Enunciado

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  1. Calcule b/a em uma calculadora que só soma, subtrai e multiplica
  2. Calcule 3/13 nessa calculadora.

Passo 1

Essa questão é muito mais simples do que parece!

O que a gente quer é calcular o valor de x , onde:

x = b a = b × 1 a

Ou seja, precisamos achar apenas o valor de 1 a .

A gente pode reformular isso pra deixar essa fórmula aqui:

a x - 1 = 0

E podemos também chamar uma função

f ( x ) = a x - 1 = 0

Passo 2

Agora precisamos achar uma outra função equivalente à essa, já que não podemos aplicar nenhum método iterativo nessa função.

Vamos dividir a função por x

f ( x ) = a - 1 x = 0

Passo 3

Agora para calcular x só precisamos achar a raíz do polinômio f ( x ) !

Podemos fazer isso por Newton-Raphson, aplicando na fórmula, vamos ter:

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ' ( x k )

Só precisamos calcular agora a derivada da função:

f ' ( x ) = 1 x 2

x k + 1 = x k - x 2 ( a x k - 1 x k ) =   - a x k 2 + 2 x k

O valor de x k + 1 vai convergir então para o valor exato de 1 a , logo, para achar b a , precisamos apenas multiplicar esse valor por b.

Passo 4

Para calcular 3 13 , iremos primeiramente calcular o valor de 1 13 , a partir do método iterativo descrito no passo anterior.

Vamos escolher o x 0 como sendo 0.1

x 0 = 0.1

x 1 = 0.06999999999999998

x 2 = 0.07629999999999999

x 3 = 0.07691803

x 4 = 0.0769230765919483

x 5 = 0.07692307692307693

x 6 = 0.07692307692307693

Então o valor de 1 13   ≈   0.07692307692307693 .

Passo 5

Agora precisamos apenas multiplicar por 3, obtendo:

3 13 = 0.23076923076923078

Resposta

  1. Calcular x k + 1 = x k - x 2 ( a x k - 1 x k ) =   - a x k 2 + 2 x k e depois multiplicar por 3 quando convergir.
  2. 3 13 = 0.23076923076923078

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