Superfícies de Nível
Produzido por Bruno NeresTeoria
O que são e como calculá-las
Quando tínhamos uma função com 2 variáveis, as curvas de nível eram uma boa ferramenta pra visualizar o gráfico. Mas e se nós tivermos uma função com 3 variáveis? Nós vamos utilizar as superfícies de nível, que são o equivalente das curvas de nível pra funções de 3 variáveis.
Elas dão uma ideia do comportamento da função, e pra calculá-las também basta igualar a função a uma constante. Assim, a superfície de nível da função é dada por:
Agora vamos ver alguns exemplos!
Se quisermos descrever as superfícies de nível da função
Igualar a uma constante :
Que nada mais é que a equação de uma esfera de raio centrada na origem, quando . Porém se , a superfície de nível é o ponto e se não existem superfícies de nível.
Em alguns casos o problema vai te fornecer um determinado ponto para você achar a curva de nível. Vamos de outro exemplo então!
Calculando a superfície de nível em um ponto
Agora a gente quer a superfície de nível da equação abaixo, em um determinado ponto
Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado:
Beleza, então estamos tratando da superfície de nível 2 da função.
Agora igualamos a expressão da função ao valor achado, 2:
Isso já é a equação da superfície de nível, mas podemos ajeitar um pouco, deixando ela explícita, o que dá:
que é a equação de um paraboloide circular com vértice em . Olha a cara dele aí,
Beleza, agora vamos dar uma treinada nos exercícios, onde vão aparecer outras superfícies de nível mais complicadinhas!