Método dos Coeficientes Indeterminados

Teoria Completa

Faaaala tu, tatu! Tudo bem? Hoje vamos estudar EDO de 2ª ordem não homogênea. Você lembra da homogênea? Ela era assim:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

O problema todo surgiu quando essa mesma equação não estava mais igualada a zero! E agora? É isso que a gente vai estudar nessa teoria! Uma EDO desse tipo:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = f ( x )

Onde  a ,   b   e c são constantes. A única diferença entre uma EDO homogênea e uma EDO não homogênea é esta: em vez de o lado direito ser igual a zero (homogênea), é igual a uma função de  x .

MAS CALMA AÍ, MEU ANJO! Não é qualquer função que vamos estudar aqui não. Serão EDOs desse tipo:

y ' ' x + 2 y ' x + y x = e 2 x

3 y ' ' x - 4 y ' x - 6 y x = x 2 + x

5 y ' ' x - 7 y ' x + 8 y x = s e n ( 3 x )

A função  f ( x ) , em geral, envolverá no máximo três tipos de funções:

  • Função exponencial: e d x
  • Função polinomial:  x n
  • Função trigonométrica:  cos ⁡ n x ou s e n ( n x )

Para resolver essas EDOs, são três etapas:

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:  y h ( x )
  2. Encontrar a solução particular:  y p ( x )
  3. Encontrar solução geral:  y x = y h x + y p ( x )

A etapa 1 já sabemos fazer, basta fingir que o lado direito da equação é zero, fazendo de conta que é uma EDO homogênea e então encontramos a solução homogênea y h

A etapa 2 será o foco dessa seção. Vamos ver passo a passo como encontrar o  y p . Nada melhor do que começarmos com um exemplo, né?

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2

Opaaaa! Primeira coisa a se fazer: encontrar y h . Para isto, é só resolvermos

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0

r 2 - 5 r + 6 = 0 → r 1 = 2       r 2 = 3

y h = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Agora, bora pra particular! Cara, chegou a melhor parte disso tudo, hora de fazer algo que sabemos desde a escola: chutar!

Se a gente tem um f x = x 2 , que é um polinômio, não há nada mais justo do que chutar um polinômio do segundo grau, não acha?

y p x = a x 2 + b x + c

“Ahhh, mas só tem x 2 ali, pra que colocar o b x e o c também?” Calma, amigx, você precisa chutar o polinômio por completo, não apenas a parte que aparece, ok?

Beleza, agora vamos substituir tudo na EDO.

( a x 2 + b x + c ) ' ' - 5 a x 2 + b x + c ' + 6 ( a x 2 + b x + c ) = x 2

2 a - 5 2 a x + b + 6 a x 2 + b x + c = x 2

Agrupando os termos semelhantes

6 a x 2 + x 6 b - 10 a + 2 a - 5 b + 6 c = x 2

Agora a gente só precisa comparar os coeficientes de ambos os lados.

Por exemplo, o cara que acompanha x ² de um lado, tem que ser igual ao cara que acompanha o x 2 do outro lado. O cara que acompanha o x de um lado tem que ser igual ao cara que acompanha o x do outro. Esse raciocínio vai ser seguido sempre, ok?

6 a = 1 6 b - 10 a = 0 2 a - 5 b + 6 c = 0

Daí, resolvendo esse sistema, encontramos os valores de a ,   b e c , e substituímos em y p x :

y p x = 1 6 x 2 + 5 18 x + 19 108

E, finalmente, chegamos na etapa 3, encontrando a solução geral y x = y h x + y p x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + 1 6 x 2 + 5 18 x + 19 108

Acabamos esse exemplo. Nem doeu, né?

Um passo MUITO IMPORTANTE é o seguinte: sempre que supomos um y p ( x ) , precisamos ver se a nossa sugestão já está presente em y h ( x ) . No exemplo acima não deu nada errado, porque y p ( x ) não estava em y h ( x ) , mas nem tudo são flores.

