Equação de Euler-Cauchy

Teoria Completa

Introdução

Fala, gente! Tudo bem? Hoje nós vamos falar tudo que você precisa saber sobre o método de Euler-Cauchy.

Primeiramente, para que serve esse método? Já vimos EDOs homogêneas com coeficientes constantes... E se esses coeficientes não forem números? Dá uma olhada no tipo de EDO que vimos antes e no que vamos estudar agora:

y ' ' + y ' + 5 y = 0

x 2 y ' ' + x y ' + 5 y = 0

Bem parecidas, né? A maneira de resolver também, mas vamos conhecer um pouco mais essa EDO primeiro e esse método, ok?

Esse método serve para encontrarmos a solução homogênea  y h de algumas EDO’s com coeficientes variáveis, tipo essas aqui em cima.

“Então isso quer dizer que eu posso utilizar esse método para resolver qualquer EDO com coeficientes variáveis de ordem dois ou superior?” NÃO!!! Só podemos utilizá-lo quando a EDO aparece em uma forma específica. Essa forma que a EDO aparece se chama equação de Euler-Cauchy.

Relaxa que vamos ver exatamente o que é e como utilizar o método de Euler-Cauchy.

Equação de Euler-Cauchy

Vamos lá. Eu vou dar alguns outros exemplos de Equações de Euler-Cauchy:

5 x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + y = 0

3 x 2 d 2 y d x 2 + 5 y = 0

E aí, percebeu algo em comum com essas EDO’s?

Percebe que todas são EDO’s homogêneas, o lado direito da equação é ZERO. Observe que todas as derivadas de  y  estão sendo multiplicadas por potências de  x . E mais do que isso, o expoente da potência de  x  coincide com a ordem da derivada que ele está multiplicando!!!

Generalizando, a Equação de Euler-Cauchy de segunda ordem é a seguinte:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Ou seja, o grau do polinômio que multiplica a derivada tem que ser igual ao grau da própria derivada!

Portanto, toda vez que tivermos uma EDO nessa forma, que é chamado equação de Euler-Cauchy, podemos utilizar o método de Euler-Cauchy para encontrar  y h , que é a solução da equação homogênea.

Mas em que consiste esse método? Vamos ver isso agora mesmo!

Método de Euler-Cauchy

Olha esse exemplo:

x 2 y ' ' + 6 x y ' + 6 y = 0

Primeiro, vamos tentar supor um y cujas derivada possam nos ajudar. Consegue pensar em algum? Relaxa, eu já fiz isso pra você, porque sou teu fechamento ;)

Bom, eu já te falei que essa EDO é parecida com aquela que tem coeficientes constantes, né? Pois é, lá a gente sugeriu uma exponencial do tipo e r x . Aqui, vamos sugerir y x = x r .

Ah, vai! Tá parecido hahaha Beleza, bora substituir nessa EDO:

x 2 x r ' ' + 6 x x r ' + 6 x r = 0

Derivando esses termos aí

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 + 6 x r x r - 1 + 6 x r = 0

r r - 1 x r + 6 r x r + 6 x r = 0

x r r r - 1 + 6 r + 6 = 0

Repara que nós temos o produto de duas parcelas dando zero. Isso significa que ou uma parcela é zero, ou a outra que é. Porém, devemos considerar x r diferente de zero. Caso contrário teríamos uma solução trivial. Logo:

r r - 1 + 6 r + 6 = 0

Arrumando malandramente

r 2 + 6 - 1 r + 6 = 0

HMMMM olha só o que temos aqui... Vou até repetir a EDO pra você notar uma coisinha

x 2 y ' ' + 6 x y ' + 6 y = 0

Todos os termos da nossa EDO aparecem, mas aquele que acompanha o r está sendo subtraído um. Nada é por acaso, meu amigo... Vamos continuar e já já te dou a generalização! Então ficamos com

r 2 + 5 r + 6 = 0

r 1 = - 3             r 2 = - 2

Show! Agora partimos para a solução, que vai ser a combinação dessas respostas!

y x = c 1 x - 3 + c 2 x - 2

MANEIRO DEMAIS!!!

Generalizando o método... No caso de EDO de 2ª ordem, a gente começa se deparando com uma desse tipo:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Onde α ,   β R .

Daí, ela vai se transformar nessa equação que chamamos de polinômio característico F ( r ) :

r 2 + α - 1 r + β = 0

Depois disso, a gente precisa descobrir os valores de r e finalmente encontrar a solução.

Observa que a gente tem uma equação do segundo grau aí, ou seja, temos três casos para o nosso discriminante (famigerado delta). No caso do nosso exemplo, tivemos duas raízes reais e distintas, pois nosso delta foi maior que zero.

E se não for? Sem pânico! Bora estudar os casos desse lindo!

