EDO Homogênea

Teoria Completa

Já vimos várias formas de resolver EDOs. Mas e se tivermos uma assim:

d y d x = x 2 + y 2 x y

Ela não é separável, como resolvo isso? Ela na verdade é uma EDO Homogênea.

Não aguenta mais né? Calma! Você vai ver que isso vai ser resolvido bem rápido.

Primeiro, quando encontramos uma EDO assim, temos que confirmar se ela é mesmo homogênea.

Como saber se a EDO é Homogênea?

Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o x e o y da nossa EDO e substituir por λ x e λ y respectivamente.

d y d x = λ x 2 + λ y 2 λ x λ y

Arrumando isso

d y d x = λ 2 x 2 + λ 2 y 2 λ 2 x y = x 2 + y 2 x y

Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou.

Resolvendo EDO Homogênea

Beleza! Vimos que a EDO é Homogênea. E agora? Como resolver?

Vamos criar uma nova variável z

z = y x y = z x

E vamos substituir na nossa EDO. Pra isso vamos precisar de d y / d x e y

y = z x

E pra calcular d y / d x temos que usar a regra do produto

d y d x = d z x d x = d z d x x + z d x d x

d y d x = d z d x x + z

Vamos pegar aquela EDO que tínhamos ali

d y d x = x 2 + y 2 x y

Vamos substituir y = z x e d y / d x na EDO

d z d x x + z = x 2 + z x 2 x x z = x 2 + z 2 x 2 x 2 z = x 2 1 + z 2 x 2 z

d z d x x + z = 1 + z 2 z

Agora ao invés de termos uma EDO em y temos uma EDO em z ! A estratégia aqui é resolver essa EDO em z e depois voltar pra y = z x !

Agora tem que arrumar essa bagunça

d z d x x = 1 + z 2 z - z = 1 + z 2 z - z 2 z

d z d x x = 1 z

Virou uma EDO separável! Então vamos calcular como sempre, sem mistério ;)

z d z = d x x

z 2 2 = ln x + C

z = 2 ln x + C

Show, agora tá resolvido! #sóquenão!!!

Lembra qual é o nosso problema original? Era uma EDO em y , né? Então precisamos encontrar y e não z ! Ainda bem que você lembra como relacionar y com z , né? É isso mesmo: y = z x . Assim a nossa solução final vai ficar

y = z x

y = x 2 ln x + C

Aí sim!!! Ta aí a nossa solução :D

Ó, aqui tem um passo a passo resumido pra tu:

  1. Verificar que é homogênea
  2. Fazer a substituição y = x z
  3. Arrumar as EDO e verificar que ficou separável
  4. Resolver a EDO separável
  5. Voltar pra y , substituindo y = z x

Fechou, passou a régua, partiu exercício!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp58-1

Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade se for o caso.

x 3 + 2 x y 2 - y 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos calcular f ( t x , t y )

f ( t x , t y ) = t x 3 + 2 t x t y 2 - t y 4 t x

f t x , t y = t 3 x 3 + 2 x y 2 - y 4 x = t 3 f ( x , y )

Logo a função é homogênea

Passo 2

O grau de homogeneidade é definido pelo n presente na seguinte equação

f t x , t y = t n f ( x , y )

Entao no nosso caso o grau de homogeneidade é 3.

Resposta

A função é homogênea e tem grau de homogeneidade igual a 3.

Exercício Resolvido #2

Apostila Equações Diferenciais de 1ª Ordem-Prof. Reginaldo Santos-UFMG

Resolva a equação diferencial

y + 2 x y - x d y d x = 0  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa equação tá com muita cara de homogênea, né? Vamos calcular f ( t x , t y ) e descobrir.

t y + 2 t x t y - t x d y d x = 0

t y + 2 t x y - t x d y d x = 0

t y + 2 x y - x d y d x = 0

E esse cara entre parênteses nada mais é que o nosso f ( x , y ) , correto? Logo

f t x , t y = t f ( x , y )

A nossa equação é homogênea e podemos usar a substituição y = u x !

