Métodos de Série de Taylor
Teoria
O que eram as Séries de Taylor mesmo?
Falaaaaa aí, já vimos até agora métodos bem tranquilinhos de resolução de EDO. Agora vamos ver uma família de métodos.
Lembra desse problema: achar , se:
Lembra? Bom, a gente aprendeu a resolver por Euler. Mas agora vamos aprender um método que pode ser infinitamente mais preciso que Euler! E vou te mostrar como resolver esse exercício com ele!
Que são os métodos de Série de Taylor (vamos chamar carinhosamente de ST). Bora relembrar o que são as ST.
Basicamente, a ideia é que : conhecendo as derivadas de uma função em um ponto , nós podemos escrever essa função como um polinômio infinito:
Hmmm... beleza, então podemos usar isso pra tudo?
ÉEEEEEEEH MAIS OU MENOS hahaha
Primeiro porque é difícil calcular derivadas de ordem e porque temos que parar uma hora e outra, ficar fazendo cálculo até o infinito não vai rolar né, meu jovem!
E é por isso que nós acabamos parando em algum momento, fazendo com que nessa parada a gente calcule uma ST incompleta e nela acabamos levando uns errinhos junto. Quando acabamos a série no termo , o erro fica:
Tipo assim, o é um número que tem que estar entre e (último valor no intervalo que é estudado, veremos melhor mais pra frente). O problema é que nós não conseguimos achar esse . Triste, eu sei... Mas daqui, podemos ver que quanto mais termos tivermos na expansão de Taylor, mais próximo estamos da função e, consequentemente, menor o erro.
Aí, a estratégia, quando queremos estimar o erro de truncamento, é encontrar um número e muito provavelmente esse número será maior que , para qualquer valor que estiver entre nosso intervalo de entre e .
E olha que nem precisa ser tãaaaaaaao próximo assim, geralmente nós jogamos um muito maior do que precisamos, mas o que vale é darmos uma margem de segurança né! Joga um intervalão sabe? Aí teremos uma faixa de valores tal que certamente está dentro. Agora, se o erro acabar sendo maior do que a questão está pendindo, é mais fácil adicionar outro termo na nossa sériezinha. O erro de truncamento é:
Onde , . Ou seja, é o valor máximo da derivada de ordem da função, em que pode assumir qualquer valor no intervalo .
Recapitulando. A Série de Taylor em torno de é:
E o erro:
Como usamos isso pra resolver EDO’s?
Tá tudo muito bom, tá tudo muito bem... Mas nosso real problema aqui é resolver EDO,e mais especificamente as do PVI, certo?
E agora, José?
Para entre e , onde é o passo, um Método de Série de Potências de ordem , fazemos:
Então calma lá: A gente sabe calcular conhecendo e o correspondente, é só fazer né. Tipo assim, fazemos ficar tudo em função de .
Mas e pra calcular derivadas de ordem mais alta, tipo e ? Ora, a gente deriva:
Eita, e agora?
Agora é só usar aquela regrinha láaaaa do cálculo 1, a nossa velha amiga Regra da Cadeia aqui. Daí tiramos:
Como já descobrimos , conseguimos obter .
Eu sei que usar a Regra da Cadeia em funções de mais de uma variável é meio complicado, então eu vou dar uma ajudinha. E como é difícil usarmos um Método de ST de ordem maior que 2, raramente vamos precisar da terceira derivada:
Bem grande né. É por causa dessas fórmulas de derivadas que o Método de ST não é o mais usado: ele tem uma ótima precisão, mas é complicado calcular tantas derivadas.
Estimamos o erro em cada passo com a fórmula:
Onde , .
Exemplo: se e , com :
, com
Eita, vimos muita coisa, então pra fixar:
E calculamos as derivadas de derivando:
Bom, promessa é dívida, vamos resolver: achar, pelo método de Taylor de ordem 1, com passo , se:
Bom, então estamos trabalhando no intervalo em . E a relação de recorrência por Taylor de ordem 1 é:
Onde:
Então, no nosso caso, temos:
E queremos , já que para chegar em , partindo de a um passo , precisamos fazer duas iterações apenas. Pois de para , é uma iteração e de para é uma outra iteração. Então, vamos lá:
Continuando:
Obs: O Método de Euler é igual ao Método de ST de ordem 1. Já que, pegando o Taylor de ordem 1, temos a relação de recorrência:
Que é exatamente a relação de Euler!
Algoritmo
O bizu pros computeiros implementarem o Método de ST de ordem 2
- Defina o passo
- Defina o intervalo em que vamos estimar :
- Pegamos a expressão
- Pegamos um vetor onde vamos guardar os valores de e fazemos .
- Pra entre e fazemos . O sai da expressão que achamos no passo 3.
Calculamos e na mão mesmo
Bora pros exercícios fazer conta.
Como usamos isso pra resolver EDO’s?
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Ruggiero, M. A. e Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed.São Paulo: Pearson Makron Books, 1996. Cápitulo 8. Exercício 22.(Adaptado)
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI:
Sendo
Passo 1
Aqui nem temos que fazer tantas contas assim! Ele só nos pediu a fórmula de iteração!
Lembrando que no caso geral ela é:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Daí, a fórmula de iteração fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 325, exemplo 2 adaptado.
Calcular usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:
Passo 1
Fala, td blz? Esse assunto de resolver PVI com série de Taylor é muita viagem né, mas vamos por partes, pode ficar tranquilo. Olha lá, a primeira coisa a se fazer é isolar o na sua EDO.
Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de , ok?
E já vamos calcular logo de cara o , que é parte da fórmula pra achar ,
com os dados de e que a gente tira do PVI alí no enunciado.
Passo 2
Agora temos que encontrar o . Como seu professor pediu ordem 2, essa vai ser a última derivada que você precisa achar. Pra isso vamos aplicar a regrinha da cadeia hehe
Vamos por pedacinho então
E
Então temos
Agora precisamos calcular , que é parte da fórmula pra achar .
Passo 3
Agora precisamos substituir esses valores que encontramos na fórmula do método que é essa aqui oh:
Adaptada pro nosso problema, ela fica assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Listas de exercício – UNESP - Adaptado
Calcular usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:
Considere
Passo 1
Fala, td blz? Doideraaa resolver PVI com série de Taylor, mas vamos lá!! Primeiro, Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de , ok?
Sabemos também lá da teoria que para achar , teremos que achar primeiro então olha lá.
Então bora calcular esse
Beleza, a última parcela que falta é , mas pra acha-la vamos precisar de uma ajudinha da regra da cadeia
Por partes, e com calma vamo lá.
E
Então
Aeeew!! Agora basta encontrar
Então já podemos achar .
Passo 2
Já estamos quase lá, agora é só aplicar mais uma iteração pra chegar em
Podemo calcular .
E rapidão já calcular .
E pra acabar, e tirar aquele 10, basta agora usar de novo a equação do método que a gente montou lá no começo.
Resposta
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