Equação Exata

Teoria Completa

Já vimos equação separável. Agora, se tivéssemos essa EDO aqui

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Não entendeu lhufas dessa EDO né? Estamos acostumados com EDO tendo y ' e d y / d x . Esse cara maluco me vem com d x e d y separados. WTF!?

Calma, essa é só uma forma diferente de escrever d y / d x . Vou arrumar essa EDO pra você ver

x 2 y 3   + x 3 y 2 d y d x = 0

x 2 y 3 + x 3 y 2 y ' = 0

Viu o y ' e o d y d x ali? É a mesma coisa, só escrevemos de uma forma diferente.

De forma geral, a EDO pode ser escrita assim

M x , y d x + N x , y d y = 0

Beleza, mas isso não te levou a lugar nenhum ainda né? Estamos em EDO exata, então precisamos ver se essa EDO que coloquei ali é Exata ou não.

OBS: Quando a EDO aparece desse jeito, com d x e d y separado, é um bom indício que ela é Exata.

Como saber se uma equação diferencial é ou não exata?

O critério, também conhecido como Condição de Euler, é o seguinte:

Uma EDO do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

será exata se e somente se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Fica ligado que o termo que acompanha d x deve ser derivado em relação a y e o que acompanha d y derivado em relação a x .

Voltando a EDO que dei como exemplo acima:

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Nela M x , y = x 2 y 3 e N x , y = x 3 y 2 . Vamos ver se ela é exata.

∂ M ∂ y = 3 y 2 x 2

e

∂ N ∂ x = 3 y 2 x 2

Opa, eles são iguais, isso mostra que ela é exata.

Mais um pouco de prática!

A equação diferencial e 3 y + 5 d x + 3 x e 3 y - 2 d y = 0 é exata?

Aqui, M x , y = e 3 y + 5 e N x , y = 3 x e 3 y - 2

∂ M ∂ y = 3 e 3 y

∂ N ∂ x = 3 e 3 y

Logo, essa equação satisfaz a condição de Euler, ou seja, é exata.

Resolvendo EDO’s exatas

Já vimos no início da teoria que se tivermos uma equação exata, a solução da equação é dada implicitamente por

u x , y = c

A pergunta agora é: como achar essa função u ( x , y ) ? É bem tranquilo, vou te mostrar

Voltando para a EDO lá do inicio

x 2 y 3   d x + x 3 y 2   d y = 0

Passo 1: Confirme que é uma EDO exata

Já fizemos isso ali em cima.

Passo 2: Integre M x , y com relação a x

M x , y = x 2 y 3  

∫ M x , y d x = ∫ x 2 y 3   d x

Vamos imaginar que y é uma constante

∫ x 2 y 3   d x = y 3 ∫ x 2 d x = y 3 x 3 3 + g y

OBS: essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente com respeito a x , toda função que dependesse apenas de y foi tratada como constante. Então ao integrar devemos ter um termo que compense isso (é como se fosse aquela constante de integração).

Passo 3: Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 3 x 3 3 + g y ∂ y = y 2 x 3 + g ' ( y )

Passo 4: Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

y 2 x 3 + g ' ( y ) = x 3 y 2

g ' y = 0

Passo 5: Ache g y Integrando g ' y . Não precisa colocar a constante de Integração.

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = 0

Passo 6: Obtenha a função u x , y = ∫ M x , y d x

u x , y = y 3 x 3 3 + g y

u x , y = y 3 x 3 3

Passo 7: A solução é dada implicitamente por u x , y = C

Agora é correr para o abraço:

u x , y = y 3 x 3 3 = C

Passo 8: Resolver o PVI (caso seja necessário)

Eu te contei lá atrás que, as vezes, seu professor pede que você resolva a EDO e uma condição inicial do tipo y 1 = 1 , por exemplo. Nesse caso, precisamos descobrir qual o valor da constante C que satisfaz essa condição!

Na prática, o que vamos fazer é colocar a condição inicial na solução do passo 6 e descobrir o valor da constante. No nosso exemplo, teríamos

y 1 = 1 → y 3 1 . 1 3 3 = C ∴ C = 1 3

Logo, a solução do PVI é

y 3 x 3 = 1

Resumindo tudo para você:

  1. Confirme que é uma EDO exata
  2. Integre M x , y com relação a x
  3. Derive o obtido no passo 2 com relação a y
  4. Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )
  5. Ache g y Integrando g ' y .
  6. Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 5 dentro da função do passo 2
  7. A solução é dada implicitamente por u x , y = C
  8. Se for PVI, descobrir o valor da constante C .

Sucesso!!!!

E acabou!!! Na prática é bem simples, só seguir esses passos que não tem erro!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso(Se é que é possível)!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata!

M x , y = x + x y 2 e N x , y = y + x 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = 2 x y

∂ N ∂ x = 2 x y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ ( x + x y 2 ) d x = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y ∂ y = x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x 2 y + g ' y = y + x 2 y → g ' y = y

Integrando com relação a y :

g y = y 2 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

- ''

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)

M x , y = e y e N x , y = x e y - 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = e y

∂ N ∂ x = e y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação