1.

Mostre que a equação

x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z

Define implicitamente uma função z = f ( x , y ) de classe C ¹ cujo gráfico está na vizinhança do ponto ( 1,1 , 1 ) .

Expresse ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Resolução
2.

Considere as equações

x u + y v + z w = 1

x + y + z + u + v + w = 0

x y + z u v + w = 0

Suponha que x , y , z são funções diferenciáveis de u , v e w que estão implícitas nas equações acima. Determine ∂ x ∂ w , ∂ y ∂ w e ∂ z ∂ w derivando implicitamente as equações acima com respeito a w .

Resolução
3.

Verifique as hipóteses do teorema da função implícita no ponto P 0 = ( 1,1 ) e calcule y ' ( 1 ) e y ' ' ( 1 ) para

ln ⁡ x y - 2 x y + 2 = 0

Resolução
4.

É possível “resolver” o sistema de equações

x y 2 + x y u + y v 2 = 3

u 3 y z + 2 x v - u 2 v 2 = 2

Para u ( x , y , z ) e v ( x , y , z ) próximo de x , y , z , u , v = ( 1,1 , 1,1 , 1 ) ?

Calcule ∂ v ∂ y em x , y , z = ( 1,1 , 1 ) .

Resolução
5.

Encontre os pontos da lemniscata de equação

x 2 + y 2 2 - 2 a 2 x 2 - y 2 = 0

Em que as retas tangentes são horizontais.

Resolução
9.

Considere

y x - 2 3 + x e y - 1 = 0

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função y = f ( x ) , com x numa vizinhança de x 0 e y numa vizinhança de y 0 , quando x 0 , y 0 = ( 0,0 ) ?

Resolução
10.

Considere

y x - 2 3 + x e y - 1 = 0

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função y = f ( x ) , com x numa vizinhança de x 0 e y numa vizinhança de y 0 , quando x 0 , y 0 = ( 2,1 ) ?

Resolução
11.

Seja F : R 2 → R definida por z = F x , y = y - x 4

  1. Faça um esboço das curvas de nível de F associadas aos níveis z = 0 , z = 1 e z = 16 .
  2. Faça um esboço do gráfico de F .
  3. Mostre que P = ( 0,0 ) pertence a curva de nível
  4. F 0 = { x , y ∈ R 2   ; F x , y = 0 }

    De F associada ao nível z = 0 .

  5. Mostre que F x 0,0 = 0 e F y 0,0 = 0
  6. Mostre que a curva de nível F 0 pode ser representada como o gráfico de uma função y = f ( x ) com x ∈ R .
  7. Este exercício constitui um contraexemplo para o teorema da função implícita para R 2 ? Justifique cuidadosamente sua resposta.
Resolução
16.

11. A função z = z x , y , de classe C 1 , é dada pela equação f x y , z x λ = 0 ( λ ≠ 0 é um real fixo), onde f u , v é da classe C 1 e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Resolução
19.

Suponha que y = y u , v , w , x e z = z u , v , w , x estão definidas implicitamente pelo sistema

u v - x y = z x 2 + y 2 = w

Encontre todas as derivadas parciais de y e z em termos de u , v , w , x e y .

Resolução
20.

Se x = x u , v e y = y u , v são dadas implicitamente pelo sistema

u = x + y v = y x ,     x ≠ 0

Mostre que

1 + y x ∂ x ∂ u = 1

Resolução
21.

As equações

x 2 - y cos ⁡ u v + z 2 = 0 x 2 - y 2 - sen ⁡ u v + 2 z 2 = 0 x y - sen ⁡ u cos ⁡ v + z = 0

Definem x , y e z como funções de u e v próximo ao ponto x = y = 1 , u = π 2 , v = z = 0 ? Calcule as derivadas parciais ∂ x ∂ u e ∂ z ∂ u em π 2 , 0

Resolução
22.

Considere

y x - 2 3 + x e y - 1 = 0

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função y = f ( x ) , com x numa vizinhança de x 0 e y numa vizinhança de y 0 , quando x 0 , y 0 = ( 1,1 )