Equação Não Exata - Fator Integrante

Teoria Completa

Vamos resolver essa EDO

x 2 + y 2 d x + x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

Ela tem a maior cara de exata não é? Vamos ver se ela é exata

Aqui,

M x , y = x 2 + y 2

N x , y = x 3 + 3 x y 2 + 2 x y

Assim

∂ M ∂ y = 2 y

∂ N ∂ x = 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y

Droga, deu diferente

Não é exata.

Vou tomar uma liberdade aqui de usar uma mágica

Vamos multiplicar toda a equação por e 3 y

e 3 y x 2 + y 2 d x + e 3 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

Vamos aplicar a condição de Euler de novo pra ver se mudou alguma coisa?

Agora

M x , y = e 3 y x 2 + y 2

E

N x , y = e 3 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y

Logo

∂ M ∂ y = e 3 y 2 y + 3 e 3 y x 2 + y 2 = e 3 y 2 y + 3 x 2 + 3 y 2

∂ N ∂ x = e 3 y 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y

A equação agora é exata!

Bruxaria né? O que que fizemos aqui? Tínhamos uma equação querendo muito ser exata, mas não era. Daí multiplicamos ela por uma função que fez ela virar exata.

Esse tipo de EDO é a que chamamos de quase exata. Falta só um empurrãozinho para ela ser exata. Esse empurrão é o nosso fator integrante.E como saber se ela admite esse tal fator e que fator é esse?

Achando o Fator integrante

Nós vamos ter dois candidatos para fator integrante

Candidato 1:

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

Se essa função só tiver x , vamos fazer

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

E o fator integrante vai ser

u x = e ∫ h x d x

Candidato 2:

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

Se essa função só tiver y , vamos fazer

f y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

E o fator integrante vai ser

u y = e ∫ f y d y

Resolvendo EDO quase exata

Olhamos a nossa EDO

x 2 + y 2 d x + x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

Não era exata, vamos ver os dois candidatos

∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N = 2 y - 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y = - 3 x 2 - 3 y 2 x 3 + 3 x y 2 + 2 y

Não, esse cara não é fator integrante. Não depende só de x

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M = 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y - 2 y x 2 + y 2 = 3 x 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 = 3

Opa, deu uma constante. Não tem nenhum x ali, né? Então só depende de y

f y = 3

E o nosso fator integrante vai ser

u y = e ∫ 3 d y = e 3 y

Por acaso a nossa mágica ;)

Passamos a ter uma EDO exata

e 3 y x 2 + y 2 d x + e 3 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

E agora é só resolver como já vimos em EDO Exata.

Observação: vou te dizer rapidinho de onde vem esse paranauê de fator integrante. Se você tá feliz só de decorar a fórmula, parte pros exercícios! Se quiser entender o por quê delas vem comigo. Vamos voltar pra nossa EDO do início:

x 2 + y 2 d x + x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

E já vimos que a EDO não é exata! A ideia do fator integrante vem agora. Vamos multiplicar esse bagulho por um fator integrante I ( x , y ) que vai fazer a EDO ficar exata. Ou seja:

d x x 2 + y 2 I ( x , y ) + d y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y I ( x , y ) = 0

Será uma EDO exata. Isso quer dizer que:

∂ ( M x , y I x , y ) ∂ y = ∂ ( N x , y I x , y ) ∂ x

Vamos aplicar a Regra da Cadeia nessa expressão:

∂ M x , y ∂ y I x , y + ∂ I x , y ∂ y M x , y = ∂ N x , y ∂ x I x , y + ∂ I x , y ∂ x N x , y

Agrupando:

I x , y ∂ M x , y ∂ y - ∂ N x , y ∂ x + ∂ I x , y ∂ y M x , y - ∂ I x , y ∂ x N x , y = 0

E aí você vai substituir as expressões de M , N e suas derivadas. No nosso caso, vamos chegar a:

∂ M x , y ∂ y = 2 y

∂ N x , y ∂ x = 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y

Substituindo:

I x , y 2 y - 3 x 2 - 3 y 2 - 2 y + ∂ I x , y ∂ y x 2 + y 2 - ∂ I x , y ∂ x x 3 + 3 x y 2 + 2 x y = 0

I x , y - 3 x 2 - 3 y 2 + ∂ I x , y ∂ y x 2 + y 2 - ∂ I x , y ∂ x x 3 + 3 x y 2 + 2 x y = 0

Vamos dividir tudo por x 2 + y 2 :

I x , y - 3 x 2 + y 2 + ∂ I x , y ∂ y x 2 + y 2 - ∂ I x , y ∂ x x 3 + 3 x y 2 + 2 x y = 0

