Vetor Normal

Teoria Completa

O que é?

Lembra que o vetor tangente é aquele que toca a curva em um determinado. A direção desse vetor indica o movimento desse vetor. Mas neste tópico a gente quer achar o vetor que é perpendicular ao vetor tangente, em outras palavras a gente quer achar o vetor normal.

E como a gente faz isso?

Primeiro, vamos visualizar esse vetor em uma curva qualquer,

O vetor tangente está em vermelho e o vetor normal está em azul, perpendicular ao movimento. É valido ressaltar aqui que existem diversos vetores normais a trajetória de uma partícula, mas estudaremos aqui apenas aquele que aponta para o centro de curva.

Agora que a gente já visualizou, vamos calcular!

Como calcular?

Tá, agora como você faz pra encontrar esse vetor normal? A gente vai precisar de três passos:

  1. Achar o vetor tangente unitário;
  2. Achar a derivada do vetor tangente unitário;
  3. Com essas informações, calcularemos o vetor normal, por

N → = T → ' t T → ' t

Agora vamos para um exemplo para ver se entendemos o passo a passo!

Vamos encontrar o vetor normal a curva parametrizada por

σ t = cos ⁡ 2 t , s e n   2 t

Passo 1: A primeira coisa que temos que fazer é encontrar o vetor tangente, e a gente faz isso derivando σ t :

v t g → = σ ' t = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t

Para saber o vetor tangente unitário, nós temos que dividir pelo módulo. Então vamos calcular o módulo

v t g → = - 2 s e n   2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 = 4 ( s e n 2 2 t + c o s 2 2 t ) = 4 = 2

Pronto, agora é só dividir,

T → ( t ) = v t g → v t g → = - 2 s e n   2 t , 2 cos ⁡ 2 t 2 = - s e n   2 t , cos ⁡ 2 t

Passo 2: Agora vamos derivar esse vetor tangente unitário e achar o seu módulo:

T → ' t = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t )

T → ' t = - 2 cos ⁡ 2 t 2 + - 2 s e n   2 t 2 = 4 c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 4 = 2

Passo 3: Agora é só alegria! Vamos substituir na fórmula e achar nosso vetor normal

N → = T → ' t T → ' t

N → = ( - 2 cos ⁡ 2 t ,   - 2 s e n   2 t ) 2 = ( - c o s   2 t , - sen ⁡ 2 t )

Só mais um coisinha, se você tiver se perguntando por que estamos aprendendo isso: mais à frente vamos calcular integrais de superfície em um campo vetorial, aí vamos precisar encontrar uma expressão para os vetores normais unitários em uma dada superfície.

Agora é hora de praticar fazendo alguns exercícios!

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