Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2016.2, Questão 1

Determine uma matriz fundamental para o sistema

X ' t = - 3 - 2 2 - 3 X t

Passo 1

Cara, uma Matriz Fundamental é uma matriz Ψ ( t ) cujas colunas são soluções fundamentais (ou seja, linearmente independentes) do sistema!

Isso nada mais é que a gente resolver o sistema, mas não multiplicar pelas constantes! Vamos nessa.

Identificando a matriz A .

A = - 3 - 2 2 - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos calcular os autovalores. Lembra de como fazemos isso?

det A - λ I = 0

É só calcular o determinante da matriz A , sendo que a diagonal dela estará subtraindo λ :

- 3 - λ - 2 2 - 3 - λ = 0

- 3 - λ 2 - - 2 2 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 + 4 = 0

λ 2 + 6 λ + 13 = 0

Agora calculando as raízes dessa equação:

λ = - 6 ± 6 2 - 4 1 13 2 = - 6 ± - 16 2

λ = - 3 ± 2 i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos b t + i sen b t   λ 2 α + β = e a t cos b t - i sen b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = - 3

b = 2

Com os nossos valores vai ficar

- 3 + 2 i α + β = e - 3 t cos 2 t + i sen 2 t   - 3 - 2 i α + β = e - 3 t cos 2 t - i sen 2 t

Esse é o momento que você para, respira fundo e pensa, agora ferrou!!!!! Quando a parada der complexa as contas vão ser levemente bizarras mesmo, mas relaxa que você consegue, me segue até o fim e não desiste.

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

- 3 + 2 i α - - 3 - 2 i α = e - 3 t cos 2 t + i sen 2 t - e - 3 t cos 2 t - i sen 2 t

4 i α = 2 i e - 3 t sen 2 t

α = e - 3 t sen 2 t 2

O valor de β vai ser

β = - - 3 + 2 i α + e - 3 t cos 2 t + i sen 2 t

β = - - 3 + 2 i e - 3 t sen 2 t 2 + e - 3 t cos 2 t + i sen 2 t

β = 3 e - 3 t sen 2 t 2 - i e - 3 t sen 2 t + e - 3 t cos 2 t + i e - 3 t sen 2 t

β = 3 e - 3 t sen 2 t 2 + e - 3 t cos 2 t

Passo 4

A nossa matriz fundamental será

Ψ ( t ) = α A + β I

Substituindo os valores que temos

Ψ ( t ) = e - 3 t sen 2 t 2 - 3 - 2 2 - 3 + 3 e - 3 t sen 2 t 2 + e - 3 t cos 2 t 1 0 0 1

Ψ ( t ) = - 3 e - 3 t sen 2 t 2 - e - 3 t sen 2 t e - 3 t sen 2 t - 3 e - 3 t sen 2 t 2 + 3 e - 3 t sen 2 t 2 + e - 3 t cos 2 t 0 0 3 e - 3 t sen 2 t 2 + e - 3 t cos 2 t

Ψ ( t ) = e - 3 t cos 2 t - e - 3 t sen 2 t e - 3 t sen 2 t e - 3 t cos 2 t

Resposta

Ψ ( t ) = e - 3 t cos 2 t - e - 3 t sen 2 t e - 3 t sen 2 t e - 3 t cos 2 t

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