Casos do discriminante (delta)

Bom, dada nossa EDO

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Montamos nosso polinômio característico

r 2 + α - 1 r + β = 0

E então podemos encontrar as raízes

r = - α - 1 ± Δ 2

Onde

Δ = α - 1 2 - 4 β

Caso Δ > 0 :

Teremos duas raízes reais e distintas r 1 r 2

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

Esse foi justamente o nosso caso, lembra?

Caso Δ = 0 :

Teremos duas raízes reais e iguais r 1 = r 2 = r

y x = c 1 x r + c 2 x r l n x

Percebe que tem um l n x ali. Ele é necessário porque senão as duas parcelas serão iguais! Dá uma olha nesse exemplo:

x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0

Montando o polinômio característico

r 2 + 2 r + 1 = 0

Verificando o discriminante

Δ = 0 r 1 = r 2 = - 1

E encontrando solução

y x = c 1 x - 1 + c 2 x - 1 l n x

Caso Δ < 0 :

Teremos raízes complexas r = λ ± μ i

y x = x λ c 1 cos μ l n x + c 2 s e n μ l n x

Percebe que a gente colocou o λ junto com o x e considerou apenas o cara que acompanha a parte imaginária, ignorando o ± dele. Olha um exemplo:

x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 y = 0

Montando o polinômio característico

r 2 + 2 r + 2 = 0

Verificando o discriminante

Δ = - 4 r = 1 ± i

Se liga

λ = 1

μ = 1

Então, encontrando a solução

y x = x c 1 cos l n x + c 2 s e n l n x

Aí o que eu falei, ó! Ignoramos o ± que acompanhava o μ .

Suave na nave? Bora pros exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 216, exercício 9

Determine a solução geral da equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 9 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = - 5   ,   β = 9 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + - 5 - 1 r + 9 = 0

r 2 - 6 r + 9 = 0

Δ = 0

r = 3

Passo 2

Como = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x 3 + a 2 x 3 ln x

Resposta

y x = a 1 x 3 + a 2 x 3 ln x

Exercício Resolvido #2

Solução de EDO – Ponto singular – equação de Euler

Considere a seguinte família de equações de Euler:

1                 16 x 2 y ' ' x + 8 x y ' x + y x = k ,             x > 0

Onde k é uma constante real.

  1. Encontre a solução da equação homogênea ( k = 0 ) correspondente a ( 1 ) que satisfaz as seguintes condições:
  2. 2                       y 1 = 1           e           y e = 0

    onde e   =   2 ,   718 . . . . . é a base do logaritmo neperiano.

  3. Seja y ( x ) uma solução qualquer de ( 1 ) com k = 1 . Calcule o valor de lim x 0 + y ( x ) .

Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função w x = y x - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Letra a)

Temos o seguinte:

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 0

Precisamos deixar x 2 y ' ' sozinho, então

x 2 y ' ' + 1 2 x y ' + 1 16 y = 0

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = 1 / 2   ,   β = 1 / 16 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 1 2 - 1 r + 1 16 = 0

r 2 - 1 2 r + 1 16 = 0

Resolvendo essa equação

Δ = 0

r = - - 1 2 ± - 1 2 2 - 4 1 1 16 2 = - - 1 2 ± 1 4 - 1 4 2 = 1 2 ± 0 2 = 1 4

Passo 2

Como = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x r + a 2 x r ln x

Substituindo o valor de r :

y x = a 1 x 1 / 4 + a 2 x 1 / 4 ln x

Passo 3

Usando as condições

y 1 = 1  

y e = 0

Temos

1 = a 1 1 1 / 4 + a 2 1 1 / 4 ln 1

a 1 = 1

0 = a 1 e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4 ln e

0 = e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4

a 2 = - 1

Passo 4

Substituindo na expressão de y ( x ) :

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x

Passo 5

Letra b)

Com k = 1 , a equação passa a ser

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 1

Fazendo

w = y - 1

Temos

16 x 2 w ' ' + 8 x w ' + w = 0

E a solução dessa EDO nós já temos do item anterior:

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x

Fazendo, então, w = y - 1 :

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x

y x - 1 = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x + 1

Passo 6

Vamos calcular o limite disso aí entao

lim x 0 + y ( x ) = lim x 0 + x 1 4 - x 1 4 ln x + 1

= lim x 0 + x 1 4 - lim x 0 + x 1 4 ln x + 1 =

= - lim x 0 + x 1 4 ln x + 1 =

Aplicando L’Hopital

= - lim x 0 + ln x x - 1 / 4 + 1 =

= - lim x 0 + 1 / x - 1 / 4 x - 5 / 4 + 1 =

= - 4 lim x 0 + x 1 / 4 + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

  1. y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln x
  2. 1

Exercício Resolvido #3

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 216, exercício 36

Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de x 2 y ' ' + β y = 0 tendem a zero quando x 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficiente α = 0 ( β é o que queremos encontrar).

