Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III.Editora Bookman, 2009. Cap 1. P.43. Exercício 13. – Adaptado.

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

x ' = 1 2 x y ' = x - 1 2 y

Dado que x ' 0 = 3   e y ' 0 = 5

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o sistema na forma matricial.

X ' = 1 2 0 1 - 1 2 X

Agora, para resolver pelo cálculo funcional, devemos identificar o valor da matriz A

A = 1 2 0 1 - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 2 - λ 0 1 - 1 2 - λ = 0

1 2 - λ - 1 2 - λ = 0

λ 2 - 1 4 = 0

λ 1 = 1 2

λ 2 = - 1 2

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

1 2 α + β = e 1 2 t   - 1 2 α + β = e - 1 2 t

Somando as duas equações vamos ter

2 β = e 1 2 t + e - 1 2 t

β = e 1 2 t + e - 1 2 t 2

O valor de α vai ser

1 2 α + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 = e 1 2 t

α = e 1 2 t - e - 1 2 t

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 1 2 t - e - 1 2 t 1 2 0 1 - 1 2 + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 1 0 0 1 C 1 C 2

X = e 1 2 t - e - 1 2 t 2 0 e 1 2 t - e - 1 2 t e - 1 2 t + e 1 2 t + e - 1 2 t 2 0 0 e 1 2 t + e - 1 2 t 2 C 1 C 2

X = e 1 2 t 0 e 1 2 t - e - 1 2 t e - 1 2 t C 1 C 2

X = C 1 e 1 2 t C 1 ( e 1 2 t - e - 1 2 t ) + C 2 e - 1 2 t

X = C 1 e 1 2 t C 1 e 1 2 t + e - 1 2 t ( - C 1 + C 2 )

Passo 5

Agora temos que fazer a solução do valor inicial

X 0 = 3 5

X 0 = C 1 e 1 2 0 C 1 e 1 2 0 + e - 1 2 0 ( - C 1 + C 2 )

Então

C 1 = 3

E

C 2 = 5

Passo 6

A solução vai ficar

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + e - 1 2 0 ( - 3 + 5 )

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + 2 e - 1 2 t

Resposta

X = 3 e 1 2 t 3 e 1 2 t + 2 e - 1 2 t

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