Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2016.2, Questão 3

Considere o sistema

X ' t = - 1 - 1 1 - 3 X t

Encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 1 - 1 1 - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 1 - λ - 1 1 - 3 - λ = 0

- 1 - λ - 3 - λ - - 1 . 1 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 1 = 0

λ 2 + 4 λ + 4 = 0

λ + 2 2 = 0

λ 1 = λ 2 = - 2

Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores iguais o sistema para achar α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Com os nossos valores vai ficar

- 2 α + β = e - 2 t   α = t e - 2 t

Já temos de cara o valor de α

α = t e - 2 t

O valor de β vai ser

β = 2 α + e - 2 t

β = 2 t e - 2 t + e - 2 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = t e - 2 t - 1 - 1 1 - 3 + 2 t e - 2 t + e - 2 t 1 0 0 1 C 1 C 2

X = - t e - 2 t - t e - 2 t t e - 2 t - 3 t e - 2 t + 2 t e - 2 t + e - 2 t 0 0 2 t e - 2 t + e - 2 t C 1 C 2

X = t e - 2 t + e - 2 t - t e - 2 t t e - 2 t - t e - 2 t + e - 2 t C 1 C 2

X = C 1 t e - 2 t + C 1 e - 2 t - C 2 t e - 2 t C 1 t e - 2 t - C 2 t e - 2 t + C 2 e - 2 t

X = e - 2 t ( C 1 - C 2 t + C 1 ) e - 2 t C 1 - C 2 t + C 2

Passo 5

Supondo

X 0 = x 1 0 x 2 0

X 0 = e - 2 . 0 C 1 - C 2 0 + C 1 e - 2 . 0 C 1 - C 2 0 + C 2 = C 1 C 2

Logo

X 0 = C 1 C 2 = x 1 0 x 2 0

Então vamos ter

C 1 = x 1 0

C 2 = x 2 ( 0 )

Passo 6

A solução vai ficar

X ( t ) = e - 2 t ( x 1 ( 0 ) - x 2 ( 0 ) t + x 1 ( 0 ) ) e - 2 t x 1 ( 0 ) - x 2 ( 0 ) t + x 2 ( 0 )

Resposta

X ( t ) = e - 2 t ( x 1 ( 0 ) - x 2 ( 0 ) t + x 1 ( 0 ) ) e - 2 t x 1 ( 0 ) - x 2 ( 0 ) t + x 2 ( 0 )

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