Plano Tangente

Teoria Completa

Plano Tangente

Para funções de uma variável, vimos que, se temos uma curva e derivamos essa curva num determinado ponto, podemos encontrar a reta tangente a essa curva nesse ponto.

Essa reta é aproximadamente igual ao gráfico da função nas proximidades desse ponto. Isso quer dizer que, a medida que vamos dando um zoom no gráfico da função próximo ao ponto de tangencia, a gente não consegue distinguir o que é o gráfico da função e o que é a reta tangente, porque eles são muuuuuuuuuito parecidos.

Agora, em funções de duas variáveis, o raciocínio é totalmente análogo! Basicamente vamos aumentar uma dimensão nas coisas que estamos trabalhando: a curva vai ser uma superfície e a reta tangente será um plano tangente.

Assim, o plano tangente se confunde com o gráfico da função ali pertinho do ponto de tangencia. Igualzinho tínhamos para a reta tangente. Dá uma olhada:

Boa! Agora que a gente já entendeu o que é um plano tangente, vamos aprender a calcular.

Como calcular?

Para calcularmos a equação do plano tangente a uma superfície, precisamos de duas coisas:

  1. um ponto do plano: P 0 = x 0 , y 0 , z 0
  2. um vetor normal ao plano: n →

Equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Mas quem será que vai ser esse vetor normal?

Se ali pertinho do ponto de tangencia o plano e o gráfico da função são praticamente a mesma coisa e sabemos que o vetor gradiente é perpendicular ao gráfico da função, então, é de se esperar que o vetor gradiente também seja perpendicular ao plano tangente!

Então, o vetor normal ao plano tangente será o vetor gradiente!

Desse modo, por exemplo, para calcular o plano tangente ao gráfico da função f x , y = 1 - x 2 - 2 y ² no ponto P 0 = ( 1,1 , - 2 ) , vamos seguir o passo a passo:

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0
  7. Substituir na equação do plano: x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Assim, substituindo f ( x , y ) por z na equação da superfície, jogando tudo para o lado esquerdo e chamando isso de F ( x , y , z ) , ficamos com:

F x , y , z = x 2 + 2 y 2 + z - 1

Calculando o gradiente de F e substituindo no ponto de tangencia dado P 0 = ( 1,1 , - 2 ) , temos

  ∇ F x , y , z = 2 x , 4 y , 1

⇒ ∇ F 1,1 , - 2 = 2,4 , 1

O vetor normal será n → = ∇ F P 0

n → = 2,4 , 1

Agora só nos resta substituir n → e P 0 na equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

⇒ x - 1 , y - 1 , z - ( - 2 ) ⋅ 2,4 , 1 ⏞ Produto Escalar = 0

⇒ 2 x - 2 + 4 y - 4 + z + 2 = 0

⇒ 2 x + 4 y + z = 4

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Exercício Resolvido #1

CEFET, Cálculo 2, Listas, Lista 1, Professor Roberto Thomé, questão 14, item c.

Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado:

z = 9 - 5 x 2 - 3 y 2

P = ( 1 , - 1 )

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Passo 1

Simples, apenas seguir o nosso passo-a-passo, lembra dele?

  1. Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície
  2. Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
  3. Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação
  4. Calcular gradiente de F : ∇ F x , y , z
  5. Calcular gradiente de F no ponto P 0 : ∇ F P 0 = ∇ F x 0 , y 0 , z 0
  6. O vetor normal será n → = ∇ F P 0

Passo 2

Já temos f x , y = z , então podemos jogar todas as variáveis para o lado esquerdo:

z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 = 0

Passo 3

Vamos encontrar logo qual é a coordenada z do ponto dado no enunciado? É só a gente substituí-lo na expressão aqui de cima:

z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 = 0

No ponto P = ( 1 , - 1 , z 0 ) :

z 0 - 9 - 5 . 1 2 - 3 . - 1 2 = 0

z 0 - 1 = 0

z 0 = 1

Passo 4

Ok, agora temos que

F x , y , z = z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2

Passo 5

Estamos prontos para calcular o vetor gradiente! Lembra da expressão dele?

∇ F x , y , z = F x , F y , F z

Como F x , y , z = z - 9 - 5 x 2 - 3 y 2 ,

F x x , y , z = 5 x 9 - 5 x 2 - 3 y 2

F y x , y , z = 3 y 9 - 5 x 2 - 3 y 2

F z x , y , z = 1

Assim, nosso vetor gradiente, no ponto dado, P = 1 , - 1 , 1 , fica:

∇ F x 0 , y 0 , z 0 = 5 x 0 9 - 5 x 0 2 - 3 y 0 2 , 3 y 0 9 - 5 x 0 2 - 3 y 0 2 , 1

∇ F 1 , - 1,1 = 5.1 9 - 5.1 2 - 3 . - 1 2 , 3 . - 1 9 - 5.1 2 - 3 . - 1 2 , 1

∇ F 1 , - 1,1 = 5 , - 3,1

Passo 6

Agora que temos o gradiente, temos o vetor normal ao plano tangente! Portanto, basta jogarmos na equação do plano e ele aparecerá! Lembra da equação do plano?

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Colocando P = ( 1 , - 1,1 ) e n → = ∇ F 1 , - 1,1 = 5 , - 3,1 teremos nosso plano:

x , y , z ⋅ 5 , - 3,1 = ( 1 , - 1,1 )   ⋅ 5 , - 3,1

5 x - 3 y + z = 5 + 3 + 1

5 x - 3 y + z - 9 = 0

Resposta

Plano: 5 x - 3 y + z - 9 = 0

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1, item a

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos x , y , z do gráfico de f onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana z = c ( c constante)

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Passo 1

Para acharmos o plano tangente precisamos primeiro achar o vetor normal da função, e antes de qualquer coisa precisamos achar a função F x , y , z substituindo f x , y = z

f x , y = z = x 2 - 1 y 2 - 1

z - x 2 - 1 y 2 - 1 = 0

F x , y , z = z - x 2 - 1 y 2 - 1

Agora vamos achar seu gradiente

∇ F = F x , F y , F z

F x = - y 2 - 1 2 x = - 2 x y 2 - 1

F y = - x 2 - 1 2 y = - 2 y x 2 - 1

F z = 1