Enunciado

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Seja f ( x ) = x 2 2 + x ( l n ( x ) - 1 ) .   Obtenha seus pontos críticos com o auxílio de um método numérico.

Passo 1

Para achar os pontos críticos de uma função, temos que achar os pontos que satisfazem:

f ' ( x ) = 0

Passo 2

Agora é só derivar nosso f ( x ) :

f ' ( x ) = x + ( l n ( x ) - 1 ) + 1 = x + l n x

Agora sabemos que essa função só tem um ponto crítico, já que a função x e a função l n são funções monótonas e crescentes!

Agora temos que achar

f ' ( x ) = x + l n x = 0

Podemos aplicar Newton-Raphson.

Passo 3

Primeiro temos nossa g ( x ) = f ' ( x )

Agora precisamos calcular a derivada da g ( x ) :

g ' x = 1 + 1 x = x + 1 x

Agora vamos aplicar na fórmula:

x k + 1 = x k - g x g ' x = x k - x x + l n x x + 1

Agora vamos fazer as iterações:

x 0 = 0 . 1

x 1 = 0.3 00235008

x 2 = 0.5 0873472

x 3 = 0.5 65077592

x 4 = 0.5 67140884

x 5 = 0.56 714329

Podemos pegar então x 5 para estimar.

Resposta

0.5671

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