Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 229, exercício 7 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Com

X 0 = 3 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores iguais o sistema para achar α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Com os nossos valores vai ficar

- 3 α + β = e - 3 t   α = t e - 3 t

Já temos de cara o valor de α

α = t e - 3 t

O valor de β vai ser

β = 3 α + e - 3 t

β = 3 t e - 3 t + e - 3 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = t e - 3 t 1 - 4 4 - 7 + 3 t e - 3 t + e - 3 t 1 0 0 1 C 1 C 2

X = t e - 3 t - 4 t e - 3 t 4 t e - 3 t - 7 t e - 3 t + 3 t e - 3 t + e - 3 t 0 0 3 t e - 3 t + e - 3 t C 1 C 2

X = 4 t e - 3 t + e - 3 t - 4 t e - 3 t 4 t e - 3 t - 4 t e - 3 t + e - 3 t C 1 C 2

X = 4 C 1 t e - 3 t + C 1 e - 3 t - 4 C 2 t e - 3 t 4 C 1 t e - 3 t - 4 C 2 t e - 3 t + C 2 e - 3 t

Passo 5

Vamos agora resolver o problema do valor inicial

X 0 = 3 2

X 0 = 4 C 1 0 e - 3.0 + C 1 e - 3.0 - 4 C 2 0 e - 3.0 4 C 1 0 e - 3.0 - 4 C 2 0 e - 3.0 + C 2 e - 3.0

X 0 = C 1 C 2

Então vamos ter

C 1 C 2 = 3 2

Então

C 1 = 3

C 2 = 2

Passo 6

A solução vai ficar

X = 12 t e - 3 t + 3 e - 3 t - 8 t e - 3 t 12 t e - 3 t - 8 t e - 3 t + 2 e - 3 t

X = 4 t e - 3 t + 3 e - 3 t 4 t e - 3 t + 2 e - 3 t

Resposta

X = 4 t e - 3 t + 3 e - 3 t 4 t e - 3 t + 2 e - 3 t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas