Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções

Teoria Completa

Solução Particular

Oiii, você voltou!!! Então, como a gente acabou de ver EDO de 2ª ordem não homogênea, que é assim

a y ' ' x + b y ' x + c y x = f ( x )

E vimos também os casos dessa função f ( x ) , que pode ser: seno, cosseno, polinômio ou exponencial, tá na hora de deixarmos as coisas ainda mais interessantes...

Lembra que aprendemos como resolvemos isso?

y ' ' x - 6 y ' x + 8 y x = s e n x

E o que você faria caso se deparasse com isto?

y ' ' x - 6 y ' x + 8 y x = s e n x + x

“Entregava a prova em branco!” Nada disso, lindx, entrega pro Responde Aí! Bora ver como a gente resolve isso e dar aquele lacre na prova? Partiu!

Começando com aquele exemplo sensacional, que tá aí em cima :D

y ' ' x - 6 y ' x + 8 y x = s e n x + x

Lembra do passo a passo? Não? Olha aqui:

Resolução de EDO não homogênea com coeficientes constantes

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:  y h
  2. Encontrar a solução particular:  y p
  3. Encontrar solução geral:  y x = y h x + y p ( x )

Show, continuando. A solução homogênea desse cara é y h x = c 1 e 2 x + c 2 e 4 x

Vamos pra particular então. Bom, se nosso f ( x ) é uma soma de funções, nosso y p ( x ) também será uma soma de funções :D

Tá aqui a tabelinha, caso você tenha esquecido qual é o chute!

y p x = A s e n x + B c o s x + C x + D

y p ' x = A c o s x - B s e n x + C

y p ' ' x = - A s e n x - B c o s x

Observe que a nossa solução particular não está presente na homogênea, então a gente pode seguir feliz com nossa sugestão!

Sacou a ideia? Os dois primeiros termos estão relacionados ao seno e os outros dois ao polinômio. Substituindo na EDO

- A s e n x - B c o s x - 6 A c o s x - B s e n x + C + 8 A s e n x + B c o s x + C x + D = s e n x + x

Ajeitando tudo isso

s e n x 6 B + 7 A + cos x - 6 A + 7 B + 8 C x - 6 C + 8 D = s e n x + x

Agora, a gente vai comparar os coeficientes de ambos os lados:

6 B + 7 A = 1 7 B - 6 A = 0 8 C = 1 8 D - 6 C = 0

Obtendo A = 7 / 85 , B = 6 / 85 , C = 1 / 8 e D = 3 / 32

y p x = 7 s e n x + 6 cos x 85 + 4 x + 3 32

E então

y x = c 1 e 2 x + c 2 e 4 x + 7 s e n x + 6 cos x 85 + 4 x + 3 32

Pronto!

Agora, sem resolver, vou apenas indicar quais seriam as particulares, ok? Lembrando que nestes exemplos eu já comparei a solução particular com a homogênea!

  • y ' ' + 3 y ' + 2 y = cos 2 x + 3 x 2
  • y p x = A c o s 2 x + B s e n 2 x + C x 2 + D x + E

  • y ' ' - 4 y ' - 5 y = e 2 x + x + s e n 3 x

y p x = A e 2 x + B x + C + D s e n 3 x + E c o s ( 3 x )

Cara, não tem mistério, se f ( x ) é uma soma de funções, você vai chutar uma soma de funções com os coeficientes indeterminados!

Agora parte pros exercícios e arrasa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

EDO de 2ª ordem não homogênea

Determine a solução geral:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro:

r 2 + r + 1 = 0

= 1 2 - 4.1 . 1 = - 3

Assim:

r 1,2 = - 1 ± - 3 2 = - 1 2 ± i 3 2

Assim a solução da homogênea é dada por:

y h = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x  

Passo 2

Beleza clã, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!Então simbora:

Perceba que a que temos uma função exponencial e uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:

y P 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e x

y p = A x 2 + B x + C + D e x

Passo 3

Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.

Passo 4

Agora derivando:

y p ' = 2 A x + B + D e x

y p ' ' = 2 A + D e x

Substituindo esses paranauês loucos na EDO:

2 A + D e x + 2 A x + B + D e x + A x 2 + B x + C + D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Juntando os coeficientes:

A x 2 + 2 A + B x + 2 A + B + C + 3 D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Igualando os coeficientes:

A = 1 2 A + B = 2     B = 2 - 2 A = 2 - 2 = 0

2 A + B + C = - 1 C = - 1 - 2 - 0 = - 3

3 D = 1 D = 1 3

Assim a solução particular é dada por:

y p = x 2 - 3 + 1 3 e x

Passo 5

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

y = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

Resposta

y = e - 1 2 x c 1 cos 3 2 x + c 2 sen 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Encontrar solução homogênea:

y ' ' - 9 y = 0

Vamos ver a equação característica:

r 2 - 9 = 0 r = ± 3

Assim, a solução homogênea será:

y h x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x

Passo 2

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

Agora f ( x ) é uma soma de diferentes funções:

  • Função exponencial: 5 e 2 x
  • Função trigonométrica: cos 2 x
  • Função polinomial: 9 x 2 + 2 x

Então y p ( x ) será também uma soma desses tipos de funções:

y p x = A e 2 x Exponencial + B sen 2 x + C cos 2 x Trigonométrica   + D x 2 + E x + F Polinomial

Passo 3

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 x e a outra a ± 3 x .

