Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

Teoria Completa

Introdução

Como o título do capítulo já deu spoiler, agora vamos estudar o que acontece quando misturamos curvas de nível com parametrização de curvas.

Por isso é fundamental você estar manjando bem de parametrizar curvas, pelo menos as mais clássicas (retas, elipses...).

É bom também saber esboçar uma curva se deparando com a parametrização dela ;)

Curva parametrizada contida numa curva de nível

Um tipo de questão recorrente é aquele que te dá uma curva parametrizada do tipo γ t e pede pra você provar que a imagem dela está contida numa curva de nível de certa função f .

Basicamente o que temos que lembrar é que numa curva de nível a função é constante. Ou seja,

f γ t = c o n s t a n t e

E essa constante é justamente o nível da curva de nível.

Na prática, o que temos que fazer é colocar as expressões da parametrização na função e ver se a gente tira um número disso ai! Meio confuso? Vem comigo!

Por exemplo, vamos considerar uma curva γ t e uma função f x , y :

γ t = sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

f x , y = x + 1 2 + y - 2 2

Basta fazer:

f γ t = f sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

O que dá:

sen ⁡ t - 1 + 1 2 + cos ⁡ t + 2 - 2 2 = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Portanto, a curva γ está contida na curva de nível 1 da função f .

E é basicamente isso!

Se você estiver com dúvidas em relação à parametrização e ao esboço de curvas, dá uma olhada no capítulo que trata disso! :)

Agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP, P1 2010, exercício 1a

Sejam γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3 ,   t ∈ 0 , π 2   e f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1 . Esboce a imagem de γ e mostre que ela está contida em uma curva de nível de f , indicando qual é o nível.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos pelo mais simples, mostrar que γ é curva de nível de f x , y , beleza? Se isso for verdade, então para qualquer t , devemos ter que f γ t = c o n s t a n t e .

Partiu substituir γ em f x , y !

f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1

f γ t = 2 - cos ⁡ t - 2 2 sec 2 ⁡ t + 3 - 3 3 2 + 1

f γ t = - cos ⁡ t 2 . sec 2 ⁡ t 3 2 + 1

Como a secante é o inverso do cosseno, então cos ⁡ t . sec ⁡ t = 1 , e

f γ t = 1 + 1 = 2

Ou seja, a curva é de nível 2 ! Show, apenas isso!

Passo 2

Vamos agora esboçar essa curva. Sua equação é:

γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3

No plano O x y , temos, portanto:

x = 2 - cos ⁡ t y = sec 2 ⁡ t + 3

Levando em conta, novamente, que sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t , então sec 2 ⁡ t = 1 cos 2 ⁡ t , e

y = 1 2 - x 2 + 3  

Para esboçar essa curva, agora, devemos perceber algumas características dela, como:

  • Quando x = 2 , o y parte pra infinito, ou seja, temos uma assíntota vertical em x = 2
  • Como 1 x - 2 2   é sempre positivo, então y é sempre positivo
  • Como quando x → ∞ ou x → - ∞ , 1 2 - x 2 tende a 0 , então o menor valor que y assume é 3

Com isso, podemos ter uma ideia da curva, que parte pra infinito nos dois lados da reta x = 2 e decai para 3 quando x vai para mais ou menos infinito:

Resposta

A curva γ t tem nível 2 e seu esboço é:

Exercício Resolvido #2

USP, P1 2014, exercício 1

Considere a função f x , y = 2 y - 3 y 2 - x 2

  1. Represente geometricamente o domínio de f e faça um esboço da curva de nível C que passa pelo ponto ( 0,3 ) .
  2. Encontre um intervalo I e uma função γ : I → R 2 contínua cuja imagem é C .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Vamos então representar o domínio da função! Como deve saber, temos uma listinha de coisas que merecem atenção, e agora podemos ver dois casos, a princípio:

  1. O denominador da fração não pode valer 0
  2. O valor dentro da raiz que tá no denominador tem que ser > 0 (ser menor do que 0 não dá, por que é uma raiz, e 0 , até poderia ser, mas ela está no denominador!)

Passo 2

Juntando o que conseguimos no primeiro passo, teremos então:

y 2 - x 2 > 0

y - x . y + x > 0

Assim devemos ter, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo positivas, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo negativas.

y - x < 0         e         y + x < 0 ⇒ y < x         e         y < - x

Ou

y - x > 0         e         y + x > 0 ⇒ y > x         e         y > - x

Legal! Agora que temos a condição pra nossa função existir, vamos dar uma olhadinha no que isso quer dizer graficamente?

Passo 3

A primeira coisa que eu costumo fazer quando tenho uma desigualdade é trocar ela por um sinal de “igual” e ver do que estamos tratando. Veja, se fosse:

y = ± x

Essas são as duas retas que temos tanto na primeira quanto na segunda região;

Teríamos aquele par de retas que passam bem no meio do primeiro e terceiro quadrantes, e segundo e quarto quadrantes. Olha só, em vermelho a reta y = x e em azul a y = - x :

Agora vamos colocar o sinal de desigualdade!

Veja só, se temos que y < x e y < - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano abaixo de cada uma delas.

Veja só, se temos que y > x e y > - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano acima de cada uma delas.

Portanto, nosso domínio a região acima das retas e abaixo das retas (a parte roxa e a parte branca do gráfico):

Passo 4

Agora, vamos traçar a curva de nível do ponto 0,3 ? É só a gente substituir esse ponto na equação de f , ver qual é o valor do nível, depois analisar a curva sem substituir o ponto, mas substituindo o nível. Veja só:

f 0,3 = 2.3 - 3 3 2 - 0 2 = 1

Passo 5

Agora, colocamos f ( x , y ) como sendo o valor para o nível:

1 = 2 y - 3 y 2 - x 2

y 2 - x 2 = 2 y - 3

Desenvolvendo a equação, vamos elevar os dois lados ao quadrado. Mas aqui temos que observar o seguinte: o valor da raiz continua não podendo ser menor ou igual a 0 !

y 2 - x 2 = 4 y 2 - 12 y + 9

3 y 2 - 12 y + 9 + x 2 = 0

Completando o quadrado para o y , somando 3 de cada lado:

( 3 y 2 - 12 y + 9 + 3 ) + x 2 = 0 + 3

Reescrevendo o termo do quadrado do y :

3 y - 2 3 2 + x 2 = 3  

Veja que estamos cada vez mais próximos da equação de uma elipse! Vamos continuar... temos que passar o coeficiente do y pro denominador. Vai fica:

y - 2 1 3 2 + x 2 = 3  

E podemos tirar esse denominador do parêntesis elevando-o ao quadrado:

y - 2 2 1 3 + x 2 = 3  

E agora dividimos tudo por 3 , ficando:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ufa! Demorou mas saiu! Temos, enfim, a equação da curva de nível, que é uma elipse! Se não tiver muito bem lembrado, só comparar com a equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 6

Agora é só esboçar a curva! Como podemos ver:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ela está centrada em 0,2 , pois x 0 = 0   e y 0 = 2 .

Mas, lembrando que o nosso domínio é limitado pelas pelos semiplanos y > ± x , temos que verificar de que forma isso afeta no desenho da elipse! Então, vamos arbitrariamente substituir na equação dela, x = ± y (estamos fazendo assim pra evitar excesso de conta, já que só temos um x , que está ao quadrado)

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Com x = ± y (tanto faz, mais ou menos, está ao quadrado!), teremos:

y - 2 2 + y 2 3 = 1  

4 y 2 - 12 y + 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau,

y = 12 ± 12 2 - 4.4 . 9 2.4

y = 12 ± 0 8

y = 3 2

E o que esse valor significa? Ora, acabamos de encontrar o valor para a interseção entre a nossa elipse e as retas x = ± y , ou se preferir, y = ± x . Como temos que a função existe apenas para valores acima dessas retas, nossa elipse só existe para valores acima de y = 3 2 !

