Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 220, exercício 10 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Com

X 0 = 1 - 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método do cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 3 2 - 1 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores complexos o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos b t + i sen b t   λ 2 α + β = e a t cos b t - i sen b t

Com

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Isso nos diz que

a = - 2

b = 1

Com os nossos valores vai ficar

- 2 + i α + β = e - 2 t cos t + i sen t   - 2 - i α + β = e - 2 t cos t - i sen t

Esse é o momento que você para, respira fundo e pensa, agora ferrou!!!!! Quando a parada der complexa as contas vão ser levemente bizarras mesmo, mas relaxa que você consegue, me segue até o fim e não desiste.

Você deve estar pensando nesse maldito i , relaxa, vamos fazer o temos feito, começar subtraindo a primeira equação da segunda

- 2 + i α - - 2 - i α = e - 2 t cos t + i sen t - e - 2 t cos t - i sen t

2 i α = 2 i e - 2 t sen t

α = e - 2 t sen t

O valor de β vai ser

β = - - 2 + i α + e - 2 t cos t + i sen t

β = - - 2 + i e - 2 t sen t + e - 2 t cos t + i sen t

β = 2 e - 2 t sen t - i e - 2 t sen t + e - 2 t cos t + i e - 2 t sen t

β = 2 e - 2 t sen t + e - 2 t cos t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e - 2 t sen t - 3 2 - 1 - 1 + 2 e - 2 t sen t + e - 2 t cos t 1 0 0 1 C 1 C 2

X = - 3 e - 2 t sen t 2 e - 2 t sen t - e - 2 t sen t - e - 2 t sen t + 2 e - 2 t sen t + e - 2 t cos t 0 0 2 e - 2 t sen t + e - 2 t cos t C 1 C 2

X = - e - 2 t sen t + e - 2 t cos t 2 e - 2 t sen t - e - 2 t sen t e - 2 t sen t + e - 2 t cos t C 1 C 2

X = - C 1 e - 2 t sen t + C 1 e - 2 t cos t + C 2 2 e - 2 t sen t - C 1 e - 2 t sen t + C 2 e - 2 t sen t + C 2 e - 2 t cos t

Passo 5

Vamos agora resolver o problema do valor inicial

X 0 = 1 - 2

X 0 = - C 1 e - 2.0 sen 0 + C 1 e - 2.0 cos 0 + C 2 2 e - 2.0 sen 0 - C 1 e - 2.0 sen 0 + C 2 e - 2.0 sen 0 + C 2 e - 2.0 cos 0

X 0 = C 1 C 2

Então vamos ter

C 1 C 2 = 1 - 2

Então

C 1 = 1

C 2 = - 2

Passo 6

A solução vai ficar

X = - e - 2 t sen t + e - 2 t cos t - 4 e - 2 t sen t - e - 2 t sen t - 2 e - 2 t sen t - 2 e - 2 t cos t

X = e - 2 t cos t - 5 e - 2 t sen t - 3 e - 2 t sen t - 2 e - 2 t cos t

Resposta

X = e - 2 t cos t - 5 e - 2 t sen t - 3 e - 2 t sen t - 2 e - 2 t cos t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas