Método de Euler Aperfeiçoado
Teoria
E aí meus caros, bora entender mais um assuntinho de numérico envolvendo resolução de EDO´s. Espero que você ainda lembre do método de Euler, pois vamos continuar falando dele.
Então chega mais, que aqui é só sucesso!
Antes de começas, é importante saber que esse método pode ter outros nomes conhecidos: método de Euler modificado e método de Heun.
Vamos dar uma olhadinha aqui, só pra relembrar. O método de Euler é um método iterativo, ou seja, onde uma etapa do cálculo depende da anterior até que a gente chegue no resultado. Tranquilo né?
O método de Euler tenta aproximar o valor exato da função através da reta tangente no ponto ( ) mais ou menos assim:
Esse valor é a inclinação da reta tangente, e dentro do cálculo, a função que tem a ver com a reta tangente é??? Isso mesmo, a derivada. Então . Isso é uma informação importantíssima e você já vai sacar o motivo!
Se liga só:
Fazendo algumas considerações tipo: que o passo h será uniforme , entre pontos , dentro de um intervalo temos:
Basicamente, no método de Euler convencional
Maaaaaaaaaaas, esse assunto é para falar do método de Euler Aperfeiçoado, então meu consagrado, vamos melhorar esse negócio.
O método convencional utilizava uma retinha tangente e tals, e nesse vamos fazer o que????????
Aqui nós determinamos duas derivadas (ou seja, duas retas tangentes) para o intervalo, uma no ponto inicial e outra no ponto final.
E qual das duas nós usamos no cálculo? As duas ué, só que nesse caso nós pegamos a média entre elas.
Veja que é a inclinação no início do intervalo e no final do intervalo. Vamos adicionar algumas coisas nela e deixar assim oh:
Lembrando que !
Até aí tudo bem né? Nós só acrescentamos uma tangente a mais.
E o erro vai ser o seguinte:
Mas, é aquela velha história, que interessa mesmo pra gente é o limitante do erro:
onde é o valor máximo (aplicado ao intervalo) da terceira derivada.
.
Só pra ter certeza que ficou tudo cristalino vamos ver um exemplo. Resolve aí!
Começamos isolando nosso :
E temos que . Agora jogamos na fórmula:
Agora para não ficar muito embolado eu recomendo resolver separadamente:
Juntando tudo:
Então acabamos de descobrir que !
Para achar os outros é só continuar o processo 😉
Algoritmo
O algoritmo não vai mudar muito do de Euler normal não. Só precisamos adicionar aquela parcela.
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
- Passo
- Intervalo em que vamos estimar ,
- Valor inicial
Passo 2. Definimos um vetor onde vamos guardar as estimativas de , de modo que
Passo 3. Definimos um vetor formado pelos pontos onde vamos estimar as derivadas.
Passo 4. Definimos
Passo 5. Para de a repita os passos 6 e 7.
Passo 6.
Passo 7.
Pra finalizar é só retornar o vetor ! Fica a dica também que existem diferentes entradas possíveis para esse método. As que eu usei são só um exemplo. Você poderia entrar, por exemplo, com o , o passo e o valor ao invés de entrar com o intervalo. Outra opção era entrar diretamente com o vetor pronto. Nesse caso não seria necessário dar nem o passo nem o intervalo.
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Lista 6 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 1 Adaptada
Determine uma aproximação para na seguinte Equação Diferencial Ordinária, com o passo pelo método de Euler Aperfeiçoado:
Passo 1
Pelas informações que ele nos deu temos:
E com passo teremos o seguinte:
Agora é só jogar na fórmula e ser feliz:
Iteração 1 :
Iteração 2 :
Iteração 3 :
Iteração 4 :
Iteração 5 :
Passo 2
Ufa, chegamos na nossa aproximação!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Lista 7 – Professora Angela – UFRJ – Questão 3
Determine uma aproximação para sabendo que é solução da equação diferencial:
usando o método de Euler aperfeiçoado, com
Passo 1
Temos que:
E com passo teremos o seguinte:
Aplicando a fórmula:
Iteração 1 :
Iteração 2 :
Passo 2
Pronto, nossa aproximação é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Lista 7 – Professor Angela – UFRJ – Questão 4 Adaptada
Dado o :
Calcule uma aproximação para com usando o método de Euler Aperfeiçoado.
Passo 1
Temos:
E com passo teremos o seguinte:
Só jogar na fórmula e fim de papo:
Iteração 1 :
Iteração 2 :
Passo 2
E chegamos na nossa aproximação:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Lista 7 – Professora Luziane – UFRJ – Questão 2 Adaptada
Dado o . Considere e .
Encontre uma aproximação para usando o método de Euler Aperfeiçoado para cada .
Compare seus resultados com a solução exata dada por .
Passo 1
Temos o seguinte:
E com passo teremos o seguinte:
Aplicando a formuleta:
Iteração 1 :
Iteração 2 :
Logo, temos
Passo 2
Agora com :
Iteração 1 :
Iteração 2 :
Iteração 3 :
Iteração 4 :
Iteração 5 :
E nossa aproximação aqui vai ficar:
Passo 3
A solução exata é:
Como podemos ver, ambas as nossas aproximações bateram com o valor exato da função naquele ponto. Isso pode ser explicado pela fórmula do erro! Temos:
Como nossa função é de segundo grau, sua derivada terceira é zero! Logo, o erro será zero independente do escolhido.
Resposta
Para , .
Para , .
O valor exato da função é . Logo, nossas aproximações bateram com o valor exato. Ver explicação acima.
Exercício Resolvido #5
Lista de exercícios - FEI
Calcular a EDO:
No intervalo , para e passo . Resolver pelo método de Euler Aperfeiçoado.