Passo 7

Agora estamos aptos a desenhar essa elipse! Já sabemos que ela não existe para valores menores que 3 2 . Então, vamos olhar para os denominadores de x 2 e y 2 . Como o denominador de x é 3 , então a medida do eixo maior é 3 . Como o denominador de y é 1 , então a medida do deixo menor é 1 ! E como ela está centrada em 0,2 , todos os pontos foram deslocados em 2 no sentido positivo do eixo y , logo, seu máximo que era em y = 1 , agora é em 3 .

E, enfim, aqui vai o desenho da elipse:

Veja que quando y está prestes a atingir o valor de 3 2 , a elipse já não existe mais.

Passo 8

b)

Esse enunciado é meio doido né? Deixa eu te explicar o que ele quer! Esse negócio de γ : I → R 2 significa que queremos uma função em que damos um valor do intervalo I e recuperamos uma dupla de valores no plano.

Que tipo de função faz isso? Pega um valor e leva em dois valores do plano? A parametrização de uma curva faz isso!

Então na verdade ele quer a parametrização daquela elipse do passo anterior, essa será γ e o intervalo I são os valores que t pode assumir!

Vamos agora determinar uma parametrização para essa elipse?

Bom, na verdade não tem nada demais. É basicamente parametrizar uma elipse como outra qualquer e depois restringir o domínio do parâmetro!

Veja, se para uma elipse genérica   x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 teríamos a parametrização:

{ y t   =   y 0 + b   s i n   t   x t   =   x 0 + a   c o s   t    

Então para a nossa elipse y - 2 2 + x 2 3 = 1   teremos:

{ y t   =   2 + s i n   t x t   =   3   c o s   t      

E, como y > 3 2 , então,

2 + s i n   t   > 3 2

s i n   t   > - 1 2

t ∈ ] - π 6 , 7 π 6 [

Assim, nossa parametrização fica sendo:

γ t = ( 3   c o s   t ,   2 + s i n   t ) ,       t ∈ ] - π 6 , 7 π 6 [  

Resposta

  1. O domínio é a parte roxa e branca.

    Essa é a representação geométrica de C

  2. γ t = ( 3   c o s   t ,   2 +   s i n   t ) ,       t ∈ ] - π 6 , 7 π 6 [  

Exercício Resolvido #3

USP, P1 2014 A, exercício 2

Considere a curva γ t = ( cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t ) com t ∈ 0 , π 2

  1. Mostre que a imagem de γ está contida numa curva de nível da função f x , y = y - 1 x 2 + 2 e determine o nível.
  2. Esboce a imagem de γ indicando o sentido do seu percurso.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Pra gente confirmar que a curva γ está contida numa curva de nível de f , temos que fazer a substituição das coordenadas x e y da curva γ na função f ( x , y ) . Temos que:
  2. x = cos ⁡ t y = tan 2 ⁡ t

    Passo 2

    Colocando esses x e y na função, fica assim:

    f x , y = y - 1 x 2 + 2

    f cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t = tan 2 ⁡ t - 1 cos 2 ⁡ t + 2

    f cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t = tan 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t + 2

    Como tan 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t = - 1 ...

    f cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t = - 1 + 2 = 1

    Beleza!! Conseguimos descobrir que o nível é 1 !!

    Isso prova que a imagem da curva γ está de fato contida na função f x , y , sendo parte da sua curva de nível 1 .

    Passo 3

  3. Vamos esboçar γ ( t ) ? Bom, é uma ótima ideia se a gente começar esboçando a própria curva de nível 1 (gastaremos menos neurônios fazendo assim)

Como o nível da curva é 1 , basta colocar esse valor para o f x , y , que fica:

1 = y - 1 x 2 + 2

y = 1 x 2 - 1

Passo 2

Perfeito, agora que temos a curva, é só esboçá-la :) Não que isso seja sempre fácil, mas convenhamos, todos sabemos que y = 1 x é a hipérbole:

Tudo o que você tem que pensar agora é: Estamos elevando esse x ao quadrado, então a curva nunca terá valores negativos! Aí pegamos essa parte da esquerda e refletimos ela pra cima, pegou a ideia? Assim, o gráfico de y = 1 x 2 é:

Passo 3

Agora você me pergunta, mas e o - 1 ?? Não era y = 1 x 2 - 1 ?

