EDO de 2ª ordem homogênea

Resumo Completo

Faaaala aí! Agora que já vimos EDO de 1ª ordem, vamos aumentar essa ordem aí, ok? O que seria isso? Olha aqui abaixo exemplos das EDOs que vamos estudar nesse capítulo:

y ' ' x + 3 y ' x + y x = 0

y ' ' x + y x = 0

y ' ' - 2 y ' + 9 y = 0

d 2 y d x 2 - 5 d y d x + 6 y = 0

f ' ' + 4 f ' - 7 f = 0

Percebeu alguma semelhança entre todas elas? Pois é, cara! Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham as funções e suas derivadas são NÚMEROS. Isso caracteriza nossa EDO de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes :) De maneira geral, nossa EDO vai ser algo desse tipo:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Onde a ,   b e c são números reais.

Beleza... Como resolvemos? Vamos começar com esse exemplo aqui

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0

Pra ficar mais fácil, vamos tentar pensar numa função que não mude tanto quando a gente calcula suas derivadas.

Você lembra de alguma função cuja derivada é parecidíssima com ela mesma? Claro que não né? Rs

Relaxa, eu te conto. Vai ser a função exponencial!

Então vamos supor que a solução seja y x = e r x . Se estamos supondo que ela é solução, vamos substituir na EDO:

e r x ' ' - 5 e r x ' + 6 e r x = 0

r ² e r x - 5 r e r x + 6 e r x = 0

e r x r 2 - 5 r + 6 = 0

Olha... Tá ficando bem melhor, hein!

Agora, percebe o seguinte: temos o produto de duas parcelas dando zero.

Isso significa que ou uma parcela é zero, ou a outra. Porém, a exponencial nunca é zero! Logo:

r 2 - 5 r + 6 = 0

r 1 = 3           r 2 = 2

Como temos esses dois valores para r , vamos fazer uma combinação das possíveis soluções, ficando com:

y x = c 1 e 3 x + c 2 e 2 x

MUITO MASSA NÉ?

Olha só a generalização: Se tivermos uma EDO desse tipo

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Vamos encontrar a seguinte equação auxiliar

a r 2 + b r + c = 0

E depois que descobrirmos o r , encontramos o y ( x ) . Observa que a gente tinha uma equação do segundo grau e, no nosso caso, tivemos duas raízes distintas porque nosso famoso delta era positivo... E se não fosse? Bora ver o que acontece!

Casos do discriminante (delta)

Sabendo que tendo a equação

a r 2 + b r + c = 0

As raízes são obtidas através de

r = - b ± Δ 2 a

E o discriminante é dado por

Δ = b 2 - 4 a c

Caso Δ > 0 :

Teremos então duas raízes reais e distintas ( r 1 r 2 ) :

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Esse foi o caso do nosso exemplo, lembra?

Caso Δ = 0 :

Teremos duas raízes reais e iguais r 1 = r 2 = r

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Perceba que nesse caso, as exponenciais são iguais, mas a gente multiplica um dos termos pela variável x para que os termos não fiquem iguais! Olha um exemplo:

y ' ' x - 2 y ' x + y x = 0

Montando a equação auxiliar

r 2 - 2 r + 1 = 0

Verificando delta

Δ = 0 r 1 = r 2 = 1

Encontrando solução geral

y x = c 1 e x + c 2 x e x

Caso Δ < 0 :

Teremos duas raízes complexas r = α ± β i

y x = e α x c 1 cos β x + c 2 s e n β x

Mais feio esse aqui né? Liga não, é assim mesmo! Olha um exemplo:

y ' ' x - 2 y ' x + 2 y x = 0

Encontrando a equação auxiliar

r 2 - 2 r + 2 = 0

Verificando delta

Δ = - 4 r = 1 ± i

Então se liga,

α = 1

β = 1

Ignoramos aquele ± do número com o i , basta pegar o valor multiplicado por i para ser o nosso β . Assim, encontrando solução geral

y x = e x c 1 cos x + c 2 s e n x

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

EDO de 2ª ordem homogênea

Determine a solução geral y ( x ) da equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 0 y ' + 1 y = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 1

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 1 )

Δ = - 4

Δ < 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 0 r + 1 = 0

r 2 + 1 = 0

Cálculo das raízes:

r 2 = - 1

r = ± i

Logo:

r = 0 ± 1 i

Comparando com

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 1

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = e α x c 1 cos β x + c 2 sen β x

y x = e 0 x c 1 cos 1 x + c 2 sen 1 x

y x = c 1 cos x + c 2 sen x

Resposta

y x = c 1 cos x + c 2 sen x

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0 y 0 = 0 y ' 0 = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' ( t ) + b y ' t + c y t = 0 1 y ' ' ( t ) - 6 y ' ( t ) + 8 y ( t ) = 0

Logo:

a = 1 b = - 6 c = 8

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 6 2 - 4 1 ( 8 )

Δ = 4

Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 6 r + 8 = 0

r 2 - 6 r + 8 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 6 ) ± 4 2 ( 1 )

r 1 = 4 r 2 = 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Substituindo os valores de r :

y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

Passo 6

Resolver o PVI:

