Enunciado

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Queremos construir uma tabela que contenha valores de cos(x) para pontos igualmente espaçados no intervalo I = [l, 2]. Qual deve ser o menor número de pontos desta tabela para se obter, a partir dela, o cos(x), usando interpolação linear com erro menor que 1 0 - 6 para qualquer x no intervalo [1, 2]?

Passo 1

Nesse caso usaremos o número de pontos como uma forma de “dimensionar o h”. Em uma interpolação linear temos apenas dois pontos separados por uma distância h.

Logo, sempre podemos dizer que:

E ( x ) ≤ h 2 M 2 8

Vamos começar encontrando M 2 . Precisamos da derivada segunda de cos(x):

f ( x ) = c o s ( x )

f ' ( x ) = - s i n ( x )

f ' ' ( x ) = - c o s ( x )

Como o erro deve ser menor que 1 0 - 6 no intervalos [1,2], usamos o valor máximo de | - c o s ( x ) | nesse intervalo com M 2 . E esse valor é em 1, onde | - c o s ( 1 ) | ≈ 0.54 .

Passo 2

Agora precisamos escrever h em função do número de pontos. Então vamos montar

uma tabelinha:

Com essa relação podemos substituir tudo na fórmula:

E ( x )   ≤   ( 1 n - 1 ) 2 0.54 8 = 1 0 - 6

n 2 - 2 n + 1 = 67.5 × 1 0 3

Resolvendo a equação de segundo grau, temos:

n = - 258.808   ou 260.808

Como não faz sentido termos um número de pontos negativo e nem quebrado, n = 261 pontos.

Resposta

n=261

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