Passo 4

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A e 2 x + B sen 2 x + C cos 2 x + D x 2 + E x + F y p ' x = 2 A e 2 x + 2 B cos 2 x - 2 C sen 2 x + 2 D x + E y p ' ' x = 4 A e 2 x - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x + 2 D

Passo 5

Substituir na equação e encontrar constantes:

Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:

y ' ' - 9 y = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

4 A e 2 x - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x + 2 D - 9 A e 2 x + B sen 2 x + C cos 2 x + D x 2 + E x + F = 5 e 2 x + cos 2 x + 9 x 2 + 2 x

Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:

  1. Exponencial
  2. y ' ' - 9 y = 5 e 2 x

    E agora substituindo apenas a parte exponencial:

    4 A e 2 x - 9 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A e 2 x = 5 e 2 x

    - 5 A = 5

    A = - 1

  3. Trigonométrica
  4. y ' ' - 9 y = cos 2 x

    E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:

    - 4 B sen 2 x - 4 C cos 2 x - 9 B sen 2 x + C cos 2 x = cos 2 x

    - 4 B - 9 B sen 2 x + - 4 C - 9 C cos 2 x = cos 2 x

    - 13 B sen 2 x - 13 C cos 2 x = cos 2 x

    - 13 B = 0 - 13 C = 1

    Resolvendo o sistema:

    B = 0 ; C = - 1 13 .  

  5. Polinomial

y ' ' - 9 y = 9 x 2 + 2 x

E agora substituindo apenas a parte polinomial:

2 D - 9 D x 2 + E x + F = 9 x 2 + 2 x

- 9 D x 2 + - 9 E x + 2 D - 9 F = 9 x 2 + 2 x

- 9 D = 9 - 9 E = 2 2 D - 9 F = 0

Resolvendo o sistema:

D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Ótimo! Encontramos todas as constantes:

A = - 1 ; B = 0 ; C = - 1 13 ; D = - 1 ; E = - 2 9 ; F = - 2 9 .

Não se preocupe se algumas constantes forem “feias”! Isso pode acontecer algumas vezes, não significa necessariamente que você errou algum cálculo!

Passo 6

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p x = A e 2 x Exponencial + B sen 2 x + C cos 2 x Trigonométrica   + D x 2 + E x + F Polinomial

Substituindo as constantes:

y p x = - 1 e 2 x + 0 sen 2 x + - 1 13 cos 2 x + - 1 x 2 + - 2 9 x + - 2 9

y p x = - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Passo 7

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x - e 2 x - 1 13 cos 2 x - x 2 - 2 9 x - 2 9

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Uma EDO

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 3 e 2 t + 4 cos t

possui uma solução particular da forma:

(a) x p t = A e 2 t + B cos t

(b) x p t = e 2 t A sen t + B cos t

(c) x p t = A + B t e 2 t + B cos ( 2 t ) + C sen ( 2 t )

(d) x p t = A e 2 t + B sen t + C cos t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que calcular primeiro a solução x h da equação homogênea pra gente poder determinar qual vai ser a forma da solução particular x p . A equação homogênea é

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 0

Repare que ela já está na forma

a x ' ' + b x ' + c x = 0

com a = 1 ,   b = - 4 e c = 5 .

O discriminante é

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 4 * 1 * 5 = - 4

A equação auxiliar é

r 2 - 4 r + 5 = 0

Como Δ < 0 , temos

r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± i 2 2 = 2 ± i

E também temos r = α ± β i

Comparando as duas expressões, obtemos

α = 2     e     β = 1

Então a solução da equação homogênea é:

x h t = e α t c 1 cos β t + c 2 sen β t

x h t = e 2 t ( c 1 cos t + c 2 sen t )

Passo 2

Beleza, agora vamos dar uma olhada na solução particular!

A EDO é:

x ' ' - 4 x ' + 5 x = 3 e 2 t + 4 cos t

No lado direito temos a soma de uma exponencial com uma trigonométrica. Então o nosso “chute” pra x p tem que ser algo do tipo!

Pra exponencial:

3 e 2 t A e 2 t

E pra trigonométrica:

4 cos t B sen t + C cos t  

Ou seja, pra EDO toda, a nossa solução particular seria:

x p t = A e 2 t + B sen t + C cos t

Passo 3

Tranquilo, mas se fosse só isso a gente não tinha calculado x h antes!

Temos que testar se a nossa x p não é solução da x h .

Lembrando que:

x h t = e 2 t ( c 1 cos t + c 2 sen t ) = e 2 t c 1 cos t + e 2 t c 2 sen t

  • Agora temos que nos perguntar: há termo A e 2 t na homogênea?
  • Não! Vemos que há um cos t e um sen t multiplicando o e 2 t , e não somente uma constante.

    Tem que ficar ligado nessa pegadinha!

  • A outra pergunta é: há termo B sen t ou C cos t na homogênea?

Não, pelo mesmo motivo! O sen t e o cos t são multiplicados pelo e 2 t , e não só por uma constante.

Ou seja, nossa x p está certa! :)

x p t = A e 2 t + B sen t + C cos t

Resposta

Alternativa (d)

Questões de Livros Relacionadas

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas