Domínio de Funções de 3 Variáveis

Teoria Completa

Restrições da função

Agora vamos ver como achar o domínio de funções de 3 variáveis, e vai ser basicamente a mesma coisa que fazíamos pra funções de 2 variáveis. A diferença é que agora o domínio não é mais uma região do plano, mas sim do espaço, ou seja: uma superfície.

Por isso é importante saber esboçar superfícies, porque algumas questões podem pedir o esboço dos domínios. Pra determinar o domínio temos que analisar as eventuais restrições da função, que são:

  • raiz par: termo dentro dela não pode ser negativo
  • quociente: denominador não pode valer zero
  • logaritmo: termo dentro dele tem que ser estritamente positivo

Vamos achar e esboçar o domínio da função:

f x , y , z = ln ⁡ 1 - x 2 - y 2 - z 2

A única restrição da função é o logaritmo: o termo dentro dele tem que ser estritamente positivo. Ou seja:

1 - x 2 - y 2 - z 2 > 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 < 1

Portanto, o domínio da f é o interior da esfera de raio 1 centrada na origem. Detalhe que a casca esférica em si não faz parte do domínio, porque na inequação temos “ < ” e não “ ”.

O esboço fica:

Agora partiu treinar nos exercícios :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 934 – 23b (modificado)

Descreva o domínio de f em palavras.

a)

f x , y , z = 25 - x 2 - y 2 - z 2

b)

f x , y , z = e x y z

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Passo 1

a)

Pra função ser definida, o termo dentro da raiz não pode ser negativo:

25 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25 = 5 2

Portanto, o domínio de f é o interior e a casca de uma esfera de raio 5 centrada na origem.

Passo 2

b)

Questão bem idiota mesmo! A função exponencial admite qualquer termo sem dar problema. Então o domínio dessa função é simplesmente todo o R 3 .

Resposta

a)

O interior e a casca de uma esfera de raio 5 centrada na origem.

b)

Todo o R 3 .

Exercício Resolvido #2

CEFET-RJ, Lista 1 prof. Thomé, exercício 6f

Determine e faça o esboço do domínio da função:

f x , y , z ⁡ = x - 3 y x + 3 y

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Passo 1

Beleza, vamos encontrar o domínio dessa! Lembre, comece sempre procurando quais são as restrições da função. Nesse caso, temos que o denominador da função não pode valer 0 . Assim, tendo a função

f x , y , z ⁡ = x - 3 y x + 3 y

x + 3 y ≠ 0

Passo 2

Pronto! Agora é só passar o 3 y pro outro lado e...

x ≠ - 3 y

Interpretemos isso. Se fosse um sinal de igual, teríamos uma reta, certo? Como é um sinal de diferente, temos tudo menos essa mesma reta! Ou seja, nosso domínio é todo o plano, menos a reta x = - 3 y :

Passo 3

Po, mas você me disse na teoria que o domínio estaria no espaço e não no plano! Calma jovem gafanhoto!

Agora vem o “detalhe” percebeu que o z não aparece na nossa função? Isso significa que para qualquer valor de x e y , teremos todos os valores possíveis para z ! Como encontramos uma reta no passo anterior como sendo a restrição da nossa função, então essa restrição se expande para um plano! Veja, no gráfico da nossa função, que o domínio é todo o R 3 menos o plano x + 3 y = 0

Resposta

O domínio é todo o R 3 , excluindo o plano x + 3 y = 0 , mostrado na figura abaixo

Exercício Resolvido #3

CEFET-RJ, Lista 1 prof. Thomé, exercício 6e

Determine e faça o esboço do domínio da função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

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Passo 1

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o argumento da função logarítmo deve sempre ser maior que 0 .

Assim, não função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

temos que o argumento

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

Passo 2

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

logo,

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Passo 3

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsóide?

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

E encontramos

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Ou seja, nosso a = 2 , b = 2 e c = 4 ! E o sinal de “menor que” tem apenas a função de nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsóide. Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que 1 , o que torna a inequação falsa!

Passo 4

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Temos que anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, anulando a variável x , ou seja, fazendo x = 0 , teremos:

0 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

y 2 4 + z 2 16 < 1

Que representa uma elipse no plano y z , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Passo 5

Agora, fazendo o mesmo para y , tornando-o 0 , temos a curva projetada no plano x z :

x 2 4 + 0 2 4 + z 2 16 < 1

x 2 4 + z 2 16 < 1

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Passo 6

Finalmente, anulando a variável z , encontramos

x 2 4 + y 2 4 + 0 2 16 < 1

x 2 4 + y 2 4 < 1

Que é a equação de uma circunferência no plano x y , pois os denominadores de x e y possuem o mesmo valor!

Passo 7

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsóide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido

Resposta

O domínio é todo o interior do elipsoide x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

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