Elipsóide, Esfera e Hiperbolóides

Teoria Completa

Equações:

Fala, rapaziada! Hoje vamos tratar de superfícies quádricas. Dividimos elas em dois grupos para gente poder estuda-las com calma e deixar tudo bem explicadinho pra você.

O grupo que vamos estudar agora, tem a seguinte forma:

± x - x 0 2 a 2 ± y - y 0 2 b 2 ± z - z 0 2 c 2 = 1

a , b , c > 0

Calma que eu já explico!

Elipsoide

Quando os 3 sinais forem positivos . A fórmula geral do Elipsoide com centro em ( x 0 , y 0 , z 0 ) é :

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

Caso o Elipsoide tenha centro em ( 0,0 , 0 ) a equação fica:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

O gráfico do Elipsoide tem a forma:

Observação: Para o caso de a = b = c temos uma esfera de raio r = a

Hiperbolóide de uma folha:

Quando temos 2 sinais positivos e 1 é negativo. As equações do Hiperbolóide de uma folha são:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

- x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

Seus gráficos são respectivamente:

Perceba que eixo do Hiperbolóide de uma folha encontra-se ao longo do eixo da variável com sinal negativo.

Hiperbolóide de duas folhas:

Quando apenas 1 sinal é positivo e 2 sinais são negativos. As equações do Hiperbolóide de duas folhas são:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

- x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

- x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 - z - z 0 2 c 2 = 1

Seus gráficos são respectivamente:

Perceba que o eixo do hipérbolóide de duas folhas ocorre ao longo do eixo da variável com sinal positivo.

Exemplo:

Identifique a quádrica a seguir:

x 2 4 + x 2 + y 2 - 2 y + z 2 + 1 4 = 0

Qual dos seguintes gráficos mais se assemelha a ela?

Resolução:

Que parada bizarra é essa ???

x 2 4 + x 2 + y 2 - 2 y + z 2 + 1 4 = 0          

Calma, acredite em mim, isso é uma quádrica. Vou provar pra você.

Primeiramente, observe que todas as variáveis elevadas ao quadrado tem coeficientes positivos. Isso nos indica possivelmente um Elipsoide.

Para provar que é um elipsoide ,vamos ver se conseguimos colocar essa equação na forma:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

Primeiramente vamos olhar para:

x 2 4 + x 2

Vamos tentar ajeitá-lo, para que ele fique da forma de um quadrado perfeito

x 2 4 + x 2 = x 2 + 2 x 4  

Opa! O numerador nos faz lembrar x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 . Mas não tem esse " + 1 " no numerador. Podemos fazer o seguinte:

x 2 4 + x 2 = x 2 + 2 x 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 4 = x + 1 2 - 1 4 = x + 1 2 4 - 1 4

Sacou? Eu somei 1   e subtraí 1 do numerador, para que aparecesse o quadrado perfeito.

Observação: Perceba que x 2 + a x = x + a 2 2 - a 2 4 , no caso acima: x 2 + 2 x = x + 1 2 - 1

Vamos fazer a mesma análise para o termo :

y 2 - 2 y

Esse termo nos lembra:

y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1

Ajeitando temos:

y 2 - 2 y = y 2 - 2 y + 1 - 1 = y - 1 2 - 1

Portanto, a equação ( i ) fica:

x 2 4 + x 2 + y 2 - 2 y + z 2 + 1 4 = 0          

x + 1 2 4 - 1 4 + y - 1 2 - 1 + z 2 + 1 4 = 0 → x - ( - 1 ) 2 4 + y - 1 2 + z 2 = 1

Que é exatamente a equação do elipsoide!!! Letra A!!!!!!

Obtendo gráficos

Agora que já vimos as equações e a “cara” do gráfico das superfícies quádricas, vamos mostrar porque elas são assim e esboçar seus gráficos passo a passo.

Vou te mostrar o passo a passo com esse exemplo aqui

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Sabemos que isso é uma elipsoide. Ele vai ter mais ou menos a cara:

Vamos começar esboçando seus traços, ou seja, a interseção do Elipsóide com os planos coordenados.

Traços:

  • Traço no plano x y   z = 0 :
  • x 2 4 + y 2 9 = 1

    É uma elipse com centro em ( 0,0 , 0 ) e semi-eixos 2 e 3. O traço fica:

  • Traço no plano x z   ( y = 0 ) :
  • x 2 4 + z 2 16 = 1

    É uma elipse com centro em ( 0,0 , 0 ) e semi-eixos 2 e 4. O traço fica:

  • Traço no plano y z   ( x = 0 ) :
  • y 2 9 + z 2 16 = 1

    É uma elipse com centro em ( 0,0 , 0 ) e semi-eixos 3 e 4. O traço fica:

    Vamos fazer agora interseções com planos paralelos aos eixos coordenados.

    Interseções:

  • Plano z = k
  • x 2 4 + y 2 9 = 1 - k 2 16 → x 2 4 1 - k 2 16 + y 2 9 1 - k 2 16 = 1

    São elipses para - 4 < k < 4

    Observação: Para k > 4 ou k < - 4 repare que 1 - k 2 16 < 0 , logo não existe x e y que satisfaçam: x 2 4 + y 2 9 = 1 - k 2 16 < 0 , pois a soma de dois números elevados ao quadrado não pode ser menor do que zero. Por isso, não há interseção k > 4 ou k < - 4

  • Plano y = k
  • x 2 4 + z 2 16 = 1 - k 2 9 → x 2 4 ( 1 - k 2 9 ) + z 2 16 ( 1 - k 2 9 ) = 1

    São elipses para - 3 < k < 3

  • Plano x = k

y 2 9 + z 2 16 = 1 - k 2 4 → y 2 9 ( 1 - k 2 4 ) + z 2 16 ( 1 - k 2 4 ) = 1

São elipses para - 2 < k < 2

Agora no seu gráfico plote os traços que achamos

Agora é só achurar aregião delimitada pelos traços

Esse raciocínio é o que você precisa saber para esboçar qualquer superfície. Eu fiz um exemplo para te mostrar o jeitão desses exercícios. Agora é com você! Vai lá nos exercícios praticar um pouco.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 217 – 1,2,8,12

Associe cada quádrica ao gráfico que mais se assemelha a ela:

  1. x 2 + y 2 + 4 z 2 = 10
  2. z 2 + 4 y 2 - 4 x 2 = 4
  3. z 2 + x 2 - y 2 = 1
  4. 9 x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 = 36

i)