Equação do Plano

Teoria Completa

Planos

Fala galera !!! Vamos abordar aqui tudo o que você precisa saber sobre planos, podemos começar? Então bora!!!

Para um plano estar bem definido no espaço precisamos de apenas duas informações:

  • Um ponto no plano: P 0
  • E um vetor normal ao plano: n →

Só isso? Sim!!! Tudo que vamos desenvolver daqui pra frente tem por base esses dois elementos. Então olha no gráfico aí os elementos P 0 e n → !!!

Equação do Plano:

Imagine a seguinte situação: um vetor normal ao plano n → = 1,2 , 3 , um ponto P 0 = 1,1 , 1 , e um ponto qualquer no plano P = x , y , z . Visualize melhor na figura a seguir:

O vetor P 0 P → está contido no plano e tem componentes P 0 P → = ( x - 1 , y - 1 , z - 1 ) .

O vetor n → é normal ao plano e, portanto, ortogonal a qualquer vetor contido no plano. Logo o vetor n → é ortogonal ao vetor P 0 P → .

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero. Então o produto escalar entre o vetor n → e o vetor P 0 P → é zero!!!

O produto escalar fica assim:

n → ⋅   P 0 P → = 0

n → . ⋅ ( x - 1 , y - 1 , z - 1 ) = 0

1,2 , 3 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 1 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

Portanto, de um modo geral, se n → = ( a , b , c ) , P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) e P = ( x , y , z ) , a equação do plano será:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Viu?! Não é tão difícil assim, vai... Vamos ver um exemplo.

Exemplo:

Encontre a equação do plano que contém o ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) , sabendo que n → = ( 1,2 , 3 ) é um vetor normal ao plano.

Basta usar a fórmula de equação de plano que acabamos de encontrar:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

Que é o mesmo que :

x + 2 y + 3 z = 6

Gráfico de Planos:

Já sabemos encontrar a equação do plano. Show! Mas e se pedirem o gráfico do plano?! Vamos ver agora um passo a passo de como fazer isso.

Considere o plano x + y + z = 1

  • Passo 1: Traços
  • Vamos começar fazendo os traços do plano dado. Traços??? Mas o que é isso??? Calma, eu explico: Traços de um plano (ou qualquer outra superfície) são as curvas de interseção entre o plano (ou superfície) e os planos coordenados x y , y z e x z . Sacou?

    Então vamos lá. Começaremos achando o traço do plano x + y + z = 1 no plano x y .

    Quando estamos em qualquer ponto do plano x y qual o valor de z ??? Isso mesmo, z = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    x = 1 - y

    Essa reta intercepta o eixo x no ponto ( 1,0 , 0 ) e intercepta o eixo y no ponto ( 0,1 , 0 ) .Portanto, o traço no plano x y fica:

    Vamos achar o traço no plano y z . No plano y z , temos x = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    z = 1 - y

    Essa reta intercepta o eixo z no ponto ( 0,0 , 1 ) e intercepta o eixo y no ponto ( 0,1 , 0 ) . Então, o traço no plano y z é:

    Achando o traço no plano x z : No plano x z , temos y = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    x = 1 - z

    Essa reta intercepta o eixo z no ponto 0,0 , 1 e intercepta o eixo x no ponto 1,0 , 0 . Temos então o traço no plano x z :

    Em esboço de gráficos feitos à mão livre, nem sempre os desenhos ficam muito claros. Logo, os traços são extremamente importantes na hora da prova, pois possibilitam ao professor entender mais claramente o que a gente está fazendo.

  • Passo 2: Marcar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.
  • O próximo passo é marcar nos 3 eixos coordenados os pontos que achamos nos traços acima. Os pontos são: ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) . Fica:

    Esses 3 pontos vão definir o nosso plano.

  • Passo 3: Traçar um paralelograma e hachura-lo.
  • Agora, a gente traça um paralelogramo passando sobre os pontos e hachura esse paralelogramo. Repare que ele é inclinado para a esquerda, devido ao traço no plano y z ser uma reta também inclinada para a esquerda. Então o esboço do plano fica assim:

    Esse é o gráfico do plano x + y + z = 1 .

    Ou seja, o passo a passo ficou:

  • Passo 1: Traços
  • Passo 2: Marcar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.
  • Passo 3: Traçar um paralelograma e hachura-lo

Dica: Na hora da prova é importante fazer esse passo a passo que está feito aí em cima, pois quando o gráfico é feito à mão livre, o esboço pode acabar ficando meio confuso. Por isso, é importantíssimo fazer os traços e os pontos de interseção passo a passo e bem explicadinhos.