Olha um exemplo:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = e 2 x

Esse é o mesmo caso que vimos agora, com exceção do f ( x ) , que é uma exponencial. Já vimos que a solução homogênea é y h x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Já que temos uma exponencial, vamos chutar uma exponencial também, com o mesmo expoente, acompanhada por uma constante:

y p x = A e 2 x

Show. Agora, perceba que esse chute já aparece em y h , concorda? Então precisamos consertar esse pequeno detalhe. Como fazemos isso? Vamos apenas multiplicar nossa y p ( x ) por x até que ela fique diferente do termo que aparece em y h , desse jeito:

y p x = A x e 2 x

y p ' x = A e 2 x + 2 A x e 2 x

y p ' ' x = 4 A e 2 x + 4 A x e 2 x

Prontinho, agora as contas seguem:

A x e 2 x ' ' - 5 A x e 2 x ' + 6 A x e 2 x = e 2 x

4 A e 2 x + 4 A x e 2 x - 5 A e 2 x + 2 A x e 2 x + 6 A x e 2 x = e 2 x

Agrupando os termos semelhantes

- A e 2 x = e 2 x

Logo, comparando os coeficientes em ambos os lados

A = - 1

Então,

y p x = - x e 2 x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x - x e 2 x

Show?! Beleza, vamos ao último exemplo, envolvendo nossas trigonométricas (senos ou cossenos)

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = cos ⁡ x

Novamente, y h x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x . Como nossa f x = c o s ⁡ ( x ) ...

“Ahhhh, já sei, vou chutar y p = A c o s ( x ) , né?” NÃÃÃÃÃO!!! SEMPRE que aparecer senos ou cossenos, você precisa chutar uma combinação linear dos dois! O que é isso? É o seguinte:

y p x = A c o s x + B s e n ( x )

Sacou? Agora o procedimento é o mesmo. Vamos verificar se ela está na solução homogênea... Não está, pois a homogênea desse caso só envolve exponencial. Podemos prosseguir:

y p x = A c o s x + B s e n ( x )

y p ' x = - A s e n x + B c o s ( x )

y p ' ' x = - A c o s x - B s e n ( x )

Substituindo na EDO

- A c o s x - B s e n x - 5 - A s e n x + B c o s x + 6 A c o s x + B s e n x = cos ⁡ x

Agrupando termos semelhantes

s e n x 5 A + 5 B + cos ⁡ x - 5 B + 5 A = cos ⁡ x

Novamente, vamos comparar os coeficientes:

5 B + 5 A = 0 - 5 B + 5 A = 1

Obtendo A = 1 / 10 e B = - 1 / 10

Então

y p x = cos ⁡ x - s e n x 10

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + cos ⁡ x - s e n x 10

Feitooooo!

Chegou a hora do BIZU! Dá uma olha na tabela aqui pra você saber qual chute dar!

Nossa, falei muito! Guarda esse passo a passo e treina nos exercícios!

Passo a Passo

1. Resolva a equação homogênea y h   (faça o f x = 0 ).

2. Identifique quem é o  f x e compara com a tabela para determinar o seu chute.

3. Compare a solução homogênea e a particular. Se precisar vai multiplicando por  x até que elas fiquem diferentes.

4. Jogue o chute na EDO e descubra y p ( x ) .

5. Se for um PVI/PVC, substitua os dados iniciais.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

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Passo 1

Vamos seguir o passo a passo. Nosso objetivo é encontrar:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 9 = 0

r + 3 r - 3 = 0

r 1 = - 3 , r 2 = 3

A solução homogênea é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela tabelinha nosso chute vai ser:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x = - 3 A s e n 3 x + 3 B c o s ( 3 x ) y p ' ' ( x ) = - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n ( 3 x )

Passo 3

Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:

y p x = A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 9 y = c o s ⁡ ( 3 x )

- 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

- 18 A c o s 3 x - 18 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:

- 18 A = 1

A = - 1 18

Como não há a função seno do lado direito da equação:

B = 0

Então temos:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Passo 5

Assim, a solução geral é:

y x = y h x + y p x

Porém encontramos:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Então fica:

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Resposta

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Exercício Resolvido #2

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

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Passo 1

a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 4 r + 3 = 0

r = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 16 - 12 2

r = 4 ± 4 2

r = 4 ± 2 2

r = 1 ,     o u ,     r = 3

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como o Δ foi maior do que 0 , a solução homogênea é:

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e 3 . x

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Pela nossa tabelinha devemos fazer

y p x = A e x

Passo 3

Agora temos que comparar y h ( x ) e y p ( x ) . Veja que y p ( x ) está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: C 2 e x . Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por x até que ela fique diferente

y p x = A x e x

Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.

