Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Teoria Completa

Erro máximo de uma função

As derivadas parciais podem nos ajudar a encontrar o erro máximo de um conjunto de medidas usadas em uma função. Tipo a gente faz em física experimental, quando o erro de uma função é igual as derivadas parciais da função vezes os erros das medidas.

Assim, para encontrarmos o erro de uma função z = f ( x , y ) temos que resolver a diferencial:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

Onde d f é o erro da função, f x e f y são as derivadas parciais dela em relação as variáveis x e y e d x e d y são os erros das medidas x e y .

Se liga só:

Calcule o erro do volume de um cilindro cujo raio da base mede 1 m , medido com erro de 0,5 % , e sua altura é de 2 m , medida com erro de 2 c m .

Primeira coisa: qual a nossa função?

Bem, se queremos calcular o erro do volume, nossa função é o volume. Considerando que nosso cilindro tem raio x e altura y , nossa função será:

V x , y = π x 2 . y

Agora precisamos calcular as derivadas parciais e os erros de cada uma das medidas.

Vamos começar pelos erros:

O erro de y   ele já diz de cara que é de 2 c m . Assim:

d y = 0,02 m

O erro do raio da base x é dado na forma percentual, então temos que multiplicar o valor do raio pelo seu erro percentual para encontrar o d x :

d x = x . 0,5

d x = 1 . 0,5 100 = 0,005

Ótimo, agora vamos calcular as derivadas parciais da função:

V x , y = π x 2 . y

f x = π . 2 x . y = 2 π x y

f y = π x 2 . 1 = π x ²

Pronto, agora é só substituir:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

d V = 2 π x 0 y 0 . 0,005 + π x 0 2 . 0,02

Como x 0 = 1 e y 0 = 2 :

d V = 2 π . 1.2 . 0,005 + π . 1 2 . 0,02

d V = 0,04 π

Só isso!! Tranquilão né?

Erro percentual

O erro percentual de uma função pode ser calculado pela fórmula

d f f x 0 , y 0 × 100

Então, o erro percentual fica

f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y f x 0 , y 0 × 100

Tá abstrato demais? Se liga nesse exemplo aqui, então

Lá no nosso exemplo, a gente tinha que calcular o erro do volume do cilindro. Vejamos como fica a forma percentual! O volume é dado por

V = π r ² h

V 0 = π r 0 2 h 0 = π 1 2 . 2 = 2 π

O erro percentual do volume vai ser

d V V 0 = 0.04 π 2 π × 100 = 2 %

Viu como é de boas?!

Então fique atento pra resolver as derivadas parciais e colocar os erros da maneira correta que ai você vai estar a menos uma questão do seu 10 na prova hahah!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 208, exercício 11

Calcule a diferencial:

  1. w = x y z
  2. x = e 2 u + 2 v - t 2
  3. w =   x 2 + y 2 1 + z 2
  4. s = 1 + x 2 y z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. A primeira coisa a fazer para calcular a diferencial de uma função, é encontar essa função. O problema já a fornece claramente:
  2. w = x y z

    Então sabemos que:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Vamos calcular as derivadas parciais

    Passo 2

    Calculando ∂ w ∂ x temos:

    ∂ w ∂ x = y z

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = x z

    Calculando ∂ w ∂ z temos:

    ∂ w ∂ z = x y

    Passo 3

    Agora é só substituir na equação :

    d w = y z d x + x z d y + x y d z

    Passo 4

  3. Vamos seguir o mesmo passo a passo do item a). A função já é conhecida:
  4. x = e 2 u + 2 v - t 2

    Perceba que x é função de u , v , t . Então, a diferencial será:

    d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v + ∂ x ∂ t d t

    Passo 5

    Calculando ∂ x ∂ u temos:

    ∂ x ∂ u = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ v temos:

    ∂ x ∂ v = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ t temos:

    ∂ x ∂ t = - 2 t e 2 u + 2 v - t 2

    Passo 6

    Agora é só substituir na equação :

    d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t

    Passo 7

  5. A função é:
  6. w =   x 2 + y 2 1 + z 2

    Então, a diferencial será:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Passo 8

    Calculando ∂ w ∂ x :

    Lembre-se de que estamos derivando apenas em relação a x . Todas as outras variáveis são tratadas como ”constantes” na hora de derivar.

    ∂ w ∂ x = 2 x 1 + z 2

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = 2 y 1 + z 2

    Calculando δ w δ z :

    Perceba que w = x 2 + y 2 1 + z 2 = x 2 + y 2 1 + z 2 - 1 . Então temos:

    ∂ w ∂ z = x 2 + y 2 - 1 1 + z 2 - 2 2 z = - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2

    Passo 9

    Agora é só substituir na equação :

    d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z

    Passo 10

  7. A função é:

s = 1 + x 2 y z

Então, a diferencial será:

d s = ∂ s ∂ x d x + ∂ s ∂ y d y + ∂ s ∂ z d z

Passo 2

Calculando ∂ s ∂ x :

Perceba que ∂ ( f x c ) ∂ x , onde c é uma constante, é: c f x c - 1 f ' x . No caso temos:

∂ s ∂ x = y z 1 + x 2 y z - 1 ( 2 x )

Calculando ∂ s ∂ y temos:

Lembre-se de que δ ( c f y ) δ y , onde c é uma constante, é: c f y ln ⁡ c f ' y

∂ s ∂ y = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( z )

Calculando ∂ s ∂ z :

∂ s ∂ z = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( y )

Passo 3

Agora é só substituir na equação :

d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

Resposta

  1. d w = y z d x + x z d y + x y d z
  2. d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t
  3. d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z