Soluções numéricas de Equações diferenciais parciais

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Teoria

Introdução

Faaaaaaaaaaaaala jovenzito, pronto pra terminar de vez com cálculo numérico?

Nem todos estudam equações diferenciais parciais em numérico... e tudo bem! Se você nem sabe do que estamos falando e nem tem curiosidade para saber, podemos parar por aqui. E isso é tudo, pessoal!!!

Se o seu caso é outro, e você tem esse conteúdo na sua vida corrida de faculdade... vem comigo, vou te mostrar que não é assim um bicho de sete cabeças...

Bora lá?

Ainda estamos falando de equações diferenciais. Mas, aqui nós lidamos com as equações diferenciais que envolvem mais de uma variável independente, e por consequência possuem as tais das derivadas parciais. Daí que vem o nome de Equações Diferenciais Parciais (EDP), e essas equações tem essa carinha aqui:

F x , y ,   … ,   u x , y , … ,   ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , … , ∂ 2 u ∂ x 2 , ∂ 2 u ∂ y 2 , … , ∂ 2 u ∂ x ∂ y , … = 0

Onde: x ,   y , etc., são as variáveis independentes e u é a variável dependente.

A ordem de uma equação de derivadas parciais (EDP) corresponde à ordem da maior derivada parcial presente na equação.

uma EDP linear deverá ser linear relativamente à variável dependente e às suas derivadas. No caso de uma EDP linear de segunda ordem, teremos no caso geral:

a u x x + b u x y + c u y y + d u x + e u y + f u = g

Onde u é função de x e y e em que a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f   são coeficientes que podem ser função de x e y (mas não de u ).

Quando os coeficientes não são função de x e y , a EDP diz-se de coeficientes constantes.

Se g   =   0 , a EDP é homogênea e ainda pode ser ainda classificada de acordo com a natureza dos coeficientes que multiplicam as derivadas de segunda ordem:

b 2 - 4 a c = 0 →   E D P   p a r a b ó l i c a b 2 - 4 a c > 0 → E D P   h i p e r b ó l i c a b 2 - 4 a c < 0 → E D P   e l í p t i c a                

Basicamente essa classificação é geométrica, onde diferentes tipos geométricos de EDPs apresentam soluções com diferentes comportamentos.

Equações diferenciais parciais elípticas

A equação diferencial parcial elíptica e considerada pela equação de Poisson, onde:

∇ 2 u x , y = ∂ 2 u ∂ x 2 x , y + ∂ 2 u ∂ y 2 x , y = f ( x , y )

Em R = x , y | a < x < b , c < y < d . Com u x , y = g ( x , y ) para ( x , y ) ∈ S , em que S denota fronteira de R. Se f e g forem contínuas em seu domínio, existe uma única solução para esta equação. A resolução desse tipo de EDP pode ser feita com diferenças finitas.

Equações diferenciais parciais parabólicas

A EDP parabólica é usada para estudar equações de calor ou difusão:

∂ u ∂ t x , t = α 2 ∂ 2 u ∂ x 2 x , t ,   o n d e   0 < x < 1   e   t > 0

Sujeita às condições: u 0 , t = u l , t = 0 ,   t > 0   e   u x , 0 = f x ,   0 ≤ x ≤ 1

A abordagem que usamos para resolver é semelhante a diferenças finitas.

Equações diferenciais parciais hiperbólicas

Um exemplo de EDP hiperbólica é a equação da onda.

A equação da diferença é:

w i , 1 = 1 - λ 2 f x i + λ 2 2 f x i + 1 + λ 2 2 f x i - 1 + k g ( x i )

Agora que falamos um pouco, sobre as características de cada EDP, vamos resolver exercícios !!!

Equações diferenciais parciais elípticas

Equações diferenciais parciais parabólicas

Equações diferenciais parciais hiperbólicas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Diferenciações elípticas: Dada a equação de diferenças finitas na equação de Poisson, esboce as entradas e saídas para a implementação dessa equação:

sujeita às condições de contorno

Passo 1

ENTRADA: extremidades a ,   b ,   c e   d ; inteiros m ≥ 3 ; n ≥ 3 ; tolerância TOL; número máximo de iterações   N .

Passo 2

SAÍDA: aproximações w i , j , para u ( x i , y i ) para cada i = 1 , … , n - 1 e para cada j = 1 , … , m - 1 ou uma mensagem de que o número de iterações foi excedido.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Equações diferenciais parabólicas: Dadas as diferenças regressivas na equação do calor, esboce as entradas e saídas para a implementação dessa equação:

Passo 1

ENTRADA: extremidades   l   ; inteiros m ≥ 3 ; N ≥ 1 ; constante α ; tempo máximo   T .

Passo 2

SAÍDA: aproximações w i , j , para u ( x i , t i ) para cada i = 1 , … , m - 1 e para cada j = 1 , … , N .

Resposta

Exercício Resolvido #3

Diferenciações parabólicas: Dada a fórmula do Método Crank-Nicolson e as condições de contorno, esboce as entradas e saídas para a implementação dessa equação:

Passo 1

ENTRADA: extremidades l ; inteiros m ≥ 3 ; N ≥ 1 ; constante α , tempo máximo T   .

Passo 2

SAÍDA: aproximações w i , j , para u ( x i , y i ) para cada i = 1 , … , m - 1 e para cada j = 1 , … , N

Resposta

Exercício Resolvido #4

Diferenciações hiperbólicas: Dada a equação de diferenças finitas da onda, esboce as entradas e saídas para a implementação dessa equação:

Passo 1

ENTRADA: extremidades l ; inteiros m ≥ 2 ; N ≥ 2 ; constante α , tempo máximo T   .

Passo 2

SAÍDA: aproximações w i , j , para u ( x i , y i ) para cada i = 0 , … , m e para cada j = 1 , … , N

Resposta

Exercício Resolvido #5

Existem muitos métodos de diferenças finitas implícito para problemas hiperbólicos por que eles seriam usados?

Passo 1

Fala aí!! Primeiro, vamos ver o que é esse método implícito (por alto):

O Método Implícito é incondicionalmente estável, ou seja, não necessitam satisfazer quaisquer critérios de estabilidade para produzirem soluções estáveis.

A estabilidade de métodos numéricos está intimamente associada ao erro numérico.

No método das diferenças finitas implícito, a primeira derivada de tempo é aproximada pela equação da diferença progressiva.

Beleza?? Isso é só para contextualizar um pouco o enunciado.

Passo 2

Agora sim, respondendo a pergunta:

Sim, existem muitos métodos implícitos de diferenças finitas para problemas hiperbólicos. Esses esquemas de diferenças finitas são usados para resolver sistemas hiperbólicos não lineares de primeira ordem.

Resposta

Explicação no passo a passo.