Enunciado

3. Dado o PVI abaixo, considere h = 0.5, 0.25, 0.125 e 0.1

y ' = 4 - 2 x y 0 = 2

a) Encontre uma aproximação para y ( 5 ) usando o método de Euler aperfeiçoado, para cada h .

b) Compare seus resultados com a solução exata dada por y x = - x 2 + 4 x + 2 . Justifique.

c) Você esperava o mesmo resultado do item (b) usando o método de Euler? Justifique.

Passo 1

a) E aí meus queridossss!

Se liga só! Vamos usar o método de Euler aperfeiçoado pra resolver essa primeira letra do probleminha!

Bora chamar o y ' de f ( x n , y n ) . Com isso, temos que...

y ' = 4 - 2 x

f ( x n , y n ) = 4 - 2 x n

E usando a fórmula de recorrência do método de Euler, temos que...

y n + 1 = y n + h 2 [ f x n , y n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n

y n + 1 = y n + h 2 [ 4 - 2 x n + f x n + 1 , y n + h 4 - 2 x n

y n + 1 = y n + h 2 4 - 2 n h + 4 - 2 n + 1 h

Passo 2

Pois muito bem! A questão pede pra gente determinar o valor de y 5 .

E é aí que tá o problema! Não tem outro jeito da gente fazer isso se não for computacionalmente!

Sabe o porquê!

Se liga só no tanto de iteração que ia nos custar pra fazer isso aqui com um passo de 0.5   ...

n ú m e r o   d e   i t e r a ç õ e s = x f i n a l - x 0 h = 5 - 0 0.5 = 10

Isso com h = 0.5 !

Então bora recorrer a programação!

Passo 3

Se liga só! O algoritmo do método de Euler aperfeiçoado é bem simples...

Calma que o produtor vai dar o passo a passo direitinho dele aqui...

P a s s o   1 : Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você; bibliotecas, constantes, etc.)

a )   Passo h

b) Intervalo em que vamos estimar f , [ x 0 , f ]

c) Valor inicial y 0

P a s s o   2 : Define-se um vetor y onde vamos guardar as estimativas de f , de modo que y 0 = y 0

P a s s o   3 : Define-se um vetor x formado pelos pontos onde vamos estimar as derivadas

P a s s o   4 :   Define-se p = x f i n a l - x 0 2

P a s s o   5 : Para i de 0 até p - 1 repita os passos 6 e 7

P a s s o   6 : k = y i + h f ( x i , y [ i ] )

P a s s o   7 : y i + 1 = y i + h 2 [ f x i , y i + f x i + h , k ]

Passo 4

Sendo assim, com base nos procedimentos demonstrados anteriormente...

O seguinte código abaixo foi confeccionado em linguagem C ...

O legal de fazer um código é que pra achar o valor de y ( 5 ) nos outros passos h = 0.25 e h = 0.125 , basta mudar o valor de h . Sendo assim, compilando o código para os diferentes valores de   h , obtemos os seguintes valores:

Passo 5

b) Sabemos que a solução exata é dada por...

y x = - x 2 + 4 x + 2

Pois muito bem! Vamos ver qual o valor de y quando x = 5 ...

Fazendo isso, obtemos que:

y x = - x 2 + 4 x + 2

y 5 = - 5 2 + 4 ⋅ 5 + 2

y 5 = - 3

Ou seja! É um valor bem próximo dos que a gente obteve quando usou o método de Euler modificado!

Passo 6

c) Agora, vamos ver como ficaria com o método de Euler

O algoritmo do método de Euler é bem de boas! É até mais simples do que o do método de Euler modificado, como podemos ver abaixo...

P a s s o   1 : Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você; bibliotecas, constantes, etc.)

a )   Passo h

b) Intervalo em que vamos estimar f , [ x 0 , f ]

c) Valor inicial y 0

P a s s o   2 : Define-se um vetor y onde vamos guardar as estimativas de f , de modo que y 0 = y 0

P a s s o   3 : Define-se um vetor x formado pelos pontos onde vamos estimar as derivadas

P a s s o   4 :   Define-se p = x f i n a l - x 0 2

P a s s o   5 : Para i de 0 até p repita o passos 7

P a s s o   6 : y [ i + 1 ] = y i + h f ( x i , y [ i ] )

E o nosso código fica assim...

E obtemos assim, os seguintes resultados...

Que são um pouco mais divergentes dos resultado do item (a) e do real resultado da letra (b).

E isso não é uma surpresa, né galera? Afinal, o método de Euler aperfeiçoado, como o próprio nome diz, fornece uma solução mais próxima do valor exato, já que sua equação está relacionada à reta secante e não à reta tangente.

Resposta

a)

P a r a   h = 0.5 → y 5 = - 3

P a r a   h = 0.25 → y 5 = - 3

P a r a   h = 0.125 → y 5 = - 3

P a r a   h = 0.1 → y 5 = - 2.999995

b)

y 5 = - 3

c)

P a r a   h = 0.5 → y 5 = - 5

P a r a   h = 0.25 → y 5 = - 1.75

P a r a   h = 0.125 → y 5 = - 2.375

P a r a   h = 0.1 → y 5 = - 2.49994

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16. Considere o PVI
Considere o .a) Encontre a solução aproximada usando o método de Euler com h = 0.5 eh• 0.25, considerando x E [O, 2]; b) idem, usando Euler Aperfeiçoado; c) idem, usando Runge-Kutta de 41 ordem; d) sa
21. Considere o PVI
19. Considere o problema: y ' ' + 7 y = 0 y 0 = 2 y ' 0 = 0 Com x ∈ [ 0 ,1 ] a) reescreva os métodos de Euler e Euler aperfeiçoado para resolver este problema como um sistema de equações de 1ª ordem;b