Posição relativa entre planos:

Analisar a posição relativa entre planos, nada mais é do que analisar a posição relativa entre os vetores normais aos planos. Alguns casos importantes:

  • Dois planos serão perpendiculares quando os vetores normais aos planos forem perpendiculares entre si. Isso indica:
  • n 1 → ⋅ n 2 → = 0

  • Dois planos serão paralelos quando seus vetores normais também forem paralelos. Ou seja:
  • n 1 → = n 2 → c

    Onde c é uma constante qualquer.

  • Se dois planos não são paralelos, então eles se interceptam em uma reta. O vetor diretor dessa reta será:

v → = n 1 → x   n 2 →

Verifique na imagem abaixo:

Bora pros exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil, 2009, pp. 207 - 26

Encontre a equação do plano que passa por A = ( 1 , - 2,1 ) e é perpendicular ao vetor da origem até A , e esboce seu gráfico.

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Passo 1

Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois elementos:

  • Um ponto P 0 pertencente ao plano.
  • E um vetor normal ao plano n →

O problema já fornece diretamente um ponto pertencente ao plano P 0 = A = ( 1 , - 2,1 ) .

Passo 2

Agora, temos de encontrar o vetor normal ao plano. Porém, podemos achá-lo calculando o vetor O A → , que é o vetor que vai da origem até A .

Calculando O A → :

n → = O A → = 1 , - 2,1 - 0,0 , 0 = 1 , - 2,1

Passo 3

Agora basta encontrar a equação do plano:

n → = a , b , c = 1 , - 2,1

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1 , - 2,1 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 - 2 y - - 2 + 1 z - 1 = 0

x - 1 - 2 y - 4 + z - 1 = 0

x - 2 y + z = 6

Passo 4

Vamos fazer os traços do plano.

  • Traço no plano x y ( z = 0 ) :
  • y = x - 6 2

    O eixo x   é interceptado no ponto ( 6,0 , 0 ) e o eixo y também tem um ponto de

    interseção em ( 0 , - 3,0 )

  • Traço no plano y z ( x = 0 ) :
  • z = 6 + 2 y

    O eixo z   é interceptado no ponto ( 0 , 0,6 ) e o eixo y também tem um ponto de interseção em ( 0 , - 3,0 )

  • Traço no plano z x ( y = 0 ) :

z = 6 - x

O eixo x   é interceptado no ponto ( 6 , 0,0 ) e o eixo z também tem um ponto de interseção em ( 0,0 , 6 )

Passo 5

Marcando os pontos , fazendo o paralelogramo, hachurando sua área, o gráfico fica:

Resposta

A equação do plano é:

x - 2 y + z = 6

E o seu esboço:

Exercício Resolvido #2

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 207 - 24

Encontre a equação do plano que passa por A = 2,4 , 5 , B = 1,5 , 7 e C = - 1,6 , 8 e esboce seu gráfico.

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Passo 1

Para encontrar a equação do plano precisamos do vetor normal n → e de um ponto pertencente ao plano. Beleza?

O problema nos fornece 3 pontos pertencentes ao plano. Ou seja, só nos falta encontrar o vetor normal n →

Vamos começar encontrando vetores pertencentes ao plano.

A B → = 1,5 , 7 - 2,4 , 5 = - 1,1 , 2

A C → = - 1,6 , 8 - 2,4 , 5 = ( - 3,2 , 3 )

Passo 2

Temos dois vetores pertencentes ao plano: A B → e A C →

Se fizermos o produto vetorial entre eles, teremos um vetor que é simultaneamente ortogonal a : A B → e A C → , e consequentemente normal ao plano. Então temos:

n → = A B → ×   A C → = i ^ j ^ k ^ - 1 1 2 - 3 2 3 = 3 - 4 i ^ - - 3 - - 6 j ^ + - 2 - - 3 k ^ = - i ^ - 3 j ^ + k ^

Passo 3

Pronto!!! Temos um vetor normal ao plano. Agora é só montar a equação do plano. Mas qual ponto eu escolho para utilizar como ponto pertencente ao plano na equação??? Qualquer um. Tanto faz. Vou escolher o ponto A . Temos:

n → = a , b , c = - 1 , - 3,1

P 0 = A = x 0 , y 0 , z 0 = ( 2,4 , 5 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 1 x - 2 - 3 y - 4 + 1 z - 5 = 0

- x - 3 y + z = - 9

Passo 4

Vamos fazer os traços do plano.

