Teoria

O que são e como calculá-las

Quando tínhamos uma função com 2 variáveis, as curvas de nível eram uma boa ferramenta pra visualizar o gráfico. Mas e se nós tivermos uma função com 3 variáveis? Nós vamos utilizar as superfícies de nível, que são o equivalente das curvas de nível pra funções de 3 variáveis.

Elas dão uma ideia do comportamento da função, e pra calculá-las também basta igualar a função a uma constante. Assim, a superfície de nível k da função f x , y , z é dada por:

f x , y , z = k

Agora vamos ver alguns exemplos!

Se quisermos descrever as superfícies de nível da função

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Igualar f a uma constante k :

f x , y , z = k → x 2 + y 2 + z 2 = k = k 2

Que nada mais é que a equação de uma esfera de raio k centrada na origem, quando k > 0 . Porém se k = 0 , a superfície de nível é o ponto 0,0 , 0 e se k < 0 não existem superfícies de nível.

Em alguns casos o problema vai te fornecer um determinado ponto para você achar a curva de nível. Vamos de outro exemplo então!

Calculando a superfície de nível em um ponto

Agora a gente quer a superfície de nível da equação abaixo, em um determinado ponto ( 1 , - 1,0 )

f x , y , z = x 2 + y 2 - z

Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado:

f 1 , - 1 ,   0 = 1 + 1 - 0 = 2

Beleza, então estamos tratando da superfície de nível 2 da função.

Agora igualamos a expressão da função ao valor achado, 2:

f x , y , z = 2

⇔ x 2 + y 2 - z = 2

Isso já é a equação da superfície de nível, mas podemos ajeitar um pouco, deixando ela explícita, o que dá:

z = x 2 + y 2 - 2

que é a equação de um paraboloide circular com vértice em 0 ,   0 ,   - 2 . Olha a cara dele aí,

Beleza, agora vamos dar uma treinada nos exercícios, onde vão aparecer outras superfícies de nível mais complicadinhas!

Calculando a superfície de nível em um ponto

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