Teoria Completa
Faaaala aí! Agora que já vimos EDO de 1ª ordem, vamos aumentar essa ordem aí, ok? O que seria isso? Olha aqui abaixo exemplos das EDOs que vamos estudar nesse capítulo:
Percebeu alguma semelhança entre todas elas? Pois é, cara! Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham as funções e suas derivadas são NÚMEROS. Isso caracteriza nossa EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes :) De maneira geral, nossa EDO vai ser algo desse tipo:
Onde , e são números reais.
Beleza... Como resolvemos? Vamos começar com esse exemplo aqui
Pra ficar mais fácil, vamos tentar pensar numa função que não mude tanto quando a gente calcula suas derivadas.
Você lembra de alguma função cuja derivada é parecidíssima com ela mesma? Claro que não né? Rs
Relaxa, eu te conto. Vai ser a função exponencial!
Então vamos supor que a solução seja . Se estamos supondo que ela é solução, vamos substituir na EDO:
Olha... Tá ficando bem melhor, hein!
Agora, percebe o seguinte: temos o produto de duas parcelas dando zero.
Isso significa que ou uma parcela é zero, ou a outra. Porém, a exponencial nunca é zero! Logo:
Como temos esses dois valores para , vamos fazer uma combinação das possíveis soluções, ficando com:
MUITO MASSA NÉ?
Olha só a generalização: Se tivermos uma EDO desse tipo
Vamos encontrar a seguinte equação auxiliar
E depois que descobrirmos o , encontramos o . Observa que a gente tinha uma equação do segundo grau e, no nosso caso, tivemos duas raízes distintas porque nosso famoso delta era positivo... E se não fosse? Bora ver o que acontece!
Casos do discriminante (delta)
Sabendo que tendo a equação
As raízes são obtidas através de
E o discriminante é dado por
Caso :
Teremos então duas raízes reais e distintas :
Esse foi o caso do nosso exemplo, lembra?
Caso :
Teremos duas raízes reais e iguais
Perceba que nesse caso, as exponenciais são iguais, mas a gente multiplica um dos termos pela variável para que os termos não fiquem iguais! Olha um exemplo:
Montando a equação auxiliar
Verificando delta
Encontrando solução geral
Caso
Teremos duas raízes complexas
Mais feio esse aqui né? Liga não, é assim mesmo! Olha um exemplo:
Encontrando a equação auxiliar
Verificando delta
Então se liga,
Ignoramos aquele do número com o , basta pegar o valor multiplicado por para ser o nosso . Assim, encontrando solução geral
Exercício Resolvido #1
Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Passo 1
Colocar a EDO na forma :
Legal! A equação já está na forma que queremos!
Passo 2
Encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Logo:
Comparando com
Temos que
Passo 5
Encontrar a solução:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Colocar a EDO na forma :
Legal! A equação já está na forma que queremos!
Passo 2
Encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Passo 5
Encontrar a solução:
Substituindo os valores de :
Passo 6
Resolver o PVI:
Calcular derivada:
Substituir :
Substituir valores iniciais fornecidos:
Encontrar as constantes:
Logo:
Substituir constantes na solução geral:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja a equação diferencial Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(a) A função é a única solução de verificando e .
(b) O real é raiz simples da equação característica associada.
(c) A função é uma solução de verificando e .
(d) A função é solução de .
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
Dando uma olhada nas alternativas, parece que o melhor jeito de proceder é resolver a EDO mesmo (nem sempre é o caso!). Então partiu!
já está na forma com , e .
Então o discriminante é:
E a equação auxiliar:
Como , a solução é da forma
Passo 2
Beleza, agora vamos testar as alternativas uma por uma:
Alternativa (a):
Ela dá a função . Podemos ver que ela se encaixa na forma que a gente achou:
Ou seja, essa é solução da EDO.
Agora resta saber se essa é a única solução respeitando as condições e .
Vamos calcular a derivada da solução que achamos:
Ou seja:
E como :
Concluímos que a função dada pela alternativa (a) realmente é a única solução da EDO verificando e . Portanto a alternativa é verdadeira.
Passo 3
Alternativa (b):
Ela diz: “O real é raiz simples da equação característica associada.”
A equação característica é
Podemos ver que é uma raiz dupla, e não simples, da equação, portanto a alternativa é falsa.
Passo 4
Alternativa (c):
Vimos no passo 2 que a única função solução da EDO verificando verificando e é a da alternativa (a). Portanto essa alternativa é falsa.
Passo 5
Alternativa (d):
Ela afirma que “a função é solução de ”. Nós achamos a forma geral de solução da EDO, que é
A função não se encaixa na forma que achamos (tem um termo ), então a alternativa (d) é falsa.
E a alternativa (e) também está errada porque vimos que a (a) está certa.
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #4
Considere a equação diferencial , com e funções reais.
Sabendo que e são soluções da equação, determine e .
Passo 1
Para acharmos e vamos substituir as duas soluções da EDO e ver o que temos, começando com
Substituindo na equação vamos ter
Colocando em evidência
Como é sempre diferente de , vamos ter
Passo 2
Vamos agora substituir os valores de
Substituindo na equação vamos ter
Passo 3
Vamos ter o seguinte sistema
Multiplicando a primeira equação por vamos ter
Somando com a segunda equação, vamos ter
Substituindo esse valor na primeira equação vamos ter
Igualando os denominadores, vamos ter