Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

Teoria Completa

Aproximação linear de uma função

Talvez você tenha ouvido falar de “aproximações lineares”, não?

Assim como em funções de uma variável, onde usamos uma reta como uma aproximação linear para uma curva em um ponto, a aproximação linear, para uma função de duas variáveis, é o próprio plano tangente!

Isso porque alí pertinho do ponto de tangencia, onde está o plano tangente ao gráfico da função, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é o plano tangente, de modo que no entorno do ponto de tangencia, os valores para o plano e para a superfície são praticamente iguais! Daí dizemos que o plano tangente é a aproximação linear para a superfície num determinado ponto.

Dá uma olhada:

Matematicamente, o que temos é

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

f ( x , y ) ≈ L ( x , y )

Onde L ( x , y ) é a aproximação linear da função f . Repara que é a mesma expressão do plano tangente!

Ok, mas pá quê que eu iria querer aproximar uma função se eu posso usar a função verdadeira?

Simples, porque as vezes a função verdadeira é mucho loka, ai é muito mais fácil trabalhar com a linearização.

Vamos ver um exemplo agora.

Determine o valor aproximado da função z = f ( x , y ) = 1 - x 2 - 2 y 2 , achando seu valor no ponto 1,01   ; 0,98 .

Lembre-se, para encontrar aproximação linear da superfície, precisamos do plano tangente em torno de um ponto.

Esse ponto é um ponto mais perto daquele que que a questão quer, ou seja, ele quer o valor aproximado em 1,01   ; 0,98 , então vamos achar o plano tangente em 1,1 que são os pontos próximos a ele e que são fáceis de fazer conta.

Para calcular o plano tangente no ponto ( 1,1 )

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Temos que achar f x e f y :

f x = - 2 x

f y = - 4 y

No ponto ( 1,1 ) :

f x = - 2

f y = - 4

Então, a equação do plano tangente é

z = f 1,1 + f x x - 1 + f y y - 1

z = - 2 - 2 x - 1 - 4 y - 1

2 x + 4 y + z = 4

Então para valores de x , y próximos de 1,1 podemos fazer

z = 4 - 2 x - 4 y

Aquele ponto que ele pediu é perto de 1,1 então o valor aproximado da função vai ser

z = 4 - 2 1,01 - 4 0,98

z = 4 - 2,02 - 3,92

z = - 1,94

E esse será nosso valor aproximado para a função z = f ( x , y ) .

Nessa função fazer a conta normalmente é de boa, mas essa aproximação serve para funções mais loucas e doidinhas, o valor exato no ponto 1,01 ; 0,98 vai ser

z = - 1,9409

Repara que esses valores são realmente bem parecidos um com o outro né? Mas, obviamente, como é uma aproximação, eles não são idênticos. Isso significa que quando a gente faz essa aproximação linear, cometemos um erro.

E x , y = f x , y - L ( x , y )

Nesse caso, nosso erro seria

E x , y = - 1,9409 - - 1,94 = - 0,0009

Tá, mas como eu disse antes, nem sempre vai ser de boas fazer as contas normalmente na expressão da função. Então como a gente faz pra calcular esse erro?

A gente usa a fórmula:

| E x , y | = 1 2 M x - x 0 + y - y 0 2

Onde esse M é qualquer limitante superior para os valores de | f x x | , | f y y | e f x y .

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 3, questão 27.

Seja z = x e x 2 - y 2 .

  1. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002
  2. Calcule um valor aproximado para z correspondente a x = 1,01 e y = 1,002
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Passo 1

Para acharmos a aproximação da variação precisamos achar o valor de z em x = 1 e y = 1 e o valor aproximado de z para x = 1,01 e y = 1,002 . Então vamos começar pela letra b achando o valor de z para x = 1,01 e y = 1,002 .

b )

Primeiro vamos achar o plano tangente.

Para acharmos o plano tangente primeiro precisamos das derivadas parciais de f ( x , y )

∂ f ∂ x = e x 2 - y 2 + x e x 2 - y 2 2 x = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2

∂ f ∂ y = x e x 2 - y 2 - 2 y = - 2 x y e x 2 - y 2

Passo 2

O ponto de tangente vai ser em x = 1 e y = 1 ! Portanto, colocando nas expressões que a gente achou no passo 1, temos

∂ f ∂ x 1,1 = e 1 - 1 + 2.1 2 e 1 - 1 = 3

∂ f ∂ y 1,1 = - 2.1 . 1 e 1 - 1 = - 2

Tranquilo?

