Superfícies de Nível

Teoria Completa

O que são e como calculá-las

Vimos que as curvas de nível são uma boa ferramenta pra visualizar o gráfico de uma função de 2 variáveis. As superfícies de nível são o equivalente das curvas de nível pra funções de 3 variáveis.

Elas dão uma ideia do comportamento da função, e pra calculá-las também basta igualar a função a uma constante. Assim, a superfície de nível k da função f x , y , z é dada por:

f x , y , z = k

Então, se quisermos descrever as superfícies de nível da função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Igualar f a uma constante k :

f x , y , z = k → x 2 + y 2 + z 2 = k = k 2

Que nada mais é que a equação de uma esfera de raio k centrada na origem, quando k > 0 . Porém se k = 0 , a superfície de nível é o ponto 0 , 0,0 e se k < 0 não existem superfícies de nível.

Beleza, agora vamos dar uma treinada nos exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 935 - 55

Seja

f x , y , z = x 2 + y 2 - z

Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto

a) 1 , - 2 ,   0

b) 1 ,   0 ,   3

c) 0 ,   0 ,   0

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Passo 1

a)

Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado:

f 1 , - 2 ,   0 = 1 + 4 - 0 = 5

Beleza, então estamos tratando da superfície de nível 5 da função.

Passo 2

Agora igualamos a expressão da função ao valor achado, 5:

f x , y , z = 5

⇔ x 2 + y 2 - z = 5

Isso já é a equação da superfície de nível, mas podemos ajeitar um pouco, deixando ela explícita, o que dá:

z = x 2 + y 2 - 5 ,

que é a equação de um paraboloide circular com vértice em 0 ,   0 ,   - 5 .

Passo 3

b)

Vamos fazer exatamente a mesma coisa!

Calcular o valor da função no ponto:

f 1 ,   0 ,   3 = 1 + 0 - 3 = - 2

Passo 4

Igualar função ao valor achado:

x 2 + y 2 - z = - 2

⇔ z = x 2 + y 2 + 2 ,

que também é um paraboloide circular.

Passo 5

c)

E agora, pra finalizar, vamos fazer o mesmo procedimento com a origem:

f 0 ,   0 ,   0 = 0

Ela se situa sobre a superfície de nível 0 da f .

Passo 6

Igualamos a função a zero:

x 2 + y 2 - z = 0

⇒ z = x 2 + y 2

Resposta

a) z = x 2 + y 2 - 5

b) z = x 2 + y 2 + 2

c) z = x 2 + y 2

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.78 – 12b

Descreva as superfícies de nível da função abaixo.

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

⇒ ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = k

Tirando a exponencial nos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = e k

x 2 + y 2 + z 2 = e k + 1

Passo 2

Note que, para qualquer valor de k , o lado direito da equação é sempre positivo. Portanto, se substituirmos e k + 1 = r 2 , teremos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

E esta superfície é uma esfera de raio r = e k + 1

Resposta

As superfícies de nível k de f são esferas de raio e k + 1 .

Exercício Resolvido #3

UFF, Lista 1, exercício 39

De acordo com a lei de gravitação universal de Newton, se uma partícula de massa m 0 está na origem 0,0 , 0 de um sistema de coordenadas x y z , então o módulo F da força exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto x , y , z é dada por

F = G . m 0 . m x 2 + y 2 + z 2

Onde G é a constante de gravitação universal. F depende de quantas variáveis? Se m 0 = 1,99.10 30 k g e m = 5,98.10 24   k g , descreva as superfícies de nível da função resultante.

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Passo 1

Temos 4 variáveis, a posição da partícula tem 3 variáveis, x , y e z e a quarta variável é a massa da partícula.

Passo 2

A superfície de nível tem a massa da partícula fixa, então passamos a ter uma superfície com 3 dimensões. Se deixarmos a força F , constante temos essas superfícies de nível.

