Teoria Completa
Já vimos várias formas de resolver EDOs. Mas e se tivermos uma assim:
Ela não é separável, como resolvo isso? Ela na verdade é uma EDO Homogênea.
Não aguenta mais né? Calma! Você vai ver que isso vai ser resolvido bem rápido.
Primeiro, quando encontramos uma EDO assim, temos que confirmar se ela é mesmo homogênea.
Como saber se a EDO é Homogênea?
Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o e o da nossa EDO e substituir por e respectivamente.
Arrumando isso
Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou.
Resolvendo EDO Homogênea
Beleza! Vimos que a EDO é Homogênea. E agora? Como resolver?
Vamos criar uma nova variável
E vamos substituir na nossa EDO. Pra isso vamos precisar de e
E pra calcular temos que usar a regra do produto
Vamos pegar aquela EDO que tínhamos ali
Vamos substituir e na EDO
Agora ao invés de termos uma EDO em temos uma EDO em ! A estratégia aqui é resolver essa EDO em e depois voltar pra !
Agora tem que arrumar essa bagunça
Virou uma EDO separável! Então vamos calcular como sempre, sem mistério ;)
Show, agora tá resolvido! #sóquenão!!!
Lembra qual é o nosso problema original? Era uma EDO em , né? Então precisamos encontrar e não ! Ainda bem que você lembra como relacionar com , né? É isso mesmo: . Assim a nossa solução final vai ficar
Aí sim!!! Ta aí a nossa solução :D
Ó, aqui tem um passo a passo resumido pra tu:
- Verificar que é homogênea
- Fazer a substituição
- Arrumar as EDO e verificar que ficou separável
- Resolver a EDO separável
- Voltar pra , substituindo
Fechou, passou a régua, partiu exercício!!
Exercício Resolvido #1
Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade se for o caso.
Passo 1
Repara que não tem como eu isolar e . Essa EDO não é separável. Deste modo, pode trata-se de uma EDO homogênea. Vamos confirmar isso?
Para testar se é uma EDO homogênea mesmo, temos que pegar o e o da nossa EDO e substituir por e respectivamente. Então vamos calcular
Arrumando a função,
Viu que a EDO não mudou? Esse é o critério para ver se é homogênea. Temos que fazer essa troca e ver se a EDO não mudou. Logo a função é homogênea
Passo 2
O grau de homogeneidade é definido pelo presente na seguinte equação
Entao no nosso caso o grau de homogeneidade é 3.
Resposta
A função é homogênea e tem grau de homogeneidade igual a 3.
Exercício Resolvido #2
Resolva a equação diferencial
Passo 1
Essa equação tá com muita cara de homogênea, né? Vamos calcular e descobrir.
E esse cara entre parênteses nada mais é que o nosso , correto? Logo
A nossa equação é homogênea e podemos usar a substituição !
Passo 2
Fazendo a substituição e derivando temos
Jogando na nossa EDO
Vários xuxuzinhos nessa equação kkkkk! Temos que fazer a separação de variáveis, mas como tá uma bagunça vamos isolar primeiro!
Tamo chegando!
Agora sim
Ficou super top!
Passo 3
Pra facilitar o manuseio a gente volta a escrever
Agora joga tudo que é pra direita e tudo que é pra esquerda \o\
Tá ficando bonito! :D
Passo 4
Agora basta integrar dos dois lados
Vamos resolver a primeira integral
Podemos resolve-la por substituição
Derivando
Voltando a integral
Voltando para
Passo 5
Já a integral do lado direito
Passo 6
Voltando para aquela nossa equação
Vamos ter
Usando a definição do logaritmo
Onde eu chamei de já que esse dois são números e ficamos com essa expressão mais simpática
Passo 7
Pra finalizar, vamos voltar para a variável
Assim
Como , podemos deixar essa equação um pouco mais simpática
Nessa equação não dá pra isolar totalmente, mas dá pra fazer isso aqui ó
Lembrando que é uma constante qualquer!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Resolva a seguinte equação diferencial
b)
Passo 1
Essa equação ta com muita cara de homogênea. Vamos calcular e descobrir.
Logo essa equação é homogena e podemos usar a mudança de variável
Passo 2
Fazendo então a mudança e lembrando que . Derivando em relação a obtemos
Substituindo isso na equação original temos
Passo 3
Essa é a equação mais legal que pode aparecer na nossa vida! É só integrar dos dois lados e ser feliz.
Vamos precisar fazer uma substituição simples para integrar em , que eu acredito que você já está savando muito.
Fazendo temos que “para nossa alegria”já está lá. Então a integral fica
Passo 4
Estamos chegando ao fim...
Passo 5
Voltando para as variáveis originais
Resposta
Logo as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente pela equação
Exercício Resolvido #4
Determine a solução da equação
Que satisfaz a condição inicial
Passo 1
Essa equação é algo muito louco. Vamos isolar para ver se aparece alguma coisa
Opa, temos duas vezes , então é interessante olharmos se essa função é homogênea.
Para isso primeiro temos que achar que vai ser encontrada isolando
Assim temos
Agora fazemos para ver se é igual a ,
Logo vamos ter
E essa equação vai ser homogênea
Passo 2
Para resolver uma equação homogênea nos fazer
Logo
Substituindo isso na equação vamos ter
Arrumando essa equação
Essa equação vai ser separável.
Passo 3
Vamos resolver essa equação separável
Multiplicando cruzado para ter tudo com de um lado e tudo com do outro, vamos ter
Integrando dos dois lados
Aqui podemos isolar
Passo 4
A solução dessa equação envolve na verdade e , então temos que voltar para , lembrando que
Temos
E a nossa solução vai ser
Passo 5
Agora temos que achar essa constante fazendo o valor inicial que ele deu
Então
Então
E nossa solução vai ser
Repara que ele deu um valor inicial de que é maior que então temos que considerar
E a nossa solução vai ficar
É Importante lembrar também que aquele cara dentro do segundo log precisa ser positivo
Assim
Resposta
Com