Método dos Coeficientes Indeterminados

Teoria Completa

Faaaala tu, tatu! Tudo bem? Hoje vamos estudar EDO de 2ª ordem não homogênea. Você lembra da homogênea? Ela era assim:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

O problema todo surgiu quando essa mesma equação não estava mais igualada a zero! E agora? É isso que a gente vai estudar nessa teoria! Uma EDO desse tipo:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = f ( x )

Onde  a ,   b   e c são constantes. A única diferença entre uma EDO homogênea e uma EDO não homogênea é esta: em vez de o lado direito ser igual a zero (homogênea), é igual a uma função de  x .

MAS CALMA AÍ, MEU ANJO! Não é qualquer função que vamos estudar aqui não. Serão EDOs desse tipo:

y ' ' x + 2 y ' x + y x = e 2 x

3 y ' ' x - 4 y ' x - 6 y x = x 2 + x

5 y ' ' x - 7 y ' x + 8 y x = s e n ( 3 x )

A função  f ( x ) , em geral, envolverá no máximo três tipos de funções:

  • Função exponencial: e d x
  • Função polinomial:  x n
  • Função trigonométrica:  cos ⁡ n x ou s e n ( n x )

Para resolver essas EDOs, são três etapas:

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:  y h ( x )
  2. Encontrar a solução particular:  y p ( x )
  3. Encontrar solução geral:  y x = y h x + y p ( x )

A etapa 1 já sabemos fazer, basta fingir que o lado direito da equação é zero, fazendo de conta que é uma EDO homogênea e então encontramos a solução homogênea y h

A etapa 2 será o foco dessa seção. Vamos ver passo a passo como encontrar o  y p . Nada melhor do que começarmos com um exemplo, né?

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = x 2

Opaaaa! Primeira coisa a se fazer: encontrar y h . Para isto, é só resolvermos

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0

r 2 - 5 r + 6 = 0 → r 1 = 2       r 2 = 3

y h = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Agora, bora pra particular! Cara, chegou a melhor parte disso tudo, hora de fazer algo que sabemos desde a escola: chutar!

Se a gente tem um f x = x 2 , que é um polinômio, não há nada mais justo do que chutar um polinômio do segundo grau, não acha?

y p x = a x 2 + b x + c

“Ahhh, mas só tem x 2 ali, pra que colocar o b x e o c também?” Calma, amigx, você precisa chutar o polinômio por completo, não apenas a parte que aparece, ok?

Beleza, agora vamos substituir tudo na EDO.

( a x 2 + b x + c ) ' ' - 5 a x 2 + b x + c ' + 6 ( a x 2 + b x + c ) = x 2

2 a - 5 2 a x + b + 6 a x 2 + b x + c = x 2

Agrupando os termos semelhantes

6 a x 2 + x 6 b - 10 a + 2 a - 5 b + 6 c = x 2

Agora a gente só precisa comparar os coeficientes de ambos os lados.

Por exemplo, o cara que acompanha x ² de um lado, tem que ser igual ao cara que acompanha o x 2 do outro lado. O cara que acompanha o x de um lado tem que ser igual ao cara que acompanha o x do outro. Esse raciocínio vai ser seguido sempre, ok?

6 a = 1 6 b - 10 a = 0 2 a - 5 b + 6 c = 0

Daí, resolvendo esse sistema, encontramos os valores de a ,   b e c , e substituímos em y p x :

y p x = 1 6 x 2 + 5 18 x + 19 108

E, finalmente, chegamos na etapa 3, encontrando a solução geral y x = y h x + y p x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + 1 6 x 2 + 5 18 x + 19 108

Acabamos esse exemplo. Nem doeu, né?

Um passo MUITO IMPORTANTE é o seguinte: sempre que supomos um y p ( x ) , precisamos ver se a nossa sugestão já está presente em y h ( x ) . No exemplo acima não deu nada errado, porque y p ( x ) não estava em y h ( x ) , mas nem tudo são flores.

Olha um exemplo:

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = e 2 x

Esse é o mesmo caso que vimos agora, com exceção do f ( x ) , que é uma exponencial. Já vimos que a solução homogênea é y h x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x

Já que temos uma exponencial, vamos chutar uma exponencial também, com o mesmo expoente, acompanhada por uma constante:

y p x = A e 2 x

Show. Agora, perceba que esse chute já aparece em y h , concorda? Então precisamos consertar esse pequeno detalhe. Como fazemos isso? Vamos apenas multiplicar nossa y p ( x ) por x até que ela fique diferente do termo que aparece em y h , desse jeito:

y p x = A x e 2 x

y p ' x = A e 2 x + 2 A x e 2 x

y p ' ' x = 4 A e 2 x + 4 A x e 2 x

Prontinho, agora as contas seguem:

A x e 2 x ' ' - 5 A x e 2 x ' + 6 A x e 2 x = e 2 x

4 A e 2 x + 4 A x e 2 x - 5 A e 2 x + 2 A x e 2 x + 6 A x e 2 x = e 2 x

Agrupando os termos semelhantes

- A e 2 x = e 2 x

Logo, comparando os coeficientes em ambos os lados

A = - 1

Então,

y p x = - x e 2 x

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x - x e 2 x

Show?! Beleza, vamos ao último exemplo, envolvendo nossas trigonométricas (senos ou cossenos)

y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = cos ⁡ x

Novamente, y h x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x . Como nossa f x = c o s ⁡ ( x ) ...

“Ahhhh, já sei, vou chutar y p = A c o s ( x ) , né?” NÃÃÃÃÃO!!! SEMPRE que aparecer senos ou cossenos, você precisa chutar uma combinação linear dos dois! O que é isso? É o seguinte:

y p x = A c o s x + B s e n ( x )

Sacou? Agora o procedimento é o mesmo. Vamos verificar se ela está na solução homogênea... Não está, pois a homogênea desse caso só envolve exponencial. Podemos prosseguir:

y p x = A c o s x + B s e n ( x )

y p ' x = - A s e n x + B c o s ( x )

y p ' ' x = - A c o s x - B s e n ( x )

Substituindo na EDO

- A c o s x - B s e n x - 5 - A s e n x + B c o s x + 6 A c o s x + B s e n x = cos ⁡ x

Agrupando termos semelhantes

s e n x 5 A + 5 B + cos ⁡ x - 5 B + 5 A = cos ⁡ x

Novamente, vamos comparar os coeficientes:

5 B + 5 A = 0 - 5 B + 5 A = 1

Obtendo A = 1 / 10 e B = - 1 / 10

Então

y p x = cos ⁡ x - s e n x 10

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x + cos ⁡ x - s e n x 10

Feitooooo!

Chegou a hora do BIZU! Dá uma olha na tabela aqui pra você saber qual chute dar!

Nossa, falei muito! Guarda esse passo a passo e treina nos exercícios!

Passo a Passo

1. Resolva a equação homogênea y h   (faça o f x = 0 ).

2. Identifique quem é o  f x e compara com a tabela para determinar o seu chute.

3. Compare a solução homogênea e a particular. Se precisar vai multiplicando por  x até que elas fiquem diferentes.

4. Jogue o chute na EDO e descubra y p ( x ) .

5. Se for um PVI/PVC, substitua os dados iniciais.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo. Nosso objetivo é encontrar:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 9 = 0

r + 3 r - 3 = 0

r 1 = - 3 , r 2 = 3

A solução homogênea é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x