Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

Teoria Completa

Derivadas de funções definidas por integral

Lembra do Teorema Fundamental do Cálculo – parte 1? Aquela que a gente aprende láaaa em cálculo de uma variável, mas usa tão pouco que esquece? Então, essa mesma!

Hahah, relaxa que eu vou te lembrar.

O Teorema Fundamental do Cálculo – parte 1 diz que:

Se f t é uma função contínua em [ a , b ] e

g x = ∫ a x f ( t ) d t → g ' x = f ( x )              

Ou seja, para derivar a função g ( x ) , basta substituir a variável t que é a variável independente da função f t por x .

Mas, pode ser que o limite superior da integral seja uma função de x , e não apenas x .

h x = ∫ a u ( x ) f ( t ) d t

Nesse caso, basta substituir u ( x ) por uma variável diferente u e usar a regra da cadeia e o teorema fica assim:

g x = ∫ a u f ( t ) d t   ,     u = u x

Então

g ' x = f u x   u ' ( x )

Entendeu? A derivada da função “de fora” (que é fazer a derivada normal, como se u não fosse uma função) no ponto da função de dentro, vezes a derivada da função de dentro (pela regra da cadeia).

Por exemplo:

g x = ∫ a 2 x ² t ² d t = ∫ a u t ² d t ,     u = 2 x ²

g ' x = f ( u ) . u ' x = 2 x 2 2 . 4 x = 16 x 5

Beleza, lembrou disso então?

Agora vamos ao que interessa!

Se temos uma função

g x , y = ∫ 0 2 x 2 + y t ² d t

E quisermos calcular as derivadas parciais dela, já que é uma função de duas variáveis, temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo, com regra da cadeia, que eu falei ali em cima.

Atenção que pra usar o TFC, a integral tem que ir de uma constante até a variável!

Temos:

u = 2 x 2 + y

f t = t ²

Então fica assim:

∂ g ∂ x = f u . ∂ u ∂ x

∂ g ∂ x = 2 x 2 + y 2 . 4 x

Sacou?

Reta tangente

Lembra da reta tangente?

O que precisamos para calcular uma reta tangente?

Precisamos de:

  1. um ponto P 0
  2. um vetor n → na direção da reta

Para podermos substituir na equação da reta:

r t = P 0 + n → t

Beleza, agora vamos ver como a gente encontra esse vetor n → .

O objetivo aqui é calcular a reta tangente a uma curva que está contida no gráfico de uma função.

Oi? Mas como assim?

É simples. Teremos uma curva

γ t = t , t 2 , z t

Que pertence ao gráfico de uma função

z = f ( x , y )

Isso quer dizer que

f t , t 2 = z ( t )

Viu o que fizemos? A curva γ t pega sempre o valor de um t , e, com ele, forma um ponto de 3 coordenadas. Já a superfície f x , y , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de γ t ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada z do ponto.

O vetor n → será um vetor tangente a essa curva no ponto de tangencia. Para descobrí-lo, basta derivar a curva:

n → = γ ' t 0 = 1,2 t 0 , d z d t t 0

Para calcular d z d t ( t ) vamos ter que usar a regra da cadeia:

d z d t = ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Além disso, o ponto P 0 será o ponto de tangencia, que pertence a curva e a reta:

P 0 = γ ( t 0 )

Então vamos determinar a reta tangente no ponto ( 2 , 4 , 1 ) a nossa curva

γ t = t , t 2 , z t

Que está contida no gráfico da função

z = f ( x , y )

Sabendo que

f x 2,4 = 2 ,     f y 2,4 = 5

Vamos lá, primeiro vamos descobrir quem é o t 0 correspondente ao ponto P 0 = ( 2 ,   4 ,   1 ) :

x t = t → x t 0 = t 0 = 2

y t = t 2 → y t o = t 0 2 = 4

OBS: Repare também que z t 0 = 1 poderia ser dado no problema assim:

z t 0 = f 2 ,   4 = 1

Bem, sem mais delongas concluímos que t 0 = 2 é a única solução.

Ok, agora vamos calcular o vetor normal.

Nosso vetor n → será

n → = γ ' t 0 = 1,2 t 0 , d z d t t 0

Vamos determinar d z d t num ponto t qualquer, depois a gente substitui pelo t 0

d z d t = ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Precisamos do gradiente de z , que é a mesma coisa que o gradiente de f no ponto de tangencia. Isso já foi dado pra gente (eba!):

∇ z 2,4 = ∇ f 2,4 = f x 2,4 , f y 2,4 = ( 2,5 )

Beleza, agora vamos calcular o que falta:

x t = t → d x d t = 1

E

y t = t 2 → d y d t = 2 t

Substituindo em t 0 = 2 , teremos:

d x d t 2 = 1 ,     d y d t ( 2 ) = 4

Show, vamos substituir no nosso vetor n → e depois na equação da reta.

n → = 1,2 t 0 , d z d t t 0 = 1,2 ( 2 ) , ∂ z ∂ x 2,4 ⋅ d x d t 2 + ∂ z ∂ y 2,4 ⋅ d y d t 2 = 1,4 , 2.1 + 5.4

n → = ( 1,4 , 22 )

Equação da reta

r t = P 0 + n → t

r t = ( 2,4 ,   1 ) + ( 1,4 , 22 ) . t

Essa é a nossa reta tangente

É só isso!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 188, exercício 4

Seja f : R → R contínua com f 3 = 4 . Seja

g x , y , z = ∫ 0 x 2 + y 2 + z ² f t   d t

Calcule

  1. ∂ g ∂ x ( 1,1 , 1 )
  2. ∂ g ∂ y 1,1 , 1
  3. ∂ g ∂ z 1,1 , 1
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Vamos começar fazendo a derivada em relação a x .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ x = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 x

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Passo 2

b )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ y = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 y

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8

Passo 3

c )

Vamos agora para a derivada em relação a y .

Usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2

∂ g ∂ z = f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ∙ 2 z

No ponto ( 1,1 , 1 ) :

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = f 1 2 + 1 2 + 1 2 ∙ 2 1 = f 3 . 2 = 4.2 = 8