Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Teoria Completa

Erro máximo de uma função

As derivadas parciais podem nos ajudar a encontrar o erro máximo de um conjunto de medidas usadas em uma função. Tipo a gente faz em física experimental, quando o erro de uma função é igual as derivadas parciais da função vezes os erros das medidas.

Assim, para encontrarmos o erro de uma função z = f ( x , y ) temos que resolver a diferencial:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

Onde d f é o erro da função, f x e f y são as derivadas parciais dela em relação as variáveis x e y e d x e d y são os erros das medidas x e y .

Se liga só:

Calcule o erro do volume de um cilindro cujo raio da base mede 1 m , medido com erro de 0,5 % , e sua altura é de 2 m , medida com erro de 2 c m .

Primeira coisa: qual a nossa função?

Bem, se queremos calcular o erro do volume, nossa função é o volume. Considerando que nosso cilindro tem raio x e altura y , nossa função será:

V x , y = π x 2 . y

Agora precisamos calcular as derivadas parciais e os erros de cada uma das medidas.

Vamos começar pelos erros:

O erro de y   ele já diz de cara que é de 2 c m . Assim:

d y = 0,02 m

O erro do raio da base x é dado na forma percentual, então temos que multiplicar o valor do raio pelo seu erro percentual para encontrar o d x :

d x = x . 0,5

d x = 1 . 0,5 100 = 0,005

Ótimo, agora vamos calcular as derivadas parciais da função:

V x , y = π x 2 . y

f x = π . 2 x . y = 2 π x y

f y = π x 2 . 1 = π x ²

Pronto, agora é só substituir:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

d V = 2 π x 0 y 0 . 0,005 + π x 0 2 . 0,02

Como x 0 = 1 e y 0 = 2 :

d V = 2 π . 1.2 . 0,005 + π . 1 2 . 0,02

d V = 0,04 π

Só isso!! Tranquilão né?

Erro percentual

O erro percentual de uma função pode ser calculado pela fórmula

d f f x 0 , y 0 × 100

Então, o erro percentual fica

f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y f x 0 , y 0 × 100

Tá abstrato demais? Se liga nesse exemplo aqui, então

Lá no nosso exemplo, a gente tinha que calcular o erro do volume do cilindro. Vejamos como fica a forma percentual! O volume é dado por

V = π r ² h

V 0 = π r 0 2 h 0 = π 1 2 . 2 = 2 π

O erro percentual do volume vai ser

d V V 0 = 0.04 π 2 π × 100 = 2 %

Viu como é de boas?!

Então fique atento pra resolver as derivadas parciais e colocar os erros da maneira correta que ai você vai estar a menos uma questão do seu 10 na prova hahah!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 208, exercício 11

Calcule a diferencial:

  1. w = x y z
  2. x = e 2 u + 2 v - t 2
  3. w =   x 2 + y 2 1 + z 2
  4. s = 1 + x 2 y z
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Passo 1

  1. A primeira coisa a fazer para calcular a diferencial de uma função, é encontar essa função. O problema já a fornece claramente:
  2. w = x y z

    Então sabemos que:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Vamos calcular as derivadas parciais

    Passo 2

    Calculando ∂ w ∂ x temos:

    ∂ w ∂ x = y z

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = x z

    Calculando ∂ w ∂ z temos:

    ∂ w ∂ z = x y

    Passo 3

    Agora é só substituir na equação :

    d w = y z d x + x z d y + x y d z

    Passo 4

  3. Vamos seguir o mesmo passo a passo do item a). A função já é conhecida:
  4. x = e 2 u + 2 v - t 2

    Perceba que x é função de u , v , t . Então, a diferencial será:

    d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v + ∂ x ∂ t d t

    Passo 5

    Calculando ∂ x ∂ u temos:

    ∂ x ∂ u = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ v temos:

    ∂ x ∂ v = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ t temos:

    ∂ x ∂ t = - 2 t e 2 u + 2 v - t 2

    Passo 6

    Agora é só substituir na equação :

    d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t

    Passo 7

  5. A função é:
  6. w =   x 2 + y 2 1 + z 2

    Então, a diferencial será:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Passo 8

    Calculando ∂ w ∂ x :

    Lembre-se de que estamos derivando apenas em relação a x . Todas as outras variáveis são tratadas como ”constantes” na hora de derivar.

    ∂ w ∂ x = 2 x 1 + z 2

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = 2 y 1 + z 2

    Calculando δ w δ z :

    Perceba que w = x 2 + y 2 1 + z 2 = x 2 + y 2 1 + z 2 - 1 . Então temos:

    ∂ w ∂ z = x 2 + y 2 - 1 1 + z 2 - 2 2 z = - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2

    Passo 9

    Agora é só substituir na equação :

    d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z

    Passo 10

  7. A função é:

s = 1 + x 2 y z

Então, a diferencial será:

d s = ∂ s ∂ x d x + ∂ s ∂ y d y + ∂ s ∂ z d z

Passo 2

Calculando ∂ s ∂ x :

Perceba que ∂ ( f x c ) ∂ x , onde c é uma constante, é: c f x c - 1 f ' x . No caso temos:

∂ s ∂ x = y z 1 + x 2 y z - 1 ( 2 x )

Calculando ∂ s ∂ y temos:

Lembre-se de que δ ( c f y ) δ y , onde c é uma constante, é: c f y ln ⁡ c f ' y

∂ s ∂ y = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( z )

Calculando ∂ s ∂ z :

∂ s ∂ z = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( y )

Passo 3

Agora é só substituir na equação :

d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

Resposta

  1. d w = y z d x + x z d y + x y d z
  2. d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t
  3. d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z
  4. d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

Exercício Resolvido #2

Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

A gravidade específica S de um objeto é dada pela fórmula S = A A - W onde A é o número de quilogramas no peso do objeto no ar e W é o número de quilogramas no peso do objeto na água. Se o peso de um objeto no ar é de 20Kg com um erro possível de 0,01 Kg e seu peso na água é 12Kg, com um erro possível de 0,02 Kg, encontre, aproximadamente, o erro máximo possível no cálculo de S a partir dessas medidas.

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Passo 1

Aqui temos um problema que pede para encontrarmos o erro máximo. Sempre que tivermos uma função, e as variáveis forem medidas com algum erro, basta resolvermos uma diferencial! Lembra da equação diferencial?

Se temos uma função f x , y = z , sua diferencial é dada por:

d z = δ z δ x d x + δ z δ y d y

Em que d x e d y são os erros da medida

Fazendo gora uma analogia para nossa função

f A , W = S = A A - W

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

Passo 2

Agora que temos a diferencial, é só resolvê-la!

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

Resolvendo δ S δ A :

S = A A - W

δ S δ A = A - W - A A - W 2

Resolvendo δ S δ W :

S = A A - W = A A - W - 1

δ S δ W = A A - W 2

Passo 3

Agora basta colocar os resultados anteriores na nossa diferencial

d S = δ S δ A d A + δ S δ W d W

d S = A - W - A A - W 2 d A + A A - W 2 d W

E colocar os respectivos erros em d A e d W :

d S = - 12 20 - 12 2   .   0,01 + 20 20 - 12 2   .   0,02

d S = - 12 64   .   0,01 + 20 64   .   0,02

d S = 0,07 16

Resposta

Erro máximo é d S = 0,07 16

Exercício Resolvido #3

Origem do Exercício

Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com valores R 1 , R 2 , R 3 , então 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 . Se as três resistências medem R 1 = 25 Ω ,   R 2 = 40 Ω ,   R 3 = 50 Ω , com precisão de 0,5 % em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de R .

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Passo 1

Opa, escutou erro máximo? Então essa parada vai ter equação diferencial! Lembra dela? Se vc tem uma função f ( x , y ) a diferencial dela vai ser dada por:

d f x , y = δ f x , y δ x d x +   δ f x , y δ y d y

Então, colocando na nossa função R ( R 1 , R 2 , R 3 ) ...

d R R 1 , R 2 , R 3 = δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 d R 1 +   δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 d R 2 + δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 d R 3

Em que cada d R 1 ,   d R 2 e d R 3 são os erros das medidas!

Passo 2

Ótimo, agora que temos a parada equacionada, é só resolver as derivadas parciais da função R . Para isso, vamos dar uma ajeitadinha nela, porque o que temos mesmo é 1 R . Para isso, vamos ter que usar o menor múltiplo comum nos denominadores, que nada mais é que R 1 . R 2 . R 3 . Fica assim:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Multiplicando em cima e embaixo pelo o que falta para os denominadores virarem R 1 . R 2 . R 3 ...

