Enunciado

Um modelo para o crescimento da população segundo Verhulst é que a população, P , cresce no tempo de acordo com a equação diferencial:

d P d t = A - B P P

O parâmetro A é a taxa geométrica de crescimento para populações relativamente pequenas. Entretanto, com o crescimento da população, há um efeito de retardamento ou freio causado pelo consumo do suprimento de alimentos, poluição do meio ambiente, e assim por diante. Este efeito de freio é representado pelo parâmetro B .

A solução desta equação diferencial é dada por:

P = A B + c e - N t ,

onde C é a constante de integração e pode ser determinada a partir da população inicial em   t =   0 . A determinação dos parâmetros A   e   B requer uma regressão do tipo que não pode ser linearizada. Entretanto, suponha que aproximemos:

d P d t = P k + 1   - P k ∆ t

onde P k é a população no final do k - é s i m o período de tempo; isto é, P k =   P ( k ∆ t ) e ∆ t é o acréscimo do tempo. Então a equação diferencial, torna-se:

P k + 1 = 1 + A ∆ t - B ∆ t P k P k

i ) Determinar os parâmetros A   e   B correspondentes aos dados a seguir, provenientes do censo em um país, onde P é dado em milhões:

i i ) Usando os valores de A   e   B encontrados no item i ) faça a previsão da população no país no ano 2000 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Um modelo para o crescimento da população segundo Verhulst é que a população, P , cresce no tempo de acordo com a equação diferencial:

d P d t = A - B P P

O parâmetro A é a taxa geométrica de crescimento para populações relativamente pequenas. Entretanto, com o crescimento da população, há um efeito de retardamento ou freio causado pelo consumo do suprimento de alimentos, poluição do meio ambiente, e assim por diante. Este efeito de freio é representado pelo parâmetro B .

A solução desta equação diferencial é dada por:

P = A B + c e - N t ,

onde C é a constante de integração e pode ser determinada a partir da população inicial em   t =   0 . A determinação dos parâmetros A   e   B requer uma regressão do tipo que não pode ser linearizada. Entretanto, suponha que aproximemos:

d P d t = P k + 1   - P k ∆ t

onde P k é a população no final do k - é s i m o período de tempo; isto é, P k =   P ( k ∆ t ) e ∆ t é o acréscimo do tempo. Então a equação diferencial, torna-se:

P k + 1 = 1 + A ∆ t - B ∆ t P k P k

i ) Determinar os parâmetros A   e   B correspondentes aos dados a seguir, provenientes do censo em um país, onde P é dado em milhões:

i i ) Usando os valores de A   e   B encontrados no item i ) faça a previsão da população no país no ano 2000 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha no item ( i ) ele pede para determinarmos os parâmetros A   e   B dado o parâmetro P por,

P k + 1 = 1 + A ∆ t - B ∆ t P k P k

Com base na tabela,

Temos,

P 0,63 = 1 + 0,63 A - 0,63 B . 3 = 1930

Ficando,

A = 203,7     e     B = 302

A partir dos valores encontrados em A   e   B temos no item ( i i )

P 2000 = 203,7   x   302 2000 = 30,75

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

i ) A = 203,7     e     B = 302

i i ) P 2000 = 30,75

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