Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

Teoria Completa

Introdução

Como o título do capítulo já deu spoiler, agora vamos estudar o que acontece quando misturamos curvas de nível com parametrização de curvas.

Por isso é fundamental você estar manjando bem de parametrizar curvas, pelo menos as mais clássicas (retas, elipses...).

É bom também saber esboçar uma curva se deparando com a parametrização dela ;)

Curva parametrizada contida numa curva de nível

Um tipo de questão recorrente é aquele que te dá uma curva parametrizada do tipo γ t e pede pra você provar que a imagem dela está contida numa curva de nível de certa função f .

Basicamente o que temos que lembrar é que numa curva de nível a função é constante. Ou seja,

f γ t = c o n s t a n t e

E essa constante é justamente o nível da curva de nível.

Na prática, o que temos que fazer é colocar as expressões da parametrização na função e ver se a gente tira um número disso ai! Meio confuso? Vem comigo!

Por exemplo, vamos considerar uma curva γ t e uma função f x , y :

γ t = sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

f x , y = x + 1 2 + y - 2 2

Basta fazer:

f γ t = f sen ⁡ t - 1 , cos ⁡ t + 2

O que dá:

sen ⁡ t - 1 + 1 2 + cos ⁡ t + 2 - 2 2 = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Portanto, a curva γ está contida na curva de nível 1 da função f .

E é basicamente isso!

Se você estiver com dúvidas em relação à parametrização e ao esboço de curvas, dá uma olhada no capítulo que trata disso! :)

Agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP, P1 2010, exercício 1a

Sejam γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3 ,   t ∈ 0 , π 2   e f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1 . Esboce a imagem de γ e mostre que ela está contida em uma curva de nível de f , indicando qual é o nível.

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Passo 1

Vamos pelo mais simples, mostrar que γ é curva de nível de f x , y , beleza? Se isso for verdade, então para qualquer t , devemos ter que f γ t = c o n s t a n t e .

Partiu substituir γ em f x , y !

f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1

f γ t = 2 - cos ⁡ t - 2 2 sec 2 ⁡ t + 3 - 3 3 2 + 1

f γ t = - cos ⁡ t 2 . sec 2 ⁡ t 3 2 + 1

Como a secante é o inverso do cosseno, então cos ⁡ t . sec ⁡ t = 1 , e

f γ t = 1 + 1 = 2

Ou seja, a curva é de nível 2 ! Show, apenas isso!

Passo 2

Vamos agora esboçar essa curva. Sua equação é:

γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3

No plano O x y , temos, portanto:

x = 2 - cos ⁡ t y = sec 2 ⁡ t + 3

Levando em conta, novamente, que sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t , então sec 2 ⁡ t = 1 cos 2 ⁡ t , e

y = 1 2 - x 2 + 3  

Para esboçar essa curva, agora, devemos perceber algumas características dela, como:

  • Quando x = 2 , o y parte pra infinito, ou seja, temos uma assíntota vertical em x = 2
  • Como 1 x - 2 2   é sempre positivo, então y é sempre positivo
  • Como quando x → ∞ ou x → - ∞ , 1 2 - x 2 tende a 0 , então o menor valor que y assume é 3

Com isso, podemos ter uma ideia da curva, que parte pra infinito nos dois lados da reta x = 2 e decai para 3 quando x vai para mais ou menos infinito:

Resposta

A curva γ t tem nível 2 e seu esboço é:

Exercício Resolvido #2

USP, P1 2014, exercício 1

Considere a função f x , y = 2 y - 3 y 2 - x 2

  1. Represente geometricamente o domínio de f e faça um esboço da curva de nível C que passa pelo ponto ( 0,3 ) .
  2. Encontre um intervalo I e uma função γ : I → R 2 contínua cuja imagem é C .
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Passo 1

a)

Vamos então representar o domínio da função! Como deve saber, temos uma listinha de coisas que merecem atenção, e agora podemos ver dois casos, a princípio:

  1. O denominador da fração não pode valer 0
  2. O valor dentro da raiz que tá no denominador tem que ser > 0 (ser menor do que 0 não dá, por que é uma raiz, e 0 , até poderia ser, mas ela está no denominador!)