1 R = 1 R 1 R 2 R 3 R 2 R 3 + 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 3   + 1 R 3 R 1 R 2 R 2 R 2

Isso vira...

1 R = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 R 1 R 2 R 3

Trocando os termos cruzados....

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

Substituindo os valores, teremos que

R = 25.40.50 25.40 + 40.50 + 25.50 = 200 17

Conseguimos! Agora sim podemos continuar!

Passo 3

Vamos resolver as derivadas parciais em relação a R 1 , R 2 e R 3 ? Para isso, usaremos a regra do quociente: se y = u v   ,   y ' = u ' v - v ' u v 2 . Agora é só fingir que y é a nossa função R

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 R 3 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 2 + R 3 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Ficou feio demais, né? Mas vamos abrir essa expressão multiplicando os termos de cima pra ver se ajuda....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 1 R 2 2 R 3 + R 2 2 R 3 2 + R 1 R 2 R 3 2 - R 1 R 2 2 R 3 - R 1 R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos que se anulam, fica:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Beem mais bonito, né?

Agora vem o pulo do gato... Você percebeu que essa expressão é quase idêntica à equação do R ? Ela só está ao quadrado!

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

e

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Vamos então, para encontrarmos a expressão mais simples possível para a nossa derivada parcial, temos que multiplicar por R 1 2 em cima e embaixo, na equação da derivada mesmo. Fica assim:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 1 2 R 1 2

Ok, multiplicando em cima e embaixo nada se altera. Mas agora podemos usar a nossa equação da função R ! Olha que lindo:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2   . R 1 2

Isso nada mais é (olhe bem para a equação do R ) que

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = R 2 R 1 2

Como R 1 = 25 e R = 200 17 , teremos que

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 = 200 17.25 2

Passo 4

Sim, é exatamente o que você está pensando... Ainda temos que fazer todas essas contas para encontrar as derivadas parciais em relação R 2 e a R 3 hahahaha mas relaxa! Vai dar tudo muito parecido com o que fizemos pra derivada em relação a R 1 !

Usando a regra do quociente novamente, teremos:

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 R 3 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 1 + R 3 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Abrindo a parte de cima da fração teremos:

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3 2 + R 1 2 R 3 2 - R 1 2 R 2 R 3 - R 1 R 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos opostos do numerador....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

E, finalmente, multiplicando por R 2 2 em cima e embaixo pra podermos usar a expressão de R :

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 2 2 R 2 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 2 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = R 2 R 2 2

Como R = 200 17 e R 2 = 40 temos que...

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 = 200 17.40 2

Passo 5

Agora só falta pro R 3 ! Segura mais um pouquinho que teremos tudo o que precisamos pra descobrir o erro máximo!

Derivando em relação a R 3 ...

R = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 R 2 . R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 - R 1 + R 2 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Multiplicando a expressãodo numerador....

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 + R 1 R 2 2 R 3 + R 1 2 R 2 R 3 - R 1 2 R 2 R 3 - R 1 R 2 2 R 3 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

Cortando os termos opostos...

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2

E, agora, colocando R 3 2 em cima e embaixo para usarmos a expressão de R :

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 3 2 R 3 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 1 2 R 2 2 R 3 2 R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 2 R 3 2

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = R 2 R 3 2

Como R = 200 17 e R 3 = 50 , teremos

δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 = 200 17.50 2

Passo 6

Está pronto! Agora teremos o prazer de ver o tão suado resultado! Basta a gente pegar a equação da diferencial:

d R R 1 , R 2 , R 3 = δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 1 d R 1 +   δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 2 d R 2 + δ R R 1 , R 2 , R 3 δ R 3 d R 3

Substituir os valores das derivadas...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 200 17.25 2 d R 1 +   200 17.40 2 d R 2 + 200 17.50 2 d R 3

Substituir os valores das resistências multiplicadas pelo erro de medida...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 200 17.25 2 . 25.0,005 +   200 17.40 2 . 40.0,005 + 200 17.50 2 . 50.0,005

Podemos colocar o erro em evidência, por questões estéticas XD

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 200 17.25 2 . 25 +   200 17.40 2 . 40 + 200 17.50 2 . 50

Agora, simplificamos, cada um dos parêntesis...

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 8 17 2 . 25 +   5 17 2 . 40 + 4 17 2 . 50

O que nos leva a:

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 1600 289 + 1000 289 + 800 289

d R R 1 , R 2 , R 3 = 0,005 3400 289