Calma! Tudo o que temos que fazer é transladar (nome bonito para pegar de um canto e botar no outro) cada ponto da curva uma unidade para baixo (no sentido negativo do eixo y ). É como fingir que o eixo x caiu pra posição y = - 1 :

Passo 4

Perfeito! Agora é só analisar qual é o intervalo que a nossa curva γ ( t ) = ( cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t ) aparece.

Sabemos que t ∈ 0 , π 2 . Quando t varia entre 0 e π 2 , o cos ⁡ t   varia entre cos ⁡ 0 e cos ⁡ π 2 , isso vai fazer o valor de x ir de 1 à 0 , isso vai nos dizer o sentido dessa curva, temos que pegar a parte onde x varia entre 0 e 1 e colocar ele indo do x = 1 até o x = 0 .

E fazendo o mesmo para tan 2 ⁡ t , vemos que ela varia entre 0 e + ∞ .

Assim, pegamos a seção correspondente na curva y = 1 x 2 - 1 , com o x = cos ⁡ t entre 0 e 1 , e o y = tan 2 ⁡ t entre 0 e + ∞

Resposta

a) O nível é 1. f cos ⁡ t , tan 2 ⁡ t = - 1 + 2 = 1

b)

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.78 - 9

Seja

z = f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

a) Determine o domínio da função f e esboce seu gráfico.

b) Encontre a curva de nível C da função f que contém o ponto P = 6 2 , 3 2 2 .

c) Dê uma parametrização para a curva C do item b ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

A função é definida por uma raiz quadrada, ou seja: o termo dentro dela não pode ser negativo! Assim, a f é definida na região

24 - 6 x 2 - 2 y 2 3 ≥ 0

⇒ 24 - 6 x 2 - 2 y 2 ≥ 0

⇒ 6 x 2 + 2 y 2 ≤ 24

Dividindo tudo por 24:

x 2 4 + y 2 12 ≤ 1

⇔ x 2 2 2 + y 2 12 2 ≤ 1

Passo 2

Portanto, o domínio da função é o interior da elipse dada pela equação

x 2 2 2 + y 2 12 2 = 1

É uma elipse centrada na origem e cujos semieixos valem 2 no eixo x , e 12 no eixo y .

Saca só a cara dela:

Passo 3

Tranquilo, achamos o domínio, mas agora precisamos esboçar o gráfico.

z = f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

Vamos elevar isso ao quadrado (mas não podemos esquecer depois que z ≥ 0 ):

z 2 = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

⇒ 3 z 2 = 24 - 6 x 2 - 2 y 2

⇒ 6 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 24

Isso tá com uma cara de elipsoide, de equação característica

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 4

Então vamos dividir tudo por 24, o que dá:

x 2 4 + y 2 12 + z 2 8 = 1

Realmente, isso é a equação de um elipsoide, com a = 2 ,   b = 12 e c = 8 .

Passo 5

Isso significa que se cortarmos o gráfico da função com planos paralelos aos planos coordenados vamos obter elipses.

No plano y z temos

x = 0 ⇒ y 2 12 + z 2 8 = 1 ,

que é a seguinte elipse:

Passo 6

No plano x z temos

y = 0 ⇒ x 2 4 + z 2 8 = 1 ,

que é a elipse:

Passo 7

Por fim, a interseção do gráfico com o plano x y é a elipse

x 2 4 + y 2 12 = 1

Passo 8

Portanto, o gráfico que precisamos esboçar é a metade de um elipsoide (lembra que z ≥ 0 ?) cujas interseções com os planos coordenados são essas elipses que a gente viu aí em cima.

Aqui está nosso gráfico!

Passo 9

b)

Primeiro vamos determinar qual é o nível da curva de nível a qual o ponto P = 6 2 , 3 2 2   pertence. Pra isso, vamos calcular o valor de f em P :

f P = 24 - 6 6 4 - 2 9 2 4 3