  • Traço no plano x y ( z = 0 ) :
  • y = 9 - x 3

    O eixo x   é interceptado no ponto ( 9,0 , 0 ) e o eixo y também tem um ponto de

    interseção em ( 0,3 , 0 )

  • Traço no plano y z ( x = 0 ) :
  • z = 3 y - 9

    O eixo z   é interceptado no ponto ( 0,0 , - 9 ) e o eixo y também tem um ponto de interseção em ( 0,3 , 0 )

  • Traço no plano z x ( y = 0 ) :

z = x - 9

O eixo x   é interceptado no ponto ( 9,0 , 0 ) e o eixo z também tem um ponto de interseção em ( 0,0 , - 9 )

Passo 5

Marcando os pontos , fazendo o paralelogramo, hachurando sua área, o gráfico fica:

Resposta

A equação do plano é:

x + 3 y - z = 9

E o seu esboço:

Exercício Resolvido #3

UFRJ - Cálculo 2 - PF 2013.2 - ME1

A equação do plano que contém as 2 retas parametrizadas por

r 1 t = 1 + t ,   t ,   - 1 + t ,         r 2 t = 1 - t ,   2 t ,   - 1 + t ,

com t ∈ R , é:

(a) x + y + z = 0

(b) - x - 2 y + 3 z = - 4

(c) - x + 2 y + z = 0

(d) - x - 2 y + 3 z = 0

(e) Nenhuma das demais alternativas.

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Passo 1

A equação de um plano que passa pelo ponto P 0 e tem vetor normal n → é dada por: n → = a , b , c

P 0 = x 0 , y 0 , z 0

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Então precisamos de um ponto onde o plano passa e de um vetor normal do plano!

Passo 2

Eles nos deu parametrizações de duas retas.

A parametrização de uma reta é da forma

r t = P 1 + v → t

onde P 1 é um ponto da reta e v → um vetor na direção da reta.

Repare que

r 1 t = 1,0 , - 1 + 1,1 , 1 t     e     r 2 t = 1,0 , - 1 + - 1,2 , 1 t

Ou seja, as 2 retas se cruzam no ponto ( 1,0 , - 1 ) e depois uma parte na direção do vetor v 1 → = ( 1,1 , 1 ) e a outra na direção do vetor v 2 → = ( - 1,2 , 1 ) .

Então já achamos um ponto do plano: o ponto P 0 = ( 1,0 , - 1 )

Na real, elas serem concorrentes foi uma grande coincidência! Caso elas não tivessem um ponto em comum, bastaria pegar qualquer ponto de uma das retas para ser o nosso P 0 . Afinal elas estão contidas no plano, ou seja, todos os pontos da reta, são pontos do plano!

Passo 3

Além do mais, isso que descobrimos é ótimo pra achar o vetor normal do plano!

Esse vetor n → é normal ao plano, então ele é normal às duas retas. Ou seja, ele é ortogonal aos vetores diretores dessas retas v 1 → = ( 1,1 , 1 ) e v 2 → = ( - 1,2 , 1 ) .

Fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores, vamos encontrar n → , o vetor normal a esses dois vetores e consequentemente normal ao plano. Então temos:

n → = v 1 → x v 2 → = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 - 1 2 1 = 1 x 1 - 2 x 1 i ^ - 1 x 1 - - 1 x 1 j ^ + 1 x 2 - - 1 x 1 k ^ = - i ^ - 2 j ^ + 3 k ^

n → = - 1 , - 2,3

Passo 4

Show! Vamos aplicar a equação do plano:

n → = a , b , c = - 1 , - 2,3

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,0 , - 1 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

- 1 x - 1 - 2 y - 0 + 3 z - - 1 = 0

- x - 2 y + 3 z = - 4

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #4

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil Ltda, 2009, pp. 208 - 70

Encontre a equação de um plano N que passa pela origem e encontra o plano M : 2 x + 3 y + z = 12 em um ângulo reto.

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Passo 1

O problema de cara já fornece um ponto pertencente ao plano N cuja equação queremos encontrar: P 0 = ( 0,0 , 0 )

Falta encontra o vetor normal ao plano N

Passo 2

Vamos achar esse vetor normal à N : n → = ( a , b , c )