Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

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Enunciado

Considere a base

B =   1 1 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 0 0 , 1 0 0 0

de M2( R ) e seja S o subespaço de M2( R ) definido por:

S = [ 0 ,   1 ,   2 , - 1 B ,   ( 2 , - 1 , - 1,3 ) B ] .

Se x, y ∈ R forem tais que x       y 2       3 S , então x − y será igual a:

(a) 4;

(b) 3;

(c) 10;

(d) −5;

(e) −1.

Passo 1

Salve galera! Tudo certinho com vocês? Vamos lá resolver essa questão. Já aviso pra não se assustar com o tamanho dela no começo, pode parecer extensa, mas é porque trabalha com matrizes, então utiliza um bom espaço. Então bora lá!

MEDO DA MATRIZ

A primeira coisa que a a questão nos entrega é que a base B que forma M 2 ( R ) é composta por:

B =   1 1 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 0 0 , 1 0 0 0

E também existe um subespaço S , definido da seguinte forma:

S = [ 0 ,   1 ,   2 , - 1 B ,   ( 2 , - 1 , - 1,3 ) B ] .

Se x, y ∈ R forem tais que x       y 2       3 S

E logo aí a questão nos faz um pergunta especial:

Se x, y ∈ R forem tais que x       y 2       3 S

Ou seja, se essa matriz:

x       y 2       3

Pertence a S . Qual é a subtração de:

x - y = ?

E essa é a nossa pergunta. Como x e y podem ser descritos dentro de uma matriz pertencente ao subespaço vetorial S , então precisamos achar quem são as matrizes descritas por S . Te aguardo no próximo passo!

Passo 2

Show, para achar o nosso subespaço vetorial S, que é descrito por:

S = [ 0 ,   1 ,   2 , - 1 B ,   ( 2 , - 1 , - 1,3 ) B ] .

Vamos primeiro “destrinchar ele”. Para isso, precisamos substituir B na segunda equação e fazer o produto escalar para acharmos quem é esse subespaço vetorial. Você lembra como a gente monta um produto escalar pra esse caso? Segue o fio:

S = 0,1 , 2 , - 1 1 1 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 0 0 , 1 0 0 0 , ( 2 , - 1 , - 1,3 ) 1 1 1 1 , 1 1 1 0 , 1 1 0 0 , 1 0 0 0

Fazemos isso multiplicando cada matriz gerada por B , pelo escalar correspondente vindo de S . Dessa forma:

S = 0 0 0 0 + 1 1 1 0 + 2 2 0 0 + - 1 0 0 0 ,   2 2 2 2 + - 1 - 1 - 1 0 + - 1 - 1 0 0 + 3 0 0 0

Ou seja:

S = 2 3 1 0 ,   3 0 1 2

Belezura, conseguimos achar o S .

Passo 3

Agora vamos olhar para a matriz com a qual temos que achar os valores de x e y :

x       y 2       3

Ora, se a questão fala que essa matriz faz parte de S , significa que cada informação nessa matriz, pertence aos moldes de S . E já que cada vetor dentro de um espaço vetorial, pode ser escrito como uma multiplicação dos vetores do subespaço S por um escalar qualquer pra cada dimensão, então que:

v =   a . i + b . j

Onde i e j são os vetores da base de S . Como já os achamos no passo anterior, vamos substituílos nessa equação.

x y 2 3 =   a . 2 3 1 0     + b . 3 0 1 2

E aqui temos justamente um sistema de equações! Pra montar ele, vamos relacionar os termos que pertecem a mesma posição. Por exemplo, olhando somente para x , que está na posição a 11 (primeira linha e primeira coluna), temos:

2 a   +   3 b   =   x   ( I )

E por aí vai. Montando o sistema de equações pra todos os casos, temos:

2 a + 3 b = x   ( I ) 3 a = y   ( I I ) a + b = 2   ( I I I ) 2 b = 3   ( I V )

Agora é resolver o sistema e encontrar os valores de x e y !

Passo 4

Do sistema conseguimos tirar logo de cara que:

Da equação ( I V ) , b = 3/2.

Portanto:

Substituindo b em ( I I I ) , temos:

a + b = 2

a + 3/2 = 2

a = 0,5

Showzinho, agora substituindo a em ( I I ) , temos:

3a = y

y = 3/2

y = 1,5

E já encontramos o nosso y ! Agora substituindo a e b em ( I ) , temos:

2 a   + 3 b   =   x

x = 2 ⋅ 1 2 + 3 ⋅ 3 2 = 5,5

Passo 5

Perfeito, conseguimos encontrar os valores para as variáveis que a gente tava procurando. Agora como a questão pede, vamos realizar a subtração, aproveitando que sabemos os valores de x e y .

x   –   y   =   5,5   –   1,5

x   –   y   =   4

E olha que coisa: encontramos que a resposta é o item a);

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

Item A ) 4;