Calcular derivada:

y ' t = 4 c 1 e 4 t + 2 c 2 e 2 t

Substituir t = 0 :

y 0 = c 1 e 4   0 + c 2 e 2 0

y 0 = c 1 + c 2

y ' 0 = 4 c 1 e 4 0 + 2 c 2 e 2 0

y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2

Substituir valores iniciais fornecidos:

y 0 = c 1 + c 2 = 0

y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Encontrar as constantes:

c 1 + c 2 = 0 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Logo:

c 1 = 1 c 2 = - 1

Substituir constantes na solução geral:

y t = 1 e 4 t + - 1 e 2 t

y t = e 4 t - e 2 t

Resposta

y t = e 4 t - e 2 t

Exercício Resolvido #3

Enunciado

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Seja a equação diferencial E   : y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(a) A função y t = e 3 t - t e 3 t é a única solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(b) O real 3 é raiz simples da equação característica associada.

(c) A função y t = e - 3 t + 5 t e 3 t é uma solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(d) A função y t = t ( e t + e 3 t ) é solução de ( E ) .

(e) Nenhuma das outras alternativas.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Dando uma olhada nas alternativas, parece que o melhor jeito de proceder é resolver a EDO mesmo (nem sempre é o caso!). Então partiu!

( E ) já está na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 com a = 1 , b = - 6 e c = 9 .

Então o discriminante é:

Δ = b 2 - 4 a c = 36 - 4.1 . 9 = 0

E a equação auxiliar:

r 2 - 6 r + 9 = 0

r = 6 ± 0 2 = 3

Como Δ = 0 , a solução é da forma

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

Passo 2

Beleza, agora vamos testar as alternativas uma por uma:

Alternativa (a):

Ela dá a função y t = e 3 t - t e 3 t . Podemos ver que ela se encaixa na forma que a gente achou:

c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t e 3 t - t e 3 t

c 1 = 1     e     c 2 = - 1

Ou seja, essa y é solução da EDO.

Agora resta saber se essa é a única solução respeitando as condições y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

y 0 = 1     c 1 e 0 + c 2 . 0 . e 0 = 1   c 1 = 1

Vamos calcular a derivada da solução que achamos:

y t = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

y ' t = 3 c 1 e 3 t + c 2 e 3 t + 3 c 2 t e 3 t

Ou seja:

y ' 0 = 2   3 c 1 + c 2 + 0 = 2

E como c 1 = 1 :

3 + c 2 = 2

c 2 = - 1

Concluímos que a função y ( t ) dada pela alternativa (a) realmente é a única solução da EDO verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 . Portanto a alternativa é verdadeira.

Passo 3

Alternativa (b):

Ela diz: “O real 3 é raiz simples da equação característica associada.”

A equação característica é

r 2 - 6 r + 9 = 0   r - 3 r - 3 = 0

Podemos ver que 3 é uma raiz dupla, e não simples, da equação, portanto a alternativa é falsa.

Passo 4

Alternativa (c):

Vimos no passo 2 que a única função solução da EDO verificando verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 é a da alternativa (a). Portanto essa alternativa é falsa.

Passo 5

Alternativa (d):

Ela afirma que “a função y t = t ( e t + e 3 t ) é solução de ( E ) ”. Nós achamos a forma geral de solução da EDO, que é

y ( t ) = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

A função não se encaixa na forma que achamos (tem um termo e t ), então a alternativa (d) é falsa.

E a alternativa (e) também está errada porque vimos que a (a) está certa.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #4

Enunciado

EDO de 2ª Ordem homogênea

Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = e x e y 2 x = x 2 são soluções da equação, determine p x e q x .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para acharmos p x e q x vamos substituir as duas soluções da EDO e ver o que temos, começando com y 1 x = e x

y 1 = e x

y 1 ' = e x

y 1 ' ' = e x

Substituindo na equação vamos ter

e x + p x . e x + q x . e x = 0

Colocando e x em evidência

e x 1 + p x + q x = 0

Como e x é sempre diferente de 0 , vamos ter

1 + p x + q x = 0

Passo 2

Vamos agora substituir os valores de y 2 x = x 2

y 2 = x 2

y 2 ' = 2 x

y 2 ' ' = 2

Substituindo na equação vamos ter

2 + p x . 2 x + q x . x 2 = 0

2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Passo 3

Vamos ter o seguinte sistema

1 + p x + q x = 0 2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Multiplicando a primeira equação por - x 2 vamos ter

- x 2 - x 2 p x - x 2 q x = 0

Somando com a segunda equação, vamos ter

2 - x 2 + 2 x p x - x 2 p x = 0

p x 2 x - x 2 = x 2 - 2

p x = x 2 - 2 2 x - x 2

Substituindo esse valor na primeira equação vamos ter

1 + x 2 - 2 2 x - x 2 + q x = 0

q x = - x 2 + 2 2 x - x 2 - 1

Igualando os denominadores, vamos ter

q x = - x 2 + 2 - 2 x + x 2 2 x - x 2

q x = 2 - 2 x 2 x - x 2

Resposta

p x = x 2 - 2 2 x - x 2

q x = 2 - 2 x 2 x - x 2

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