Passo 2

Fazendo a substituição y = u x temos

y = u x d y d x = d d x u x = u ' x + u

Jogando na nossa EDO

y + 2 x y - x d y d x = 0 u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

Vários xuxuzinhos nessa equação kkkkk! Temos que fazer a separação de variáveis, mas como tá uma bagunça vamos isolar u ' primeiro!

u x + 2 x u x - x u ' x + u = 0

u x + 2 x u - x u ' x + u = 0 2 x u - x u ' x + u = - u x

u ' x + u = - u x 2 x u - x = - u x x 2 u - 1 = - u 2 u - 1

u + x u ' = - u 2 u - 1

Tamo chegando!

u ' x = - u 2 u - 1 - u = - u 1 2 u - 1 + 1 = - u 1 + 2 u - 1 2 u - 1 = - u 2 u 2 u - 1

Agora sim

u ' = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Ficou super top!

Passo 3

Pra facilitar o manuseio a gente volta a escrever u ' = d u / d x

d u d x = - 1 x 2 u u 2 u - 1

Agora joga tudo que é x pra direita e tudo que é u pra esquerda \o\

d u 2 u - 1 2 u u = - d x x

Tá ficando bonito! :D

Passo 4

Agora basta integrar dos dois lados

2 u - 1 2 u u d u = - 1 x d x

Vamos resolver a primeira integral

2 u - 1 2 u u d u

Ela pode ser reescrita como

2 u 1 / 2 - 1 2 u . u 1 / 2 d u = 2 u 1 / 2 - 1 u d u 2 u 1 / 2  

Fazendo a seguinte substituição

v = u 1 \ 2 u = v 2

Derivando

d v = 1 2 u - 1 / 2   d u

d v = 1 2 u 1 / 2 d u

Voltando a integral

2 v - 1 v 2 d v = 2 v - 1 v 2 d v

Integrando vamos ter

2 v - 1 v 2 d v = 2 ln v + 1 v + C

Voltando para u

2 ln v + 1 v = 2 ln u 1 / 2   + 1 u + C = ln u + 1 u + C

Passo 5

Já a integral do lado direito

- 1 x d x = - ln x

Passo 6

Voltando para aquela nossa equação

2 u - 1 2 u u d u = - 1 x d x

Vamos ter

ln u + 1 u + C = - ln x

ln u + u - 1 / 2 + C = - ln x

u - 1 / 2 + C = - ln x - ln u = - ln u x = ln 1 u x

Usando a definição do logaritmo

1 u x = e u - 1 / 2 + C = e C e u - 1 / 2 = A e u - 1 / 2

Onde eu chamei e C de A já que esse dois são números e ficamos com essa expressão mais simpática

1 x = u A e u - 1 / 2

Passo 7

Pra finalizar, vamos voltar para a variável y

y = u x u = y x

Assim

1 x = y x A e y / x - 1 / 2

Como y / x - 1 / 2 = x / y , podemos deixar essa equação um pouco mais simpática

1 = y A e x / y

Nessa equação não dá pra isolar y totalmente, mas dá pra fazer isso aqui ó

y = A e - x / y

Lembrando que A é uma constante qualquer!

Resposta

y = A e - x / y

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IIA, P2 2013.1, Professor Javier Solano, Questão 1 item b

Resolva a seguinte equação diferencial

b)

d y d x = x 2 + 3 y 2 2 x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa equação ta com muita cara de homogênea. Vamos calcular f ( λ x , λ y ) e descobrir.

d y d x = λ x 2 + 3 λ y 2 2 λ x λ y = x 2 + 3 y 2 2 x y

f λ x , λ y = f ( x , y )

Logo essa equação é homogena e podemos usar a mudança de variável y = u x

Passo 2

Fazendo então a mudança e lembrando que u = u x . Derivando em relação a x obtemos

d y d x = u + x d u d x

Substituindo isso na equação original temos

u + x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u x d u d x = 1 + 3 u 2 2 u - u x d u d x = 1 + u 2 2 u x   d u = 1 + u 2 2 u   d x

1 1 + u 2 2 u   d u = 1 x   d x 2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Passo 3

Essa é a equação mais legal que pode aparecer na nossa vida! É só integrar dos dois lados e ser feliz.

