Enunciado

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13. Seja f ( x ) uma função real, de variável real, definida e contínua no intervalo [ 0,2 π ] e seja também n um número fixado.

Ache os valores das constantes reais, a 0 , a 1 , , a n , b 1 , b 2 , , b n , tais que f x = a 0 + a 1 cos ⁡ x + b 1 sen ⁡ x + a 2 cos ⁡ 2 x + b 2 sen ⁡ 2 x + … + a n cos ⁡ n x + b n sen ⁡ n x , seja a melhor aproximação para f ( x ) em [ 0,2 π ] , no sentido de mínimos quadrados.

Passo 1

E aí meu bom! Se liga só! Se f ( x ) é contínua em [ 0 , T ] , então a função trigonométrica f ( x ) é dada por:

g x = 1 2 a 0 + ∑ i = 1 n a i cos ⁡ 2 i π T x + ∑ i = 1 n b i sen ⁡ 2 i π T x

Esta função ai vai minimizar o erro da média quadrática:

E x = ∫ 0 T f x - g x 2 d x

Passo 2

No caso, para i = 0 , temos que...

a 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π f x d x

Passo 3

Para i ≥ 1 , como mostrado no P a s s o   1 , temos que...

a i = ∑ i = 1 n a i cos ⁡ 2 i π T x = 1 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ ( i x ) d x

a i = 1 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ ( i x ) d x

Passo 4

Continuando nosso raciocínio, para i ≥ 1 , temos também que...

b i = ∑ i = 1 n b i sen ⁡ 2 i π T x = 1 π ∫ 0 2 π f x sen ⁡ ( i x ) d x

b i = 1 π ∫ 0 2 π f x sen ⁡ ( i x ) d x

Resposta

a 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π f x d x

a i = 1 π ∫ 0 2 π f x cos ⁡ ( i x ) d x

b i = 1 π ∫ 0 2 π f x sen ⁡ ( i x ) d x