . δ l i n e a r = E J . F . F - K

E J . δ r o t a c i o n a l = E J . M . M - K

Ou seja, para cada δ 10 e δ 11 nós vamos ter na verdade três deslocamentos: o do sistema hiperestático, o da mola linear e o da mola rotacional. Assim vamos ter:

δ 10 ( r e a l ) + δ 11 ( r e a l ) . X 1 = 0

Onde:

δ 10 r e a l = δ 10 + δ 10 m o l a   l i n e a r + δ 10 ( m o l a   r o t a c i o n a l )

δ 11 r e a l = δ 11 + δ 11 m o l a   l i n e a r + δ 11 ( m o l a   r o t a c i o n a l )

Então para resolver nosso sistema nós vamos ter que achar esses 6 deltas ( δ ).

Passo 4

Vamos achar primeiro os deltas da estrutura hiperestática, δ 10 e δ 11 .

Para isso a gente precisa desenhar o diagrama do momento fletor para cada sistema, obtendo:

Agora vamos fazer as combinações, vamos começar com o deslocamento δ 10 que, por ter duas barras com momento fletor nulo, nos fornece apenas a combinação de dois triângulos. Assim, vamos ter:

E J . δ 10 = 1 3 L M M -

Substituindo os valores.

E J . δ 10 = 1 3 ( 6 ) ( 900 ) ( 6 )

E J . δ 10 = 10800

Esse já foi! Agora vamos para δ 11 . Dessa vez vamos ter a combinação de (2 triângulos + 2 retângulos + 2 triângulos)

E J . δ 11 = 1 3 L M M - + L M M - + 1 3 L M M -

Substituindo os valores.

E J . δ 11 = 1 3 6 6 6 + 4 6 6 + 1 3 6 6 6

E J . δ 11 = 288

Para os sistemas hiperestáticos já acabamos agora vamos ver os deslocamentos referentes às molas.

Passo 5

No caso das molas nós vamos ter a linear e a rotacional sendo que para cada uma delas vamos aplicar as duas combinações dos sistemas 10 e 11 . Dessa forma podemos começar pela mola linear. Agora o que importa para nós não é o diagrama de momentos fletores mas sim as reações de cada apoio:

Aplicando a equação da mola linear vamos ter:

E J . δ 10 m o l a   l i n e a r = E J . F 1 . F 0 K

Substituindo os valores vamos obter:

E J . δ 10 m o l a   l i n e a r = 50.10 4 . ( - 150 ) . ( 1 ) 10 3

E J . δ 10 m o l a   l i n e a r = - 7,5.10 4

E vamos fazer a mesma coisa para o sistema 11:

E J . δ 11 m o l a   l i n e a r = E J . F 1 . F 0 K

Substituindo os valores vamos obter:

E J . δ 11 m o l a   l i n e a r = 50.10 4 . ( 1 ) . ( 1 ) 10 3

E J . δ 11 m o l a   l i n e a r = 5,0.10 2

Passo 6

Agora para a mola rotacional. No caso das molas lineares a gente utiliza as forças e para molas rotacionais utilizamos o momento. Lembrando do diagrama de resultantes:

Aplicando o conceito:

E J . δ 10 m o l a   r o t a c i o n a l = E J . M 1 . M 0 K

Aqui não precisamos nem substituir porque no sistema 1 não há momento, logo M 1 = 0 . Dessa forma

δ 10 m o l a   r o t a c i o n a l = δ 11 m o l a   r o t a c i o n a l = 0

Passo 7

Agora que achamos os 6 deltas vamos somar todos:

δ 10 r e a l = 10800 - 7,5.10 4 + 0

δ 11 r e a l = 288 + 5,0.10 2 + 0

Obtendo:

δ 10 r e a l = - 64200

δ 11 r e a l = 788

Agora é só aplicar na equação real:

- 64200 + 788 . X 1 = 0

X 1 = 81,47   k N

Passo 8

Agora é só achar o resto das forças:

Aplicando as equações da estática vamos obter:

R x = 150 - 8 1 , 47 = 68,53   k N

R y = 0

M = 150 × 6 = 900   k N . m

Resposta

R x = 68,53   k N

R y = 0

M = 900   k N . m