Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

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Enunciado

Os vetores x 1 = 1 2 2 , x 2 = 2 5 4 , x 3 = 1 3 2 , x 4 = 2 7 4 , x 5 = 1 1 0 geram R 3 .

Retire algum (ou alguns) elementos de { x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 } de modo a obter uma base para R 3 .

Passo 1

Como queremos uma base para R 3 , devemos tirar 2 vetores de { x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 } , de modo a ficarmos com apenas 3 vetores e assim termos dimensão 3, como desejado ok?

Os 3 vetores que vão ficar no conjunto devem, necessariamente, ser L.I., pois queremos que eles formem uma base certo?

Lembrando que pra um conjunto de vetores serem LI é necessário que

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … = 0

Somente se TODOS os coeficientes forem 0. Se umzinho for diferente de zero então o conjunto é LD.

Passo 2

Vamo fazer uma estratégia aqui! Primeiro vamos pegar dois vetores que sejam LI entre si, assim nós vamos ter R 2 . A partir daí a gente pega um terceiro vetor pra e aí verificamos se os 3 são LI.

Vamos pegar o primeiro e segundo

α 1 x 1 + α 2 x 2 = 0

α 1 1 2 2 + α 2 2 5 4 = 0 0 0

Que nos dá as seguintes equações

α 1 + 2 α 2 = 0

2 α 1 + 5 α 2 = 0

2 α 1 + 4 α 2 = 0

A primeira e terceira equação até concordam entre si, né? Mas botando a segunda equação na história a única solução possível é α 1 = α 2 = 0 . Isso significa que esses dois vetores são LI

Passo 3

Agora vamos colocar o vetor x 3 e ver o que acontece

α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 = 0

α 1 1 2 2 + α 2 2 5 4 + α 3 1 3 2 = 0 0 0

Montando o sistema de equações pra esse caso vamos ter

α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0

2 α 1 + 5 α 2 + 3 α 3 = 0

2 α 1 + 4 α 2 + 2 α 3 = 0

Olhando pra esse sisteminha, vemos que a terceira equação é igual a primeira (só que multiplicada por 2). Isso nos dá um sistema com 2 equações e 3 variáveis, então no melhor caso possível o sistema tem uma solução com um parâmetro livre.

Então não temos só uma solução com todos parâmetros nulos, o que significa que esses vetores são LD

Passo 4

Agora vamos usar o vetor x 4

α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 4 = 0

α 1 1 2 2 + α 2 2 5 4 + α 3 2 7 4 = 0 0 0

O que nos dá o seguinte sistema

α 1 + 2 α 2 + 2 α 3 = 0

2 α 1 + 5 α 2 + 7 α 3 = 0

2 α 1 + 4 α 2 + 4 α 3 = 0

Aconteceu a mesma coisa do passo anterior, né? A terceira equação é duas vezes a primeira, então esse conjunto é LD também :/

Passo 5

Então vamos pro quinto vetor

α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 5 = 0

α 1 1 2 2 + α 2 2 5 4 + α 3 1 1 0 = 0 0 0

O que nos dá o seguinte sistema de equações

α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0

2 α 1 + 5 α 2 + α 3 = 0

2 α 1 + 4 α 2 = 0

Da terceira equação

α 1 = - 2 α 2

Jogando na primeira equação

- 2 α 2 + 2 α 2 + α 3 = 0 → α 3 = 0

Jogando esses dois resultados na primeira

2 - 2 α 2 + 2 α 2 + 0 = 0 → - 2 α 2 = 0 → α 2 = 0

Voltando para α 1

α 1 = 0

A única solução do nosso sistema é que todos os parâmetros são zero! Isso significa que esse conjunto é LI! Uhullll! Achamos :D

Resposta

{ x 1 ,   x 2 ,   x 5 }