Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Introdução

Como o título do capítulo já deu spoiler, agora vamos estudar o que acontece quando misturamos curvas de nível com parametrização de curvas.

Por isso é fundamental você estar manjando bem de parametrizar curvas, pelo menos as mais clássicas (retas, elipses...).

É bom também saber esboçar uma curva se deparando com a parametrização dela ;)

Curva parametrizada contida numa curva de nível

Um tipo de questão recorrente é aquele que te dá uma curva parametrizada do tipo γ t e pede pra você provar que a imagem dela está contida numa curva de nível de certa função f .

Basicamente o que temos que lembrar é que numa curva de nível a função é constante. Ou seja,

f γ t = c o n s t a n t e

E essa constante é justamente o nível da curva de nível.

Na prática, o que temos que fazer é colocar as expressões da parametrização na função e ver se a gente tira um número disso ai! Meio confuso? Vem comigo!

Por exemplo, vamos considerar uma curva γ t e uma função f x , y :

γ t = sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

f x , y = x + 1 2 + y - 2 2

Basta fazer:

f γ t = f sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

O que dá:

sen ⁡ t - 1 + 1 2 + cos ⁡ t + 2 - 2 2 = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Portanto, a curva γ está contida na curva de nível 1 da função f .

E é basicamente isso!

Se você estiver com dúvidas em relação à parametrização e ao esboço de curvas, dá uma olhada no capítulo que trata disso! :)

Agora vamos aos exercícios!

Curva parametrizada contida numa curva de nível

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