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 0 - 1 r + β = 0

r 2 - r + β = 0

r = 1 ± 1 - 4 β 2

1 - 4 β =

Como nós não conhecemos β , não sabemos se > 0 , = 0 ou < 0 , então, vamos ter que analisar a questão para cada um desses três casos.

Passo 2

Supondo que > 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β > 0

    β < 1 4

    Então, estamos analisando esses valores de β , que fazem ser positivo.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, temos duas raízes reais distintas:

    r 1 = 1 + 1 - 4 β 2

    r 2 = 1 - 1 - 4 β 2

    E as soluções da EDO são do tipo

    y x = a 1 x r 1 + a 2 x r 2

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0

O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , não é? Em outras palavras, queremos:

lim x 0 a 1 x r 1 + a 2 x r 2 = 0

Isso ocorre quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r 1 > 0 e r 2 > 0 .

Caso contrário, se x for elevado a uma raiz negativa, como - 1 por exemplo, temos 1 / x . Quando x 0 , isso tende a infinito. Se a raiz for nula, temos x 0 = 1 e a solução continua sem tender para zero.

Portanto, precisamos de raízes positivas:

r 1 = 1 + 1 - 4 β 2 > 0

r 2 = 1 - 1 - 4 β 2 > 0

Para não complicar muito as coisas, já vamos considerar valores de positivos, que é o caso 1. Sendo assim, a primeira inequação é satisfeita para qualquer positivo, portanto, para β < 1 / 4 . Falta, então, analisar a segunda.

Da mesma forma que na primeira, temos que ter > 0 , portanto, β < 1 / 4 , esse é o valor máximo que β assume. Mas essa inequação não é satisfeita para qualquer β < 1 / 4 , veja que, para termos r 2 positiva precisamos de:

1 - 4 β < 1         β > 0

Se essa raiz for maior que 1 , teremos 1 - n ú m e r o   m a i o r   q u e   1 < 0 , a raiz fica negativa. Certo? Então, a solução da segunda inequação é 0 < β < 1 / 4 .

Como nós precisamos que r 1 E r 2 sejam positivas temos que fazer a interseção entre as soluções das duas inequações, que é

0 < β < 1 / 4

Passo 3

Supondo que = 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β = 0

    β = 1 4

    Então, agora estamos analisando apenas esses valores de β , que fazem ser igual a zero.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, encontramos a raiz dupla da equação característica:

    r = 1 ± 0 2 = 1 2

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x r + a 2 x r ln x

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , ou seja:

    lim x 0 a 1 x r + a 2 x r ln x = 0

    lim x 0 a 1 + a 2 ln x x r = 0

    Novamente, isso deve ocorrer quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r > 0 , pelo mesmo motivo que vimos no caso anterior. Veja que aparece um limite do tipo lim x 0 x r ln x . Como a gente sabe que lim x 0 ln x = - , a gente tem que dar uma olhada com mais calma nesse limite que apareceu, pra ver se ele realmente vai pra zero.

    Supondo que r > 0 :

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 ln x 1 x r = lim x 0 ln x x - r

    Caímos numa indeterminação do tipo / . Usando nosso velho amigo L’Hospital:

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 ln x ' x - r ' = lim x 0 1 x - r x - r - 1

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 - x r r = 0

    O limite vai pra zero! Queremos, então:

    r = 1 2 > 0

    Isso é sempre verdade, logo, sempre que for zero, o problema é satisfeito.

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Para o caso 2, temos então a seguinte solução:

β = 1 4

Passo 4

Supondo que < 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β < 0

    β > 1 4

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nessa região temos negativo, o que nos leva a duas raízes complexas para a equação característica:

    r 1 = 1 + i 4 β - 1 2 = λ + i μ

    r 2 = 1 - i 4 β - 1 2 = λ - i μ

    Veja que, para colocar i em evidência, tivemos que mudar o sinal do que está dentro da raiz!

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x λ cos ( μ ln x ) + a 2 x λ sen ( μ ln x )

    Já sabemos que λ = 1 / 2 .

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , ou seja:

    lim x 0 a 1 x 1 / 2 cos ( μ ln x ) + a 2 x 1 / 2 sen ( μ ln x ) = 0

    lim x 0 a 1 cos ( μ ln x ) + a 2 sen ( μ ln x ) x 1 / 2 = 0

    Bom, esse limite já dá zero, não é? Temos:

    a 1 cos ( μ ln 0 ) + a 2 sen ( μ ln 0 ) 0 1 / 2 = 0

    Para qualquer valor de μ (e, portanto, de β ).

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Estamos analisando o caso em que β > 1 / 4   , não é? Então, nosso problema é satisfeito no caso 3 para:

β > 1 / 4

Passo 5

A resposta do problema é a junção de todas as soluções que encontramos para os três casos de valores de β , ou seja:

  1. 0 < β < 1 / 4
  2. β = 1 / 4
  3. β > 1 / 4

A soma disso tudo dá

β > 0

Resposta

β > 0

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