Equação do Plano

Teoria Completa

Planos

Fala galera !!! Vamos abordar aqui tudo o que você precisa saber sobre planos, podemos começar? Então bora!!!

Para um plano estar bem definido no espaço precisamos de apenas duas informações:

  • Um ponto no plano: P 0
  • E um vetor normal ao plano: n →

Só isso? Sim!!! Tudo que vamos desenvolver daqui pra frente tem por base esses dois elementos. Então olha no gráfico aí os elementos P 0 e n → !!!

Equação do Plano:

Imagine a seguinte situação: um vetor normal ao plano n → = 1,2 , 3 , um ponto P 0 = 1,1 , 1 , e um ponto qualquer no plano P = x , y , z . Visualize melhor na figura a seguir:

O vetor P 0 P → está contido no plano e tem componentes P 0 P → = ( x - 1 , y - 1 , z - 1 ) .

O vetor n → é normal ao plano e, portanto, ortogonal a qualquer vetor contido no plano. Logo o vetor n → é ortogonal ao vetor P 0 P → .

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero. Então o produto escalar entre o vetor n → e o vetor P 0 P → é zero!!!

O produto escalar fica assim:

n → ⋅   P 0 P → = 0

n → . ⋅ ( x - 1 , y - 1 , z - 1 ) = 0

1,2 , 3 ⋅ x - 1 , y - 1 , z - 1 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

Portanto, de um modo geral, se n → = ( a , b , c ) , P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) e P = ( x , y , z ) , a equação do plano será:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Viu?! Não é tão difícil assim, vai... Vamos ver um exemplo.

Exemplo:

Encontre a equação do plano que contém o ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) , sabendo que n → = ( 1,2 , 3 ) é um vetor normal ao plano.

Basta usar a fórmula de equação de plano que acabamos de encontrar:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

Que é o mesmo que :

x + 2 y + 3 z = 6

Gráfico de Planos:

Já sabemos encontrar a equação do plano. Show! Mas e se pedirem o gráfico do plano?! Vamos ver agora um passo a passo de como fazer isso.

Considere o plano x + y + z = 1

  • Passo 1: Traços
  • Vamos começar fazendo os traços do plano dado. Traços??? Mas o que é isso??? Calma, eu explico: Traços de um plano (ou qualquer outra superfície) são as curvas de interseção entre o plano (ou superfície) e os planos coordenados x y , y z e x z . Sacou?

    Então vamos lá. Começaremos achando o traço do plano x + y + z = 1 no plano x y .

    Quando estamos em qualquer ponto do plano x y qual o valor de z ??? Isso mesmo, z = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    x = 1 - y

    Essa reta intercepta o eixo x no ponto ( 1,0 , 0 ) e intercepta o eixo y no ponto ( 0,1 , 0 ) .Portanto, o traço no plano x y fica:

    Vamos achar o traço no plano y z . No plano y z , temos x = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    z = 1 - y

    Essa reta intercepta o eixo z no ponto ( 0,0 , 1 ) e intercepta o eixo y no ponto ( 0,1 , 0 ) . Então, o traço no plano y z é:

    Achando o traço no plano x z : No plano x z , temos y = 0 . Substituindo na equação do plano temos a reta:

    x = 1 - z

    Essa reta intercepta o eixo z no ponto 0,0 , 1 e intercepta o eixo x no ponto 1,0 , 0 . Temos então o traço no plano x z :

    Em esboço de gráficos feitos à mão livre, nem sempre os desenhos ficam muito claros. Logo, os traços são extremamente importantes na hora da prova, pois possibilitam ao professor entender mais claramente o que a gente está fazendo.

  • Passo 2: Marcar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.
  • O próximo passo é marcar nos 3 eixos coordenados os pontos que achamos nos traços acima. Os pontos são: ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) . Fica:

    Esses 3 pontos vão definir o nosso plano.

  • Passo 3: Traçar um paralelograma e hachura-lo.
  • Agora, a gente traça um paralelogramo passando sobre os pontos e hachura esse paralelogramo. Repare que ele é inclinado para a esquerda, devido ao traço no plano y z ser uma reta também inclinada para a esquerda. Então o esboço do plano fica assim:

    Esse é o gráfico do plano x + y + z = 1 .

    Ou seja, o passo a passo ficou:

  • Passo 1: Traços
  • Passo 2: Marcar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.
  • Passo 3: Traçar um paralelograma e hachura-lo

Dica: Na hora da prova é importante fazer esse passo a passo que está feito aí em cima, pois quando o gráfico é feito à mão livre, o esboço pode acabar ficando meio confuso. Por isso, é importantíssimo fazer os traços e os pontos de interseção passo a passo e bem explicadinhos.

Posição relativa entre planos:

Analisar a posição relativa entre planos, nada mais é do que analisar a posição relativa entre os vetores normais aos planos. Alguns casos importantes:

  • Dois planos serão perpendiculares quando os vetores normais aos planos forem perpendiculares entre si. Isso indica:
  • n 1 → ⋅ n 2 → = 0

  • Dois planos serão paralelos quando seus vetores normais também forem paralelos. Ou seja:
  • n 1 → = n 2 → c

    Onde c é uma constante qualquer.

  • Se dois planos não são paralelos, então eles se interceptam em uma reta. O vetor diretor dessa reta será:

v → = n 1 → x   n 2 →

Verifique na imagem abaixo:

Bora pros exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON education do Brasil, 2009, pp. 207 - 26

Encontre a equação do plano que passa por A = ( 1 , - 2,1 ) e é perpendicular ao vetor da origem até A , e esboce seu gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois elementos:

  • Um ponto P 0 pertencente ao plano.
  • E um vetor normal ao plano n →

O problema já fornece diretamente um ponto pertencente ao plano P 0 = A = ( 1 , - 2,1 ) .

Passo 2

Agora, temos de encontrar o vetor normal ao plano. Porém, podemos achá-lo calculando o vetor O A → , que é o vetor que vai da origem até A .

Calculando O A → :

n → = O A → = 1 , - 2,1 - 0,0 , 0 = 1 , - 2,1

Passo 3

Agora basta encontrar a equação do plano:

n → = a , b , c = 1 , - 2,1

P 0 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1 , - 2,1 )

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 - 2 y - - 2 + 1 z - 1 = 0

x - 1 - 2 y - 4 + z - 1 = 0

x - 2 y + z = 6

Passo 4

Vamos fazer os traços do plano.

  • Traço no plano x y ( z = 0 )