Vamos achar as derivadas

y p ' x = A e x + A x e x

y p ' ' x = A e x + A e x + A x e x = 2 A e x + A x e x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x + A x e x + 3 A x e x = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x - 4 A x e x + 3 A x e x = 3 e x

- 2 A e x = 3 e x

Devemos ter

A = - 3 2

Assim, a solução geral é:

y x = C 1 e x + C 2 e 3 x - 3 2 x e x

Passo 5

b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Colocando 0 em y x , temos:

y 0 = C 1 e 0 + C 2 e 3.0 - 3 2 0 e 0 = 1

C 1 + C 2 = 1

Passo 6

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x + 3 C 2 e 3 x - 3 2 e x - 3 2 x e x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 + 3 C 2 e 3.0 - 3 2 e 0 - 3 2 . 0 e 0

C 1 + 3 C 2 - 3 2 = 0

Passo 7

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 + 3 C 2 = 3 2

Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:

2 C 2 = 1 2

C 2 = 1 4

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 1 4 = 1

C 1 = 3 4

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Resposta

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Se A ∈ R , a equação diferencial y ' ' - 6 y ' + 9 y = 3 e 3 x tem uma solução da forma

(a) e 3 x + A x e 3 x

(b) A e 3 x

(c) A x e 3 x

(d) nenhuma das outras alternativas

(e) x e x + A x ² e 3 x

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Passo 1

Temos uma EDO não homogênea com a função 3 e 3 x no lado direito. Ele quer uma solução dessa EDO, então precisamos achar a solução particular.

Mas a gente não pode sair dizendo “ah então a solução é da forma A e 2 x !”. Primeiro a gente tem que calcular a solução da equação homogênea e depois a solução particular, show?

A EDO homogênea é

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Assim, a equação auxiliar vai ser

r 2 - 6 r + 9 = 0

⇒ r = - - 6 ± - 6 2 - 4 1 9 2.1 = 6 ± 36 - 36 2 = 6 ± 0 2

Assim, vamos ter duas raízes iguais

r = 3

Excelente! Asolução homogênea y h é da forma

    y h x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x

Passo 2

Beleza, agora voltando à EDO não homogênea:

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 3 e 3 x

No lado direito temos algo do tipo A e 3 x então, como eu disse no começo, o nosso reflexo é tentar uma solução particular y p do tipo

y p x = A e 3 x

Mas, atenção, primeiro temos que testar se essa opção é solução da equação homogênea!

E na solução da homogênea temos um termo c 1 e 3 x então esse “chute” não serve!

Então vamos multiplicá-lo por x , o que dá:

y p x = A x e 3 x

Mas novamente não vai dar certo porque na y h tem um c 2 x e 3 x .

Então temos que multiplicar de novo por x :

y p x = A x 2 e 3 x

Agora tá tudo certo! Essa é a solução particular da equação!

Juntando com a solução homogênea, obtemos a solução geral:

y x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x + A x 2 e 3 x

Passo 3

A nossa solução precisa ter essa cara

y x = c 1 e 3 x + c 2 x e 3 x + A x 2 e 3 x

O que pode mudar aqui é esse c 1 e o c 2 , mas em todas precisa te algo com A x 2 e 3 x

A única alternativa que tem isso é a letra e, mas ele é somado com uma função que não tem nada de semelhante com a solução que achamos

Então nenhuma das alternativas está certa! Ou melhor, a alternativa “nenhuma das outras alternativas” está certa haha.

Resposta

Alternativa (d)

Exercício Resolvido #4

EDO de 2ª Ordem não Homogênea
  1. Determine o conjunto C dos valores de a ∈ R tais que a equação diferencial

y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

Possui uma solução particular da forma y p t = A sen ⁡ a t

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Passo 1

a )

Vamos achar o valor de A para essa solução particular, devemos, primeiro, encontrar derivadas de y p ( t ) :

y p t = A sen ⁡ a t y p ' t = A a cos ⁡ a t y p ' ' t = - A a 2 sen ⁡ a t

Passo 2

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t + 4 y t = sen ⁡ a t

→ - A a 2 sen ⁡ a t + 4 A sen ⁡ a t = sen ⁡ a t

→ - A a 2 sen ⁡ a t + 4 A sen ⁡ a t = sen ⁡ a t

- A a 2 + 4 A = 1

A 4 - a 2 = 1

A = 1 4 - a 2

A solução particular vai ser dessa forma enquanto existir o valor de A , então devemos ter

4 - a 2 ≠ 0