Passo 1
Bom a gente precisa escrever as equações adaptadas ao problema. Então bora lá, tudo que tem tem que estar do lado esquerdo da igualdade, enquanto tudo o que não tem linha deve estar do lado direito da igualdade. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:
Nesse nosso exercício o professor já deu a EDO nesse estilinho. =)
As equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema ficam desse jeito aqui:
Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a . Shooow!
Começou a ficar meio feio né. Mas o que essa fórmula aí quer dizer é o seguinte:
- Onde tiver escrito , escreva ;
- Onde tiver escrito , escreva . E esse é o resultado da primeira equação e é o passo que o professor pediu.
Então, a equação ficou assim oh!
A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de .
Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida
Passo 2
A tabela é essa aqui oh:
Percebe que o passo na linha do é e sabemos do enunciado que que tá alí na primeira linha do . As outras duas linhas são pra cada K que calcularmos. Beleza?!
Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar a tabela.
Coluna:
Agora a gente aplica a equação para encontrar o próximo .
Agora Coluna:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Lista de exercícios - FEI
Dada a equação diferencial calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Euler Aperfeiçoado. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.
Passo 1
Faala aeee, de cara já temos que olhar como a nossa EDO foi dada pelo professor. O ideal é que ela esteja separadinha, de um lado e do outo. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:
Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.
Agora precisamos escrever as equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema.
Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a . Já a equação de é um pouco mais escrotinha, o formato dela é esse aqui:
Caaalma, essa equação do demoooo quer dizer o seguinte oh:
- Onde tiver escrito , escreva ;
- Onde tiver escrito , escreva . E esse é o resultado da primeira equação e é o passo que o professor pediu.
Então, a equação ficou assim oh!
A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de .
Bora por tudo isso numa tabelinha então pra gente não se perder com tanta coisa.
Passo 2
A tabela é essa aqui oh:
Na primeira linha o passo é e sabemos do enunciado que que tá alí na primeira linha do . Agora precisaremos encontrar e para encontrarmos e .
Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.
Coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora é só jogar tudo na tabelinha.
Agora só ficou faltando achar o .
Bora pra próxima coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora foiii hein, calculamos tudo!! Bora colocar na tabelinha.
Resposta
Exercício Resolvido #7
Lista de exercícios - FEI
Calcular a EDO:
No intervalo , para e passo . Resolver pelo método de Euler aperfeiçoado.
Passo 1
Faala aeee, já estamos com sorte logo de cara. O ideal é que a EDO esteja separadinha, de um lado e do outo. Assim, a EDO deve estar escrita assim oh:
Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.
Agora precisamos escrever as equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema.
A primeira foi só tranquilidade, é só copiar a . Já a equação de é mais barra pesada, o formato dela é esse aqui:
Caaalma, essa equação do demoooo quer dizer o seguinte oh:
- Onde tiver escrito , escreva;
- Onde tiver escrito , escreva . E esse é o resultado da primeira equação e é o passo que o professor pedir.
Então, a equação ficou assim oh!
Como o passo , temos:
A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de .
Vamos por todos os resultados numa tabelinha, pq a gente não é obrigado né a decorar tudo isso.
Passo 2
A tabela é essa aqui oh:
Na primeira linha o passo é e sabemos do enunciado que que tá alí na primeira linha do . Agora precisaremos encontrar e para encontrarmos e .
Agora é só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.
Coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora é só jogar tudo na tabelinha.
Agora só ficou faltando achar o .
Bora pra próxima coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora foiii hein, calculamos tudo!! Bora colocar na tabelinha.
Resposta
Exercício Resolvido #8
Lista de exercícios - FEI
Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: , onde é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante positiva. Supondo , e , como calcular, pelo método de Euler aperfeiçoado, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1?
Passo 1
Oiiiie, logo de cara a gente precisa escrever as equações adaptadas ao problema. Então bora lá, tudo que tem tem que estar do lado esquerdo da igualdade, enquanto tudo o que não tem linha deve estar do lado direito da igualdade. Dessa forma, a EDO vai estar escrita assim oh:
Nesse nosso exercício tá tudo lindo, o professor já deu a EDO nesse formato.
Substituindo as constantes na EDO, ficamos com:
As equações do método de euler aperfeiçoado adaptadas a esse problema ficam desse jeito aqui oh:
Beleza essa primeira foi fácil, é só copiar a . Shooow!
Já a equação de fica assim:
Caaalma, essa equação estranha quer dizer o seguinte oh:
- Onde tiver escrito , escreva ;
- Onde tiver escrito , escreva . E esse é o resultado da primeira equação e é o passo que o professor pediu.
Então, a equação ficou assim oh!
Como , temos:
A última equação, vai ser aquela que a gente usa para achar o valor de .
Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida
Passo 2
A tabela é essa aqui oh:
Percebe que o passo na linha do é e sabemos do enunciado que que tá alí na primeira linha do . As outras duas linhas são pra cada K que calcularmos. Beleza?!
Bora por a mão na massa então. É só aplicar as equações adaptadas para completar as colunas da tabela.
Coluna :
Agora a gente aplica a equação para encontrar .
Agora é só jogar tudo na tabelinha.
Bora pra próxima coluna :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Passando pra tabelinha, que ajuda a gente a não se perder...
Bora pra próxima coluna :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Passando tudo pra tabelinha do passo-a-passo:
Bora pra ÚLTIMA coluna, :
Só aplicar a equação para encontrar agora.
Finalizando a tabela ficamos com:
Dá pra ver aí que encontramos as concentrações de glicose (valores de em verde) para cada instante de tempo pedido pelo professor!! Show de Bolinhas!!
Resposta
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