Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

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Enunciado

Seja E um espaço vetorial de dimensão n , onde n ≥ 1 . Considere as seguintes afirmações

I   Se uma família de vetores de E é linearmente independente, então essa família contém no máximo n   vetores

( I I ) Se uma família de vetores de E tem exatamente n - 1 vetores, então essa família é necessariamente linearmente independente e não geradora

I I I   S e j a   C = u 1 , u 2 , … , u n   uma família de n vetores distintos de E . Se todo vetor v   de E se escreve como combinação linear dos vetores de C , então a equação

∑ i = 1 n λ i u i = 0 →

Tem como única solução λ i = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n

Então está certo o que se afirma

a   em (I) e (III), somente

b em (I), somente

c em (I) e (II), somente

d nas três afirmações

e em (II) e (III), somente

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa provinha agora pela primeira afirmação da questão.

I   Se uma família de vetores de E é linearmente independente, então essa família contém no máximo n   vetores

Bom, essa afirmação é verdadeira, pois caso uma família de vetores de E tivesse mais de n eles não seriam linearmente independentes. Para provar isso vamos supor que exista essa família, dada por:

B = { b 1 , b 2 , … ,   b n , b n + 1 }

Onde todos são L.I

Como esses n + 1 vetores são L.I, em particular, os n primeiros também serão. Ou seja, a base C, dada por:

C = { b 1 , b 2 , … ,   b n }

É uma base do espaço E.

Ou seja, qualquer vetor de E   é escrito como combinação linear desses n vetores de C, em particular, temos que podemos escrever b n + 1 como combinação desses vetores de C.

b n + 1   = α 1 b 1 + α 2 b 2 + … + α n b n

Ou seja, é impossível B = { b 1 , b 2 , … ,   b n , b n + 1 }

Ser uma família de vetores L.I (pois já mostramos que b n + 1 é combinação dos outros n vetores)

Passo 2

Bora agora para segunda afirmação.

( I I ) Se uma família de vetores de E tem exatamente n - 1 vetores, então essa família é necessariamente linearmente independente e não geradora

Bom, essa afirmação é falsa, basta pensarmos que temos o E = R 3 , ou seja, n = 3 .

Podemos tomar uma família de n - 1 vetores (2 vetores) do tipo:

B = 1,0 , 0 , 2,0 , 0

Basta vermos que essa família não é linearmente independente.

Passo 3

Agora bora para última afirmaçãozinha:

Bom, essa afirmação é verdadeira e sai basicamente a definição de vetores L.I.

Vamos escrever a definição de vetores L.I:

Se v 1 , v 2 , … , v n são L.I → λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + … + λ n v n = 0   ↔ λ 1 = λ 2 = … = λ n = 0

Você se perguntar de onde vem isso, e eu te digo, lembra que quando temos vetores L.I, não conseguimos escrever um deles como combinação dos outros? Ou seja, se fizermos, por exemplo:

- λ 1 v 1 = λ 2 v 2 + … + λ n v n

Como v 1 , v 2 , … , v n são L.I, é impossível escrever o vetor - λ 1 v 1 como combinação dos outros vetores, ou seja, essa equação só é verdadeira quando os 2 lados são zero, ou seja:

λ 1 = λ 2 = … = λ n = 0

Bom, é isso que a afirmação (III) nos diz, uma vez que se temos n vetores em E dos quais qualquer vetor de E é escrito como combinação desses n, podemos afirmar que essa família C é L.I, mais ainda, C é uma base de E. Ou seja, a única solução de λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + … + λ n v n = 0   é   λ 1 = λ 2 = … = λ n = 0

Resposta

Letra A