Responde Aí

Enunciado

6.

a) Deduza o método implícito para resolver o PVI:

y ' = f ( x , y ) y x 0 = y 0   ,       d o   t i p o   y n + 1 = y n + ∫ x n x n + 1 f x , y x d x  

Onde usamos a regra dos Trapézios para calcular a integral acima.

b) Encontre a expressão do erro cometido

c) Compare com o método de Euler, em termos de erros

Passo 1

a) E aí meus queridossss!

Se liga só! Vamos começar usando o método dos trapézio para descobrir o valor da integral abaixo...

∫ x n x n + 1 f x , y x d x

Chamando f x , y x de P n ( x ) , temos que:

∫ x n x n + 1 f x , y x d x = ∫ x n x n + 1 P n ( x ) d x

Resolvendo então, a integral:

∫ x n x n + 1 P n ( x ) d x = f x n ⋅ x - x n x n - x n + 1 + f x n + 1 ⋅ x - x n x n + 1 - x n

E então chegamos à seguinte equação abaixo...

∫ x n x n + 1 P n ( x ) d x = h 2 f n + f n + 1

O que nos leva à seguinte expressão final...

y n + 1 = y n + h 2 f n + f n + 1

Passo 2

b) E como vamos quantificar o erro desse método? Ele pode ser determinado por:

e T = - h 3 12 ⋅ f ' ' ( c )

Quando

c ∈ [ x n , x n + 1 ]

Sendo e T um valor limitante que obtemos das interpolações, podemos encontrar um limitante para o erro dessa forma:

e T < h 3 12 M 2

Onde h é o passo e M 2 é valor máximo da segunda derivada da função:

M 2 = M á x x   ∈   [ x n , x n + 1 ] | f ' ' ( x ) |

Passo 3

c) Sabemos que o erro de truncamento do Método de Euler é dado por...

e T = y ' ' ξ x i 2 h 2

Muito parecido com o do método das letra (a) e (b). O diferencial aqui é o h .

Percebam que enquanto em um, o h está elevado ao cubo no outro o h está elevado ao quadrado. Isso garante que o erro de truncamento do Método de Euler seja maior, e portanto o método de Euler é menos eficiente do que o proposto pelo exercício.

Resposta

a)

y n + 1 = y n + h 2 f n + f n + 1

b)

e T = - h 3 12 ⋅ f ' ' ( c )

c)

O   e r r o   d o   M é t o d o   d e   E u l e r   é   m a i o r ,   e   p o r t a n t o  

o   m é t o d o   é   m e n o s   e f i c i e n t e   n a   p r e c i s ã o

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