Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

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Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Com

X 0 = 1 - 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método do cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 3 2 - 1 - 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i sen ⁡ b t   λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i sen ⁡ b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = - 2

b = 1

Com os nossos valores vai ficar

- 2 + i α + β = e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t   - 2 - i α + β = e - 2 t cos ⁡ t - i sen ⁡ t

Esse é o momento que você para, respira fundo e pensa, agora ferrou!!!!! Quando a parada der complexa as contas vão ser levemente bizarras mesmo, mas relaxa que você consegue, me segue até o fim e não desiste.

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

- 2 + i α - - 2 - i α = e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t - e - 2 t cos ⁡ t - i sen ⁡ t

2 i α = 2 i e - 2 t sen ⁡ t

α = e - 2 t sen ⁡ t

O valor de β vai ser

β = - - 2 + i α + e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = - - 2 + i e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t + i sen ⁡ t

β = 2 e - 2 t sen ⁡ t - i e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t + i e - 2 t sen ⁡ t

β = 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e - 2 t sen ⁡ t - 3 2 - 1 - 1 + 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = - 3 e - 2 t sen ⁡ t 2 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t + 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 0 0 2 e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t ∙ C 1 C 2

X = - e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t 2 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t ∙ C 1 C 2

X = - C 1 e - 2 t sen ⁡ t + C 1 e - 2 t cos ⁡ t + C 2 2 e - 2 t sen ⁡ t - C 1 e - 2 t sen ⁡ t + C 2 e - 2 t sen ⁡ t + C 2 e - 2 t cos ⁡ t

Passo 5

Vamos agora resolver o problema do valor inicial

X 0 = 1 - 2

X 0 = - C 1 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 1 e - 2.0 cos ⁡ 0 + C 2 2 e - 2.0 sen ⁡ 0 - C 1 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 2 e - 2.0 sen ⁡ 0 + C 2 e - 2.0 cos ⁡ 0

X 0 = C 1 C 2

Então vamos ter

C 1 C 2 = 1 - 2

Então

C 1 = 1

C 2 = - 2

Passo 6

A solução vai ficar

X = - e - 2 t sen ⁡ t + e - 2 t cos ⁡ t - 4 e - 2 t sen ⁡ t - e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t

X = e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sen ⁡ t - 3 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t

Resposta

X = e - 2 t cos ⁡ t - 5 e - 2 t sen ⁡ t - 3 e - 2 t sen ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t