- 3 I x , y + ∂ I x , y ∂ y - ∂ I x , y ∂ x x 3 + 3 x y 2 + 2 x y x 2 + y 2 = 0

Aí que vem o pulo do gato! Eu posso dizer que I é uma função só de y , aí ∂ I x , y ∂ x = 0 . Assim:

- 3 I x , y + ∂ I x , y ∂ y = 0

- 3 I y + ∂ I y ∂ y = 0

ATENÇÃO! Nesse caso eu não poderia dizer que I é função só de x . Porque ∂ I x , y ∂ y daria zero, mas ainda teríamos x e y na nossa EDO, sacou? Na parcela x 3 + 3 x y 2 + 2 x y x 2 + y 2 . Fique atentx a isso nos exercícios.

E como I é função só de y , a derivada parcial vira uma derivada normal:

∂ I y ∂ y = d I ( y ) d y

Então:

- 3 I y + d I ( y ) d y = 0

d I ( y ) d y = 3 I ( y )

d I ( y ) I ( y ) = 3 d y

ln ⁡ I ( y ) = 3 y

I y = e 3 y

E substituindo na EDO original:

x 2 + y 2 d x + x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

e 3 y x 2 + y 2 d x + e 3 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d y = 0

Que agora é uma EDO exata, aí você resolve normalmente.

Pronto! Agora é suave! Siga o passo-a-passo e detone os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET, EDO, P1 2011, Professor Roberto de Sá, Questão 1 item c

Use o fator integrante μ ( x ) = x y para resolver:

1 x - sen ⁡ x y d x + 1 y d y = 0

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Passo 1

Galerinha, cuidado com essa questão! Ela é bacana porque ele já disse o fator integrante, assim nos dá menos trabalho, mas se liga, a gente usa fator integrante tanto pra EDO exata, quanto pra EDO linear de primeira ordem. A questão é, pra usar esse fator integrante, devemos resolver isso como uma edo exata/quase exata ou edo linear de primeira ordem? Esse é o tchã da questão!

Tem como arrumar essa edo e deixar ela com carão de EDO linear de primeira ordem sim! Mas po, ele já está com cara de edo exata, então vamos testar primeiro para ver se esse fator integrante pode ser usado para resolver edo exata/quase exata.

Então vamos lá, vamos por questão de costume, ver se essa EDO é exata:

M x , y = 1 x - sen ⁡ x y N x , y = 1 y

Fazendo o teste:

∂ M ∂ y = sen ⁡ x y 2

∂ N ∂ x = 0

Vemos que ∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x , logo ela não é uma EDO exata, vamos ver se esse fator integrante ajuda?!

Multiplicando essa EDO por x y :

x y 1 x - sen ⁡ x y d x + x y 1 y d y = 0

Assim fica:

y - x sen ⁡ ( x ) d x + x d y = 0

Vamos fazer o teste para ver se ficou exata!

M x , y = y - x sen ⁡ ( x ) N x , y = x

Agora vamos lá:

∂ M ∂ y = 1

∂ N ∂ x = 1

Ae! Funcionou, então ok, esse é o fator integrante para transformar essa edo quase exata em exata! Se isso não funcionasse, você deveria deixar a cara da EDO com carão de EDO linear de primeira ordem, e testar esse fator integrante para resolver ela, sacou?!

Passo 2

Então agora temos que resolver uma EDO exata! Simbora!

y - x sen ⁡ ( x ) d x + x d y = 0

M x , y = y - x sen ⁡ ( x ) N x , y = x

Então vamos lá:

∫ M x , y d x = ∫ ( y - x sen ⁡ ( x ) ) d x = ∫ y d x - ∫ x sen ⁡ ( x ) d x

A primeira integral:

∫ y d x = y x

A segunda integral, faremos uma integração por partes:

∫ x sen ⁡ ( x ) d x

u = x → d u = d x d v = sen ⁡ ( x ) d x → v = - cos ⁡ ( x )

Assim:

∫ x sen ⁡ ( x ) d x = u v - ∫ v d u = - x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + sen ⁡ ( x )

Assim:

∫ M x , y d x = ∫ y d x - ∫ x sen ⁡ x d x = y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x + g y

Onde esse g y apareceu pois consideramos y constante.

Passo 3

Derivamos o que acabamos de achar com relação a y :

∂ ∂ y y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x + g y = x + g ' y

Passo 4

Compare o obtido no Passo 3 com N x , y :

x + g ' y = x

g ' y = 0

Passo 5

Ache g y integrando g ' y :

g y = ∫ 0 d y = 0

Obs.: Lembre-se que não precisamos acrescentar a constante nesse passo.

