Teoria Completa
Solução Particular
Oiii, você voltou!!! Então, como a gente acabou de ver EDO de 2ª ordem não homogênea, que é assim
E vimos também os casos dessa função , que pode ser: seno, cosseno, polinômio ou exponencial, tá na hora de deixarmos as coisas ainda mais interessantes...
Lembra que aprendemos como resolvemos isso?
E o que você faria caso se deparasse com isto?
“Entregava a prova em branco!” Nada disso, lindx, entrega pro Responde Aí! Bora ver como a gente resolve isso e dar aquele lacre na prova? Partiu!
Começando com aquele exemplo sensacional, que tá aí em cima :D
Lembra do passo a passo? Não? Olha aqui:
Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:
- Encontrar a solução particular:
- Encontrar solução geral:
Show, continuando. A solução homogênea desse cara é
Vamos pra particular então. Bom, se nosso é uma soma de funções, nosso também será uma soma de funções :D
Tá aqui a tabelinha, caso você tenha esquecido qual é o chute!
Observe que a nossa solução particular não está presente na homogênea, então a gente pode seguir feliz com nossa sugestão!
Sacou a ideia? Os dois primeiros termos estão relacionados ao seno e os outros dois ao polinômio. Substituindo na EDO
Ajeitando tudo isso
Agora, a gente vai comparar os coeficientes de ambos os lados:
Obtendo , , e
E então
Pronto!
Agora, sem resolver, vou apenas indicar quais seriam as particulares, ok? Lembrando que nestes exemplos eu já comparei a solução particular com a homogênea!
Cara, não tem mistério, se é uma soma de funções, você vai chutar uma soma de funções com os coeficientes indeterminados!
Agora parte pros exercícios e arrasa!
Exercício Resolvido #1
Determine a solução geral:
Passo 1
Bem bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro:
Assim:
Assim a solução da homogênea é dada por:
Passo 2
Beleza clã, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!Então simbora:
Perceba que a que temos uma função exponencial e uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:
Passo 3
Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.
Passo 4
Agora derivando:
Substituindo esses paranauês loucos na EDO:
Juntando os coeficientes:
Igualando os coeficientes:
Assim a solução particular é dada por:
Passo 5
A solução geral é dada por:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Encontrar solução homogênea:
Vamos ver a equação característica:
Assim, a solução homogênea será:
Passo 2
Encontrar com coeficientes a determinar:
Agora é uma soma de diferentes funções:
- Função exponencial:
- Função trigonométrica:
- Função polinomial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 3
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 e a outra a .
Passo 4
Encontrar derivadas de :
Passo 5
Substituir na equação e encontrar constantes:
Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:
Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:
- Exponencial
- Trigonométrica
- Polinomial
E agora substituindo apenas a parte exponencial:
E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:
Resolvendo o sistema:
E agora substituindo apenas a parte polinomial:
Resolvendo o sistema:
Ótimo! Encontramos todas as constantes:
Não se preocupe se algumas constantes forem “feias”! Isso pode acontecer algumas vezes, não significa necessariamente que você errou algum cálculo!
Passo 6
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Substituindo as constantes:
Passo 7
Encontrar solução geral:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma EDO
possui uma solução particular da forma:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Temos que calcular primeiro a solução da equação homogênea pra gente poder determinar qual vai ser a forma da solução particular . A equação homogênea é
Repare que ela já está na forma
com e .
O discriminante é
A equação auxiliar é
Como , temos
E também temos
Comparando as duas expressões, obtemos
Então a solução da equação homogênea é:
Passo 2
Beleza, agora vamos dar uma olhada na solução particular!
A EDO é:
No lado direito temos a soma de uma exponencial com uma trigonométrica. Então o nosso “chute” pra tem que ser algo do tipo!
Pra exponencial:
E pra trigonométrica:
Ou seja, pra EDO toda, a nossa solução particular seria:
Passo 3
Tranquilo, mas se fosse só isso a gente não tinha calculado antes!
Temos que testar se a nossa não é solução da .
Lembrando que:
- Agora temos que nos perguntar: há termo na homogênea?
- A outra pergunta é: há termo ou na homogênea?
Não! Vemos que há um e um multiplicando o , e não somente uma constante.
Tem que ficar ligado nessa pegadinha!
Não, pelo mesmo motivo! O e o são multiplicados pelo , e não só por uma constante.
Ou seja, nossa está certa! :)
Resposta
Alternativa (d)