Passo 3

Antes de usar a fórmula do plano tangente vamos achar o valor de z para x = 1 e y = 1

z ( 1,1 ) = 1 e 1 2 - 1 2

z ( 1,1 ) = 1

O plano tangente vai ser

z = z ( 1,1 ) + f x x - 1 + f y y - 1

3 x - 2 y = z

Passo 4

O valor aproximado de z em x = 1,01 e y = 1,002 vai ser

z = 3 x - 2 y

Trocando x e y pelos seus valores, sacou? Então vai ficar

z = 3 1,01 - 2 1,002

z = 3,03 - 2,00 4

z = 1,026

Passo 5

a )

A variação vai ser

Δ z = 1,026 - 1 = 0,026

Resposta

  1. 0,026
  2. 1,026

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2014.3, questão 3
  1. Determine a equação, na forma z = a x + b y + c , do plano tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 no ponto 3,4 , f 3,4 .
  2. Calcule um valor aproximado para 3,02 2 + 3,97 2
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Passo 1

a )

Para calcular o plano tangente no ponto ( 3,4 )

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Temos que achar f x e f y :

f x = 2 x 2 x 2 + y 2

f y = 2 y 2 x 2 + y 2

No ponto ( 3,4 ) :

f x = 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 6 2 25 = 3 5

f y = 2 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 8 2 25 = 4 5

E também f 3,4

f 3,4 = ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 25 = 5

Passo 2

Então, a equação do plano tangente é

z = f 3,4 + f x x - 3 + f y y - 4

z = 5 + 3 5 x - 3 + 4 5 y - 4

z = 3 x 5 + 4 y 5

Passo 3

b )

Para calcular o valor aproximado, basta substituirmos

x = 3,02

y = 3,97

Na expressão do plano tangente, já que

f ( x , y ) ≈ L ( x , y )

Então

f ( x , y ) ≈ 3 x 5 + 4 y 5

Substituindo

f 3,02 , ;   3,97 ≈ 3 3,02 5 + 4 3,97 5 = 9,06 5 + 15,88 5 = 24 , 94 5 = 4,9 88

Resposta

  1. z = 3 x 5 + 4 y 5
  2. f 3,02 , ;   3,97 ≈ 4,9 88

Exercício Resolvido #3

Jorge B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 348, exercício 35.

Encontre a linearização L x , y da função

f x , y = e x cos ⁡ y

em P 0 = ( 0,0 )

Então encontre um limitante superior para a magnitude | E x , y | do erro na aproximação f ( x , y ) ≈ L ( x , y ) , sabendo que

x ≤ 0,1     e     y ≤ 0,1

(Use e x < 1,11 e cos ⁡ y ≤ 1 para estimar E ( x , y ) ).

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Passo 1

Sabemos que

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Então, vamos achar f ( x 0 , y 0 )

f 0,0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas parciais:

f x = e x cos ⁡ y

f y = - e x sen ⁡ y

No ponto ( 0,0 ) :

f x = 1

f y = 0

Assim, nossa linearização é

L x , y = 1 + 1 x - 0 + 0 y - 0 = 1 + x

(Bem mais simples que a expressão da fução, né?)

Passo 3

Agora para calcular o erro, vamos usar:

| E x , y | = 1 2 M x - x 0 + y - y 0 2

Onde esse M é qualquer limitante superior para os valores de | f x x | , | f y y | e f x y .

Já sabemos que

x - x 0 = x ≤ 0,1

E

y - y 0 = y ≤ 0,1

Só falta calcular | f x x | , | f y y | e f x y .

Passo 4

Temos

f x x = e x cos ⁡ y

f y y = = - e x cos ⁡ y

f x y = - e x sen ⁡ y

Como

x ≤ 0,1 → - 0,1 ≤ x ≤ 0,1  

E

y ≤ 0,1 → - 0,1 ≤ y ≤ 0,1

Assim,

| f x x | ≤ | e 0,1 cos ⁡ 0,1 | ≤ 1,11.1 ≤ 1.11

f y y = | - e 0,1 cos ⁡ 0,1 | ≤ 1,11

| f x y | = | - e 0,1 sen ⁡ 0,1 | ≤ 0,12

Logo, nosso M será

M = 1,11

Porque é o maior desses valores ali de cima.

Passo 5

O erro então será

E x , y = 1 2 1,11 x - 0 + y - 0 2 = 1 2 1,11 0,1 + 0,1 2 = 0,0222

Resposta

L x , y = 1 + x

E x , y = 0,0222

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