Método de Shooting

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Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaaaaaaala meus caros, vamos adentrar em mais um conteúdo sobre resolução de EDO’s ... pois é, ainda estamos falando sobre a temida.

Já vimos bastante coisa falando sobre a resolução de PVI (Problemas de valor inicial).

Vimos alguns casos onde aproximamos PVC (problemas de valores do contorno), que basicamente são EDO’s com condições impostas em diferentes pontos.

Bora começar entender o que é o tal do método de Shooting! A tradução literal é “tiro”, relaxa que aqui não tem nada de tiro, porrada e bomba hahahha.

Basicamente, o método e Shooting tem como objetivo de aproximar a solução encontrada de uma equação para a solução exata dentro de uma determinada fronteira. Esse método é baseado na conversão de um PVC em um PVI.

Método de Shooting linear

Aqui vamos estudar apenas o método de Shooting para casos simples para solucionar PVC.

Então, considere PVC (linear) que desejamos encontrar a solução numérica no intervalo a , b .

O PVC tem a seguinte cara:

P V C   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈ [ a , b ] y a = ∝ y b = β

O método de Shooting consiste em tomar dois PVI associados em PVF.

Os dois PVI são dados por:

( P V I - 1 )   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈ [ a , b ] y a = ∝ y a = 0

( P V I - 2 )   y ' ' = p x y ' + q x y + r x   ,   s e   x ∈   ] a , b ] y a = 0 y b = 1

Perceba que as equações são as mesmas. Mas com condições diferentes.

Aqui, os PVI-1 e PVI-2 possuem cada um uma única solução. Onde y 1 x é solução de PVI-1 e y 2 x é solução de PVI-2. Existe uma equação que mostra que podemos ter a solução do PVC com:

y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x   ,   s e   x ∈ [ a , b ]

Podemos resolver numericamente usando o método de Euler ou Runge-Kutta. Ao usar um método numérico para obter a solução do PVI-1 e PVI-2 , teremos as soluções numéricas onde: ( x k , y 1 , k )   e ( x k , y 2 , k ) , usando Runge-Kutta, temos que :

y k = y 1 , k + β - y 1 b y 2 b y 2 , k   ,   s e   k = 0,1 , … , n

Imagine que temos um sistema de EDO:

y ' = f ( x , y , z ) z ' = g ( x , y , z ) y ( x 0 ) = y 0 z ( x 0 ) = z 0

Para resolver EDO’s com essa aparência, podemos usar o método de Runge-Kutta de quarta ordem, e calcular os seguintes coeficientes:

K 1 = h f ( x k , y k , z k ) L 1 = h g ( x k , y k , z k ) K 2 = h f x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 1 , z k + 1 2 L 1 L 2 = h g x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 1 , z k + 1 2 L 1 K 3 = h f x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 2 , z k + 1 2 L 2 L 3 = h g x k + 1 2 h , y k + 1 2 K 2 , z k + 1 2 L 2 K 4 = h f x k + h , y k + K 3 , z k + L 3 L 4 = h g x k + h , y k + K 3 , z k + L 3

Após calcular todos os termos, usamos as fórmulas:

y k + 1 = y k + 1 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

z k + 1 = z k + 1 6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L 3 + L 4 )

Com esses termos, resolvemos EDO de ordem 1.

Bora fazer exercícios, para fixar esse conteúdo!!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O método de Shooting para equações lineares é baseado na substituição de valor de fronteira, pelos resultados obtidos em a e b . Ele transforma um PVC em duas equações do tipo PVI. Analise o gráfico abaixo e relacione com os termos ou fórmulas dadas:

( )   y 1 ( x )

( ) y 2 ( x )

( )   y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x

Passo 1

Em um intervalo de a até b (nossa condição de contorno). Onde y 1 x é solução de PVI-1 e y 2 x é solução de PVI-2. Existe uma equação que mostra que podemos ter a solução do PVC com:

y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x   ,   s e   x ∈ [ a , b ]

Avaliando as curvas no gráfico vemos que:

( A )   y 1 ( x )

( C ) y 2 ( x )

( B )   y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x

Resposta

( A )   y 1 ( x )

( C ) y 2 ( x )

( B )   y x = y 1 x + β - y 1 b y 2 b y 2 x

Exercício Resolvido #2

Elabore um fluxograma do algoritmo do método de Shooting.

Passo 1

Colocamos primeiro as condições iniciais, no caso são : as extremidades, condições de contorno e número de subintervalos.

Extremidade:   a ,   b

Condições de contorno:   α ,   β

Subintervalos: N

Passo 2

Deve ter um chamado “laço de repetição “ onde temos i = 0 .

Então fazemos os cálculos dos termos L n   e   K n .

Passo 3

Com esses termos nós conseguimos calcular y k + 1     e   z k + 1 e por fim aproximar y k .

Resposta

Exercício Resolvido #3

O método de Shooting é usado apenas em casos lineares?

Passo 1

A técnica de Shooting pode ser empregada em EDO não lineares e de ordem maior que 1.

A resolução é parecida com o caso linear, exceto que a solução de um problema não linear não pode ser expresso como uma combinação linear das soluções para dois problemas valor-inicial.

Em vez de nós precisarmos usar as soluções para uma seqüência do valores-iniciais problemas envolvendo um parâmetro t, para aproximar a solução de nosso problema valor-limite.

Esta técnica é chamada método “shooting”, por analogia ao procedimento de acertar objetos num alvo estacionário. Nós começaremos com um parâmetro t que determina a elevação inicial na qual os objetos são acertados do ponto (a,a) e ao longo da curva descrita pelas soluções do problema valor-inicial:

Resposta

Não, a técnica de Shooting pode ser empregada em EDO não lineares e de ordem maior que 1

Exercício Resolvido #4

Encontre uma aplicação para o método de Shooting ?

Passo 1

O método de Shooting pode ser usado para otimização de processos.

Além disso, procurando na literatura encontramos aplicações como projeção de reatores que recebem uma modelagem matemática que pode ser resolvida pelo método de Shooting.

Resposta

O método de Shooting pode ser usado para otimização de processos.