F = G . m . m 0 x 2 + y 2 + z 2

x 2 + y 2 + z 2 = G . m . m 0 F

Isso é uma esfera de raio

r = G . m . m 0 F

Resposta

Temos 4 variáveis, a posição da partícula tem 3 variáveis, x , y e z e a quarta variável é a massa da partícula.

x 2 + y 2 + z 2 = G . m . m 0 F

Isso é uma esfera de raio

r = G . m . m 0 F

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.75 – exemplo 3.8

Descreva e esboce as superfícies de nível de f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 .

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Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

⇒ x 2 + y 2 - z 2 = k

Note que, para identificar essa superfície, temos que analisar o sinal da constante k para cada caso: k > 0 , k < 0 e k = 0 .

Passo 2

Se k > 0 :

Podemos dividir os dois lados por k :

x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1

Como k > 0 , podemos dizer que k = a 2 , onde a > 0 .

x 2 a 2 + y 2 a 2 - z 2 a 2 = 1

Esta superfície é um hiperboloide de uma folha, com eixo em z .

Passo 3

Se k = 0 :

Substituindo na equação:

x 2 + y 2 - z 2 = k

Temos que

x 2 + y 2 - z 2 = 0

⇒ z 2 = x 2 + y 2

Esta superfície é um cone circular, com eixo em z .

- ''

Passo 4

Se k < 0 :

Podemos dividir os dois lados por k :

x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1

Como k < 0 , podemos dizer que k = - a 2 , onde a > 0 .

- x 2 a 2 - y 2 a 2 + z 2 a 2 = 1

Esta superfície é um hiperboloide de duas folhas, com eixo em z .

Resposta

x 2 + y 2 - z 2 = k

Se k > 0 : hiperboloide de uma folha

Se k = 0 : cone circular

Se k < 0 : hiperboloide de duas folhas

Exercício Resolvido #5

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2000, p.77 -7ii(modificado)

Na figura estão representadas superfícies de nível da função g x , y , z . Escreva uma expressão adequada para g .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De cara essa questão pode parecer meio bizarra, mas vamos destrinchar ela com calma.

Primeiro: essas superfícies são superfícies de nível da função, portanto elas são dadas pela equação geral

g x , y , z = k ,

com k variando de - 1 a 3 , como podemos ver na figura.

Passo 2

Outra coisa: podemos ver que essas superfícies são planos paralelos ao plano y z , portanto planos de equação

x = c o n s t a n t e

Vou chamar essa nova constante de C (nome bem original, eu sei). Se você prestar bem atenção na figura, vai ver que os valores de x estão indicados no eixo. E esses números são justamente os valores de C , variando de 0 a 4 .

Portanto, as 5 superfícies de nível mostradas têm equação dada por:

x = 0

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

Passo 3

Beleza, agora o lance é comparar os C com os k . Por exemplo, no primeiro plano lá atrás, de equação x = 0 , temos k = 3 . Ou seja:

x = 0 ⇔ g x , y , z = 3

Ou seja, já podemos escrever uma expressão não muito profissional pra g :

g x , y , z = a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x + 3

Certo? Já que quando x = 0 , g vale 3.

Passo 4

Vamos ver um dos outros planos pra ter mais informações sobre g . Por exemplo a superfície de nível x = 3 . Ela corresponde ao nível k = 0 .

x = 3 ⇔ g x , y , z = 0

Opa, se g vale zero então

a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x + 3 = 0

a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x = - 3

Hmm, e justamente o x vale 3 . Já dá pra ter um palpite:

g x , y , z = - x + 3

O que você acha? Isso dá certo pro x = 0 que vimos antes.

O jeito é testar pras outras superfícies de nível!

Passo 5

Vamos pegar a superfície

x = 1 ⇔ k = 2

Temos

g x , y , z = 2

Pelo nosso palpite, isso daria

- x + 3 = 2

⇒ x = 1

Os valores estão batendo! E se a gente parar pra olhar as outras superfícies de nível, podemos ver que conforme o x vai crescendo, o k vai diminuindo linearmente, e vice-versa.

Então é isso mesmo, na base do “chute direcionado” achamos uma expressão adequada pra função:

g x , y , z = - x + 3

Resposta

g x , y , z = - x + 3

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