Passo 6

Obtenha a função u x , y = ∫ M x , y d x

u x , y = y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x + g y ⏟ 0

u x , y = y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 7

A solução é dada por u x , y = C :

y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x = C

Resposta

y x + x cos ⁡ x - sen ⁡ x = C

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, Questão 4

Considere a equação diferencial

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

a Determine todas as funções f x que tornam exata a equação diferencial

b Encontre a solução geral g x , y = c da equação diferencial usando a f x achada no item a .

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Passo 1

a )

Ele quer que essa função seja exata, para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = y 2 sen ⁡ x e N x , y = y f x . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

∂ M ∂ y = 2 y sen ⁡ x

∂ N ∂ x = y f ' x

Como queremos ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x para ela ser exata vamos ter

2 y sen ⁡ x = y f ' x

f ' x = 2 sen ⁡ x

Isso nos diz que

f x = - 2 cos ⁡ x + C 1

Passo 2

b )

Vamos agora resolver essa equação exata, vamos passar a ter M x , y = y 2 sen ⁡ x e N x , y = y - 2 cos ⁡ x + C 1

Integrando M x , y em relação a x

∫ y 2 sen ⁡ x   d x = y 2 - cos ⁡ x + A y = - y 2 cos ⁡ x + A y

Passo 3

Derivando o obtido com relação a y :

∂ ∂ y - y 2 cos ⁡ x + A y = - 2 y cos ⁡ x + A ' y

E igualando a N x , y :

- 2 y cos ⁡ x + A ' y = y - 2 cos ⁡ x + C 1

A ' y = C 1 y

Passo 4

Ache A y integrando A ' y (não precisa colocar a constante de integração):

∫ A ' y d y = ∫ C 1 y d y = C 1 y 2 2

Passo 5

Obtenha a função g x , y = ∫ M x , y d x

g x , y = - y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2

A solução é dada por g x , y = C :

- y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2 = C

Resposta

a f x = - 2 cos ⁡ x + C 1

b g x , y = - y 2 cos ⁡ x + C 1 y 2 2 = C

Exercício Resolvido #3

UNICAMP, Cálculo 3, Exame 2012, Questão 1

Encontre um fator integrante e resolva a equação dada

y   d x + 2 x y - e - 2 y d y = 0

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Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

M x , y = y → ∂ M ∂ y = 1

N x , y = 2 x y - e - 2 y → ∂ N ∂ x = 2 y

e vemos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h x = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N

h x = 1 - 2 y 2 x y - e - 2 y

Paaaara aí! Isso não é uma função só de x ...

Então vamos tentar o outro:

f y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

f y = 2 y - 1 y = 2 - 1 y

Ahh agora sim – que alívio! =)

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e ∫     f y d y

I y = e ∫     2 - 1 y d y

I y = e 2 y - l n ⁡ | y |

I y = e 2 y 1 y

E multiplicamos a equação toda por ele:

e 2 y 1 y . y   d x + e 2 y 1 y . 2 x y - e - 2 y d y = 0

e 2 y   d x + 2 x e 2 y - 1 y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = e 2 y → ∂ M ∂ y = 2 e 2 y

N x , y = 2 x e 2 y - 1 y → ∂ N ∂ x = 2 e 2 y

Agora sim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

∫     M x , y d x = ∫ e 2 y d x = x e 2 y + g y

E derivamos isso com relação a y :

∂ ∂ y x e 2 y + g y = 2 x e 2 y + g ' y

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com N x , y :

2 x e 2 y - 1 y = 2 x e 2 y + g ' y

g ' y = - 1 y

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

∫ g ' y d y = ∫ - 1 y d y = - ln ⁡ y

Passo 7

Obtenha a função u x , y = ∫     M x , y d x :

u x , y = x e 2 y - ln ⁡ y

A solução é dada por u x , y = C :

x e 2 y - ln ⁡ y = C

Resposta

I y = e 2 y 1 y

x e 2 y - ln ⁡ y = C

Exercício Resolvido #4

UNICAMP, Cálculo 3, P1 2011 Tarde, Questão 2

Encontre um fator de integrante e resolva a equação:

3 x 2 y + 2 x y + y 3 d x + x 2 + y 2 d y = 0

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Passo 1

Bem, quando ela fica com essa cara você já pensa em tentar ver se dá pra tratar ela como EDO exata ou quase exata, né? Então vamos lá

M x , y = 3 x 2 y + 2 x y + y 3 → M y x , y = 3 x 2 + 2 x + 3 y 2 N x , y = x 2 + y 2 → N x x = 2 x