Enunciado

Mostre que o sistema não linear:

3 x 2 + y 2 + 9 x - y - 12 = 0

x 2 + 36 y 2 - 36 = 0

Possui exatamente 4 raízes. Determine as raízes usando o método de Newton, com 2 dígitos significativos corretos, iniciando com ( 1 ,   1 ) ,   ( 1 ,   - 1 ) ,   ( - 4 ,   1 )   e   ( - 4 ,   - 1 ) .

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

Bem, a questão te fornece um sistema de equações de duas variáveis e te informa que o sistema possui 4 raízes, além disso, te informa as estimativas iniciais.

Aí vem a pergunta, “Preciso fazer oque?”

Basicamente precisamos encontrar as soluções do sistema partindo de uma estimativa inicial que por sorte já foi dada na própria questão, que em geral é a parte mais complicada.

O método de resolução é o método de Newton que foi adaptado para sistemas de equação não linear e a melhor forma de resolver questões de cálculo numérico é memorizar um roteirozinho de cálculo para sempre utilizar para nunca se perder nas contas.

O roteiro de cálculo é sempre o mesmo, precisamos realizar os passos abaixo seguidamente até encontrar o valor das soluções que corresponde a:

f 1 = 3 x 2 + y 2 + 9 x - y - 12 = 0

f 2 = x 2 + 36 y 2 - 36 = 0

Portanto:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.
    1. f 1 , f 2   ≤ 1 E - 2 ≅ 0
  4. Quarto passo: Método de Newton
    1. Calcular as derivadas parciais
    2. Calcular os determinantes das matrizes
      1. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y
      2. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y
      3. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2
  5. Quinto passo: Calcular o incremento
    1. Δ x 1 = D 1 D ,   Δ y 1 = D 2 D
    2. y 1 = Δ y 1 + y 1
    3. x 1 = Δ x 1 + x 1
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Vamos definir aqui que o critério de convergência é que (devido que a resposta pergunta dois dígitos significativos).

f 1 , f 2   ≤ 1 E - 2 ≅ 0

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos calcular as derivadas parciais do sistema de equação. Já que vamos utilizar eles várias vezes ao longo do exercício:

∂ f 1 ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 + y 2 + 9 x - y - 12 = 6 x + 9

∂ f 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + 36 y 2 - 36 = 2 x

∂ f 1 ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 + y 2 + 9 x - y - 12 = 2 y - 1

∂ f 2 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + 36 y 2 - 36 = 72 y

Agora que temos as derivadas parciais, vamos utilizar o roteiro que vimos anteriormente para encontrar as raízes.

Então, vamos utilizar a primeira estimativa:

( 1,1 )

Vamos lá então.

  1. Primeiro passo: 1,1
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1,1 = 3 * 1 2 + 1 2 + 9 * 1 - 1 - 12 = 0
    2. f 2 1,1 = 1 2 + 36 * 1 2 - 36 = 1
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1 , logo (1,1) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 6 * 1 + 9 = 15
    2. ∂ f 2 ∂ x = 2 * 1 = 2
    3. ∂ f 1 ∂ y = 2 * 1 - 1 = 1
    4. ∂ f 2 ∂ y = 72 * 1 = 72
    5. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y = 15 * 72 - 2 * 1 = 1078
    6. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y = 1 * 1 - 0 * 72 = 1
    7. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2 = 0 * 2 - 2 * 1 = - 2
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 1 1078  
    2. Δ y 1 = - 2 1078
    3. x = 1 + 1 1078 ≅ 1,0009 ; y = 1 - 2 1078 = 0,98608534

Agora que terminamos o primeiro ciclo, vamos retornar para o passo número 1, que é dado por:

  1. Primeiro passo: 1,0009 ; 0,98608534
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1,0009 ; 0,98608534 = 0,00019
    2. f 2 1,0009 ; 0,98608534 = 0,0069
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,00019 < 1 E - 2 . Logo temos que 1,0009 ; 0,98608534 são raízes para uma aproximação de 1 E - 2 .

Sacou como é? Trabalhoso né?

Enfim, vamos realizar esse passo a passo para cada estimativa inicial daquela. E aí vamos para o próximo?

Passo 3

Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a segunda estimativa fornecida pela questão, uma vez que já calculamos as derivadas vamos apenas seguir o roteiro.

( 1 ,   - 1 )

Partindo o mesmo passo a passo, temos que:

  1. Primeiro passo: 1 , - 1
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1 , - 1 = 2
    2. f 2 1 , - 1 = 1
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 2 > 1 E - 2 , logo (1,-1) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 15
    2. ∂ f 2 ∂ x = 2
    3. ∂ f 1 ∂ y = - 2
    4. ∂ f 2 ∂ y = - 72
    5. D = - 1074
    6. D 1 = 141
    7. D 2 = - 11
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 141 - 1074  
    2. Δ y 1 = - 11 - 1074
    3. x = 0,8687 ; y = - 0,9897

Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.

  1. Primeiro passo: 0,8687 , - 0,9895
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1 , - 1 = 0,0518
    2. f 2 1 , - 1 = 0,021
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,0518 > 1 E - 2 , logo 0,8687 , - 0,9895 não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 14,2122
    2. ∂ f 2 ∂ x = 1,7374
    3. ∂ f 1 ∂ y = - 2,9795
    4. ∂ f 2 ∂ y = - 71,2625
    5. D = - 1007,6276
    6. D 1 = 3,6296
    7. D 2 = - 0,2086
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = - 0,0036
    2. Δ y 1 = 0,00020
    3. x = 0,8651 ; y = - 0,9895

Retornando para os critérios de convergência temos que:

  1. Primeiro passo: 0,8651 , - 0,9895
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1 , - 1 = 3,89 E - 5
    2. f 2 1 , - 1 = 1,45 E - 5
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 3,89 E - 5 < 1 E - 2 , logo 0,8651 , - 0,9895 são as raízes.