Passo 2

Juntando o que conseguimos no primeiro passo, teremos então:

y 2 - x 2 > 0

y - x . y + x > 0

Assim devemos ter, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo positivas, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo negativas.

y - x < 0         e         y + x < 0 ⇒ y < x         e         y < - x

Ou

y - x > 0         e         y + x > 0 ⇒ y > x         e         y > - x

Legal! Agora que temos a condição pra nossa função existir, vamos dar uma olhadinha no que isso quer dizer graficamente?

Passo 3

A primeira coisa que eu costumo fazer quando tenho uma desigualdade é trocar ela por um sinal de “igual” e ver do que estamos tratando. Veja, se fosse:

y = ± x

Essas são as duas retas que temos tanto na primeira quanto na segunda região;

Teríamos aquele par de retas que passam bem no meio do primeiro e terceiro quadrantes, e segundo e quarto quadrantes. Olha só, em vermelho a reta y = x e em azul a y = - x :

Agora vamos colocar o sinal de desigualdade!

Veja só, se temos que y < x e y < - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano abaixo de cada uma delas.

Veja só, se temos que y > x e y > - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano acima de cada uma delas.

Portanto, nosso domínio a região acima das retas e abaixo das retas (a parte roxa e a parte branca do gráfico):

Passo 4

Agora, vamos traçar a curva de nível do ponto 0,3 ? É só a gente substituir esse ponto na equação de f , ver qual é o valor do nível, depois analisar a curva sem substituir o ponto, mas substituindo o nível. Veja só:

f 0,3 = 2.3 - 3 3 2 - 0 2 = 1

Passo 5

Agora, colocamos f ( x , y ) como sendo o valor para o nível:

1 = 2 y - 3 y 2 - x 2

y 2 - x 2 = 2 y - 3

Desenvolvendo a equação, vamos elevar os dois lados ao quadrado. Mas aqui temos que observar o seguinte: o valor da raiz continua não podendo ser menor ou igual a 0 !

y 2 - x 2 = 4 y 2 - 12 y + 9

3 y 2 - 12 y + 9 + x 2 = 0

Completando o quadrado para o y , somando 3 de cada lado:

( 3 y 2 - 12 y + 9 + 3 ) + x 2 = 0 + 3

Reescrevendo o termo do quadrado do y :

3 y - 2 3 2 + x 2 = 3  

Veja que estamos cada vez mais próximos da equação de uma elipse! Vamos continuar... temos que passar o coeficiente do y pro denominador. Vai fica:

y - 2 1 3 2 + x 2 = 3  

E podemos tirar esse denominador do parêntesis elevando-o ao quadrado:

y - 2 2 1 3 + x 2 = 3  

E agora dividimos tudo por 3 , ficando:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ufa! Demorou mas saiu! Temos, enfim, a equação da curva de nível, que é uma elipse! Se não tiver muito bem lembrado, só comparar com a equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 6

Agora é só esboçar a curva! Como podemos ver:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ela está centrada em 0,2 , pois x 0 = 0   e y 0 = 2 .

Mas, lembrando que o nosso domínio é limitado pelas pelos semiplanos y > ± x , temos que verificar de que forma isso afeta no desenho da elipse! Então, vamos arbitrariamente substituir na equação dela, x = ± y (estamos fazendo assim pra evitar excesso de conta, já que só temos um x , que está ao quadrado)

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Com x = ± y (tanto faz, mais ou menos, está ao quadrado!), teremos:

y - 2 2 + y 2 3 = 1  

4 y 2 - 12 y + 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau,

y = 12 ± 12 2 - 4.4 . 9 2.4

y = 12 ± 0 8

y = 3 2

E o que esse valor significa? Ora, acabamos de encontrar o valor para a interseção entre a nossa elipse e as retas x = ± y , ou se preferir, y = ± x . Como temos que a função existe apenas para valores acima dessas retas, nossa elipse só existe para valores acima de y = 3 2 !

Passo 7

Agora estamos aptos a desenhar essa elipse! Já sabemos que ela não existe para valores menores que 3 2 . Então, vamos olhar para os denominadores de x 2 e y 2 . Como o denominador de x