Teoria Completa
Já vimos equação separável. Agora, se tivéssemos essa EDO aqui
Não entendeu lhufas dessa EDO né? Estamos acostumados com EDO tendo e . Esse cara maluco me vem com e separados. WTF!?
Calma, essa é só uma forma diferente de escrever . Vou arrumar essa EDO pra você ver
Viu o e o ali? É a mesma coisa, só escrevemos de uma forma diferente.
De forma geral, a EDO pode ser escrita assim
Beleza, mas isso não te levou a lugar nenhum ainda né? Estamos em EDO exata, então precisamos ver se essa EDO que coloquei ali é Exata ou não.
OBS: Quando a EDO aparece desse jeito, com e separado, é um bom indício que ela é Exata.
Como saber se uma equação diferencial é ou não exata?
O critério, também conhecido como Condição de Euler, é o seguinte:
Uma EDO do tipo
será exata se e somente se
Fica ligado que o termo que acompanha deve ser derivado em relação a e o que acompanha derivado em relação a .
Voltando a EDO que dei como exemplo acima:
Nela e . Vamos ver se ela é exata.
e
Opa, eles são iguais, isso mostra que ela é exata.
Mais um pouco de prática!
A equação diferencial é exata?
Aqui, e
Logo, essa equação satisfaz a condição de Euler, ou seja, é exata.
Resolvendo EDO’s exatas
Já vimos no início da teoria que se tivermos uma equação exata, a solução da equação é dada implicitamente por
A pergunta agora é: como achar essa função ? É bem tranquilo, vou te mostrar
Voltando para a EDO lá do inicio
Passo 1: Confirme que é uma EDO exata
Já fizemos isso ali em cima.
Passo 2: Integre com relação a
Vamos imaginar que é uma constante
OBS: essa apareceu porque ao derivarmos parcialmente com respeito a , toda função que dependesse apenas de foi tratada como constante. Então ao integrar devemos ter um termo que compense isso (é como se fosse aquela constante de integração).
Passo 3: Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4: Compare o obtido no passo 3 com
Passo 5: Ache Integrando . Não precisa colocar a constante de Integração.
Passo 6: Obtenha a função
Passo 7: A solução é dada implicitamente por
Agora é correr para o abraço:
Passo 8: Resolver o PVI (caso seja necessário)
Eu te contei lá atrás que, as vezes, seu professor pede que você resolva a EDO e uma condição inicial do tipo , por exemplo. Nesse caso, precisamos descobrir qual o valor da constante que satisfaz essa condição!
Na prática, o que vamos fazer é colocar a condição inicial na solução do passo 6 e descobrir o valor da constante. No nosso exemplo, teríamos
Logo, a solução do PVI é
Resumindo tudo para você:
- Confirme que é uma EDO exata
- Integre com relação a
- Derive o obtido no passo 2 com relação a
- Compare o obtido no passo 3 com
- Ache Integrando .
- Obtenha a função inserindo o obtido no passo 5 dentro da função do passo 2
- A solução é dada implicitamente por
- Se for PVI, descobrir o valor da constante .
Sucesso!!!!
E acabou!!! Na prática é bem simples, só seguir esses passos que não tem erro!
Exercício Resolvido #1
Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso(Se é que é possível)!
Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:
Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata!
e
Para ser exata:
Logo é uma EDO Exata!!
Passo 2
Integrar com relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Integrando com relação a :
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
- ''Resposta
Exercício Resolvido #2
Resolva a seguinte equação exata:
Passo 1
Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)
e
Para ser exata:
Logo é uma EDO Exata!!
Passo 2
Integrar com relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Integrando em relação a temos
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Resposta
Exercício Resolvido #3
Resolva a equação diferencial
Passo 1
Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.
Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.
Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.
Verificando se ela é exata!
Dada é só olhar e ver que e que . Logo
Concluímos então que a equação é exata.
Passo 2
Integrando em relação à
Lembrando que:
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Resposta
As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação
Exercício Resolvido #4
Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.
Passo 1
Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.
Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que e . A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Como ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?
Passo 2
Integrando em relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
Como , onde é uma constante.
Passo 7
Utilizando as informações do PVI,, temos.
Passo 8
A solução é dada implicitamente pela equação
Precisamos resolver essa equação para achar , se liga que ela é uma equação de grau onde
Então podemos resolver
Passo 9
Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de quando
Como o valor de neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.