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

Vamos precisar fazer uma substituição simples para integrar em u , que eu acredito que você já está savando muito.

2 u 1 + u 2 d u

Fazendo u - = 1 + u 2 temos d u - = 2 u   d u que “para nossa alegria”já está lá. Então a integral fica

2 u 1 + u 2 d u = 1 u - d u - = ln u - = ln 1 + u 2

Passo 4

Estamos chegando ao fim...

2 u 1 + u 2   d u = 1 x   d x

2 u 1 + u 2   d u = 1 x d x

ln 1 + u 2 = ln x + c 1

Passo 5

Voltando para as variáveis originais

ln 1 + y x 2 = ln x + c 1

ln x 2 + y 2 x 2 = ln x + ln c

ln x 2 + y 2 x 2 = ln c x

Resposta

Logo as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente pela equação

ln x 2 + y 2 x 2 = ln c x

Exercício Resolvido #4

USP, Cálculo 4, P3 2011, Questão 1 item b

Determine a solução da equação

x y ' = y + 2 x e - y / x

Que satisfaz a condição inicial

y 1 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa equação é algo muito louco. Vamos isolar y ' para ver se aparece alguma coisa

y ' = y x + 2 e - y / x

Opa, temos duas vezes y / x , então é interessante olharmos se essa função é homogênea.

Para isso primeiro temos que achar f x , y que vai ser encontrada isolando d y d x

d y d x = y x + 2 e - y / x

Assim temos

f x , y = y x + 2 e - y / x

Agora fazemos f λ x , λ y para ver se é igual a f x , y ,

f λ x , λ y = λ y λ x + 2 e - λ y / λ x = y x + 2 e - y / x

Logo vamos ter

f λ x , λ y = f x , y

E essa equação vai ser homogênea

Passo 2

Para resolver uma equação homogênea nos fazer

y = z x

Logo

d y d x = d z d x x + z

Substituindo isso na equação vamos ter

d z d x x + z = z x x + 2 e - z x / x

Arrumando essa equação

d z d x x + z = z + 2 e - z

d z d x x = 2 e - z

Essa equação vai ser separável.

Passo 3

Vamos resolver essa equação separável

d z d x x = 2 e - z

Multiplicando cruzado para ter tudo com z de um lado e tudo com x do outro, vamos ter

d z e - z = 2 d x x

e z d z = 2 d x x

Integrando dos dois lados

e z d z = 2 d x x

e z = 2 ln x + C

Aqui podemos isolar z

z = ln 2 ln x + C

Passo 4

A solução dessa equação envolve na verdade x e y , então temos que voltar para y , lembrando que

y = z x

Temos

z = y x

E a nossa solução vai ser

y x = ln 2 ln x + C

y = x ln 2 ln x + C

Passo 5

Agora temos que achar essa constante C fazendo o valor inicial que ele deu

y 1 = 2

Então

2 = 1 ln 2 ln 1 + C

2 = ln C

Então

C = e 2

E nossa solução vai ser

y = x ln 2 ln x + e 2

Repara que ele deu um valor inicial de x que é maior que 0 então temos que considerar x > 0

x = x

E a nossa solução vai ficar

y = x ln 2 ln x + e 2

É Importante lembrar também que aquele cara dentro do segundo log precisa ser positivo

2 ln x + e 2 > 0

ln x > - e 2 2

Assim

x > e - e 2 / 2

Resposta

y = x ln 2 ln x + e 2

Com

x > e - e 2 / 2

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