Enunciado

Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.

Passo 1

Primeiro sabemos que:

φ ( x ) = 1 x + 1 x 2

Passo 2

Agora podemos começar a iterar:

x 0 = 1

x 1 = 2

x 2 = 0.75

x 3 = 3.111 . . .

x 4 = 0.424744898

x 5 = 7.897338779

x 6 = 0.142658807

x 7 = 56.14607424

Daí já dá pra ver que isso não vai convergir…

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da função de iteração:

φ ' ( x ) =   - 1 x 2 - 2 x 3

Daí podemos ver que :

| φ ' ( x ) | > 1 para todo | x | < 1 .

Resposta

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Ao se aplicar o método do ponto fixo (MPF) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes resultados nas iterações indicadas:Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
A equação x 2 - b = 0 tem como raiz ξ = b . Considere o MPF com φ ( x ) = b x : Comprove que φ ' ( ξ ) =- 1 ; o que acontece com a sequência { x k } tal que x k + 1 = φ ( x k ) ? sua conclusão do item
9. Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:a) mostre que ξ - x kM 1 - M x k - x k - 1 ;b) para que valores de M teremos então que ξ - x kε se x k - x k -