Equação Exata

Teoria Completa

Já vimos equação separável. Agora, se tivéssemos essa EDO aqui

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Não entendeu lhufas dessa EDO né? Estamos acostumados com EDO tendo y ' e d y / d x . Esse cara maluco me vem com d x e d y separados. WTF!?

Calma, essa é só uma forma diferente de escrever d y / d x . Vou arrumar essa EDO pra você ver

x 2 y 3   + x 3 y 2 d y d x = 0

x 2 y 3 + x 3 y 2 y ' = 0

Viu o y ' e o d y d x ali? É a mesma coisa, só escrevemos de uma forma diferente.

De forma geral, a EDO pode ser escrita assim

M x , y d x + N x , y d y = 0

Beleza, mas isso não te levou a lugar nenhum ainda né? Estamos em EDO exata, então precisamos ver se essa EDO que coloquei ali é Exata ou não.

OBS: Quando a EDO aparece desse jeito, com d x e d y separado, é um bom indício que ela é Exata.

Como saber se uma equação diferencial é ou não exata?

O critério, também conhecido como Condição de Euler, é o seguinte:

Uma EDO do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

será exata se e somente se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Fica ligado que o termo que acompanha d x deve ser derivado em relação a y e o que acompanha d y derivado em relação a x .

Voltando a EDO que dei como exemplo acima:

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Nela M x , y = x 2 y 3 e N x , y = x 3 y 2 . Vamos ver se ela é exata.

∂ M ∂ y = 3 y 2 x 2

e

∂ N ∂ x = 3 y 2 x 2

Opa, eles são iguais, isso mostra que ela é exata.

Mais um pouco de prática!

A equação diferencial e 3 y + 5 d x + 3 x e 3 y - 2 d y = 0 é exata?

Aqui, M x , y = e 3 y + 5 e N x , y = 3 x e 3 y - 2

∂ M ∂ y = 3 e 3 y

∂ N ∂ x = 3 e 3 y

Logo, essa equação satisfaz a condição de Euler, ou seja, é exata.

Resolvendo EDO’s exatas

Já vimos no início da teoria que se tivermos uma equação exata, a solução da equação é dada implicitamente por

u x , y = c

A pergunta agora é: como achar essa função u ( x , y ) ? É bem tranquilo, vou te mostrar

Voltando para a EDO lá do inicio

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Passo 1: Confirme que é uma EDO exata

Já fizemos isso ali em cima.

Passo 2: Integre M x , y com relação a x

M x , y = x 2 y 3  

∫ M x , y d x = ∫ x 2 y 3   d x

Vamos imaginar que y é uma constante

∫ x 2 y 3   d x = y 3 ∫ x 2 d x = y 3 x 3 3 + g y

OBS: essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente com respeito a x , toda função que dependesse apenas de y foi tratada como constante. Então ao integrar devemos ter um termo que compense isso (é como se fosse aquela constante de integração).

Passo 3: Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 3 x 3 3 + g y ∂ y = y 2 x 3 + g ' ( y )

Passo 4: Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

y 2 x 3 + g ' ( y ) = x 3 y 2

g ' y = 0

Passo 5: Ache g y Integrando g ' y . Não precisa colocar a constante de Integração.

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Passo 6: Obtenha a função u x , y = ∫ M x , y d x

u x , y = y 3 x 3 3 + g y

u x , y = y 3 x 3 3

Passo 7: A solução é dada implicitamente por u x , y = C

Agora é correr para o abraço:

u x , y = y 3 x 3 3 = C

Passo 8: Resolver o PVI (caso seja necessário)

Eu te contei lá atrás que, as vezes, seu professor pede que você resolva a EDO e uma condição inicial do tipo y 1 = 1 , por exemplo. Nesse caso, precisamos descobrir qual o valor da constante C que satisfaz essa condição!

Na prática, o que vamos fazer é colocar a condição inicial na solução do passo 6 e descobrir o valor da constante. No nosso exemplo, teríamos

y 1 = 1 → y 3 1 . 1 3 3 = C ∴ C = 1 3

Logo, a solução do PVI é

y 3 x 3 = 1

Resumindo tudo para você:

  1. Confirme que é uma EDO exata
  2. Integre M x , y com relação a x
  3. Derive o obtido no passo 2 com relação a y
  4. Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )
  5. Ache g y Integrando g ' y .
  6. Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 5 dentro da função do passo 2
  7. A solução é dada implicitamente por u x , y = C
  8. Se for PVI, descobrir o valor da constante C .

Sucesso!!!!

E acabou!!! Na prática é bem simples, só seguir esses passos que não tem erro!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso(Se é que é possível)!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata!

M x , y = x + x y 2 e N x , y = y + x 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = 2 x y

∂ N ∂ x = 2 x y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ ( x + x y 2 ) d x = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y ∂ y = x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x 2 y + g ' y = y + x 2 y → g ' y = y

Integrando com relação a y :

g y = y 2 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

- ''

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)

M x , y = e y e N x , y = x e y - 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = e y

∂ N ∂ x = e y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ e y d x = x e y + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x e y + g y ∂ y = x e y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x e y + g ' y = x e y - 2 y → g ' y = - 2 y

Integrando em relação a y temos

g y = - y 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x e y + g y = x e y - y 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x e y - y 2 = C

Resposta

C = x e y - y 2

Exercício Resolvido #3

Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.

Verificando se ela é exata!

Dada tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0 é só olhar e ver que M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y . Logo

∂ M ∂ y = - sen ⁡ x cos ⁡ y = ∂ N ∂ x

Concluímos então que a equação é exata.

Passo 2

Integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Lembrando que:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y ) ∂ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' y = cos ⁡ x cos ⁡ y → g ' y = 0 ∴ g y = 0

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Resposta

As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = 2 y 2 x - 3 e N x , y = 2 y x 2 + 4 . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = 2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y = y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 2 x 2 - 3 x + g ( y ) ∂ y = 2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4 → g ' y = 4 ∴ g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y

Passo 6

Como u ( x , y ) = C , onde C é uma constante.

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = C

Passo 7

Utilizando as informações do PVI, y 1 = 1 , temos.

y = 1

x = 1

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1 = C

C = 2

Passo 8

A solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau onde

a = x 2

b = 4

c = - 3 x - 2

Então podemos resolver

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2 = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 9

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

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