Para a próxima raiz.

Passo 4

A próxima estimativa inicial é dada por:

( - 4 ,   1 )

Agora vamos para o método de newton:

Partindo o mesmo passo a passo, temos que:

  1. Primeiro passo: - 4,1
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,1 = 0
    2. f 2 - 4,1 = 16
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 16 > 1 E - 2 , logo ( - 4,1 ) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = - 15
    2. ∂ f 2 ∂ x = - 8
    3. ∂ f 1 ∂ y = 1
    4. ∂ f 2 ∂ y = 72
    5. D = - 1072
    6. D 1 = 16
    7. D 2 = 240
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = - 0,001492  
    2. Δ y 1 = - 0,2238
    3. x = - 4,0149 ; y = 0,7761
  6. Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.
  1. Primeiro passo: - 4,0149 ; 0,7761
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1 , - 1 = 0,0507
    2. f 2 1 , - 1 = 1,8046
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1,8046 > 1 E - 2 , logo - 4,0149 ; 0,7761 não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = - 15,089
    2. ∂ f 2 ∂ x = - 8,029
    3. ∂ f 1 ∂ y = 0,5522
    4. ∂ f 2 ∂ y = 55,8805
    5. D = - 838 ,
    6. D 1 = - 1,8416
    7. D 2 = 26,8232
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 0,002119
    2. Δ y 1 = - 0,03197
    3. x = - 4,1272 ; y = 0,7441

Como não encontramos as raízes ainda, vamos aplicar o método mais uma vez.

  1. Primeiro passo: - 4,1272 ; 0,7441
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,1272 ; 0,7441 = 0,0010
    2. f 2 - 4,1272 ; 0,7441 = 0,03682
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,03682 > 1 E - 2 , logo - 4,1272 ; - 0,7441 não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = - 15,0763
    2. ∂ f 2 ∂ x = - 8,025
    3. ∂ f 1 ∂ y = 0,4882
    4. ∂ f 2 ∂ y = 53,5781
    5. D = - 803
    6. D 1 = - 0,037
    7. D 2 = 0,5467
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 4,67 E - 5
    2. Δ y 1 = - 0,00068
    3. x = - 4,01268 ; y = 0,7434

Aplicando o método de newton mais uma vez temos que:

  1. Primeiro passo: - 4,01268 ; 0,7434
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,01268 ; 0,7434 = 4,69 E - 7
    2. f 2 - 4,01268 ; 0,7434 = 1,66 E - 5
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1,66 E - 5 < 1 E - 2 , logo - 4,01268 ; 0,7434 são raízes.

Passo 5

E finalmente as últimas raízes vão ser obtidas utilizando a seguinte estimativa inicial.

( - 4 ,   - 1 )

E aplicando mais uma vez o método de newton, temos que:

  1. Primeiro passo: - 4 , - 1
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,1 = 2
    2. f 2 - 4,1 = 16
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 16 > 1 E - 2 , logo ( - 4,1 ) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = - 15
    2. ∂ f 2 ∂ x = - 8
    3. ∂ f 1 ∂ y = - 3
    4. ∂ f 2 ∂ y = - 72
    5. D = 1056
    6. D 1 = 96
    7. D 2 = 224
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 0,0909  
    2. Δ y 1 = 0,2121
    3. x = - 3,9090 ; y = - 0,7878
  6. Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.

Como não encontramos a raiz, vamos realizar o método de newton mais uma vez.

E aplicando mais uma vez o método de newton, temos que:

  1. Primeiro passo: - 3,9090 ; - 0,7878
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,1 = 0,06978
    2. f 2 - 4,1 = 1,6280
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1,6280 > 1 E - 2 , logo ( - 4,1 ) não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = - 14,4545
    2. ∂ f 2 ∂ x = - 7,8181
    3. ∂ f 1 ∂ y = - 2,5757
    4. ∂ f 2 ∂ y = - 56,7272
    5. D = 799,8292
    6. D 1 = 0,2346
    7. D 2 = 22,9878
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = - 0,00029  
    2. Δ y 1 = 0,028
    3. x = - 3,9093 ; y = - 0,7585
  6. Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.

Aplicando o método de newton mais uma vez:

  1. Primeiro passo: - 3,9093 , - 0,7585
  2. Segundo passo:
    1. f 1 - 4,1 = - 0,0019
    2. f 2 - 4,1 = - 0,005
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,005 > 1 E - 2 , logo - 3,9093 , - 0,7585 são raízes.

E finalmente provamos que o problema existe 4 raízes e encontramos as 4 raízes. Eu sei, grandinho demais. Geralmente problemas de sistemas de equações não lineares não são grandinhos assim, em geral, o professor coloca apenas a primeira solução que precisa aplicar o método apenas uma única vez então recomendo memorizar o roteiro de cálculo do passo 1, para ficar mais dinâmico na sua mente e você montar tudo direitinho em qualquer prova.

E aí? Curtiu? Responde Ai, vlwwwwww e até mais.

Resposta

Todos os passos foram devidamente demonstrados nas etapas anteriores.

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o método iterativo linear determinar a solução de:Próxima a 0.5,0.5 .
O sistema não linear:Possui uma raiz próxima a 0.8,1.2 . Usando o método iterativo linear determine essa raiz com precisão de 10 − 1 .
A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Determinar uma raiz de cada uma das equações:a) 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 = 0 Usando o método regula falsi.
Considere a equação 𝑥 − c o s c o s𝑥= 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .