Parametrização de Curvas

Resumo Completo

Introdução

Fala aí galera, estamos prestes a começar um assunto totalmente novo, mas antes de ver integrais de linha, precisamos reforçar alguns conceitos essenciais que serão bastante usados. Aqui vamos ver alguns exercícios em que precisamos parametrizar vários tipos de curvas, presta bastante atenção porque essa habilidade é muito importante pra resolver qualquer questão de integral de linha!

Vamos começar por uma pergunta que pode estar surgindo na sua cabeça: O que é parametrizar uma curva?

Bom, nada mais é do que definir os valores de x , y e z de forma independente e em função de um único parâmetro (pode chamar de uma variável também, é o mesmo significado de parâmetro).

Que definição abstrata, me dá um exemplo aí!

Como podemos parametrizar a circunferência x 2 + y 2 = 1 ? Temos aqui uma equação, mas duas variáveis, certo? Após parametrizarmos isso, vamos ficar apenas com um parâmetro! Nesse caso fica

x t = cos   t

y t = sen t

0 t 2 π

Perceba que, para cada valor de t , caímos em um ponto que pertence à circunferência original!

t = 0 x = 1 ,   y = 0

t = π 4 x = 2 2 ,   y = 2 2

t = π 2 x = 0 ,   y = 1

t = 3 π 4 x = - 2 2 ,   y = 2 2

t = π x = - 1 ,   y = 0

Dessa forma, se juntarmos todos os pontos de 0 a 2 π formamos a curva inteira inicial.

É válido informar aqui que toda curva tem infinitas formas de ser parametrizada! Ou seja, o gabarito sempre vai conter uma possibilidade de parametrização, geralmente a mais comum, mas se a que você criou também representa a mesma curva, sua resposta vai estar certa também! Por exemplo:

r t = t , t ,   0 t 2

r t = 2 t , 2 t ,   0 t 1

Essas duas parametrizações representam a mesma reta x = y ,   0 x 2 e ambas estão corretas!

Vamos dar uma olhada agora nas parametrizações mais clássicas: retas, circunferências, elipses e explícita. Sabendo elas, seremos capazes de fazer a maioria dos nossos exercícios.

Revisão – Curvas Clássicas

Retas: Podemos parametrizar qualquer reta sabendo o seu vetor direção V = a , b , c e qualquer ponto pertencente à ela P 0 = x 0 , y 0 , z 0

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

z t = z 0 + c t

r t = x 0 + a t ,   y 0 + b t ,   z 0 + c t

- < t < +

Os limites da reta são infinitos, felizmente quase nunca trabalhamos com retas mas sim segmentos delas, ou seja, vamos ter limites t i n i c i a l t t f i n a l finitos e determinados.

Circunferência/Elipse: A elipse é dada pela seguinte equação

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Ela vai ser parametrizada pela relação fundamental trigonométrica cos 2 t + sen 2 t = 1

x - x 0 2 a 2 = cos 2 t

y - y 0 2 b 2 = sen 2 t

x t = x 0 + a cos t

y t = y 0 + b sen t

0 t 2 π

A circunferência vai ser o caso em que a = b = r , onde r é o raio da própria circunferência, a equação pode ser escrita dessa forma aqui também

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Sua parametrização, pelo mesmo motivo, é dada por

x t = x 0 + r cos t

y t = y 0 + r sen t

0 t 2 π

Parametrização Explícita: Uma estratégia muito usada de parametrizar uma curva de duas dimensões é a forma explícita dessa curva. Nela, a gente escreve uma variável em função da outra, o que algumas vezes dá menos trabalho e é tão eficiente quanto, olha essa parábola aqui por exemplo

y = 4 - x 2

Percebe que y , na própria equação da parábola, já é escrito em termos de x . Nesses casos, não precisamos ter trabalho nenhum, simplesmente dizemos que

x = x

y = 4 - x 2

C x = x , 4 - x 2

Deu pra ver que, no final das contas, só ficamos com um parâmetro mesmo, né? Nesse caso é a letra x , mas isso não faz diferença nenhuma, podemos chamar o parâmetro da letra que quisermos!

Hipérbole: A hipérbole é dada pela seguinte equação

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Ela vai ser parametrizada pela relação fundamental trigonométrica cosh 2 t - s e n h 2 t = 1 (como se todo mundo lembrasse dessa porcaria né).

x - x 0 2 a 2 = cosh 2 t

y - y 0 2 b 2 = sinh 2 t

Então o ramo da hipérbole situado em x > 0 fica:

x t = a cosh t + x 0

y t = b sinh t + y 0

- < t < +

E o ramo situado em x < 0 :

x t = - a cosh t + x 0

y t = b sinh t + y 0

- < t < +

Vale lembrar que o y ficou com o sinh t porque ele era o negativo. Se o x estiver com o sinal negativo a parametrização troca!

Interseção de Superfícies

Essa revisão trouxe as curvas básicas do cálculo, infelizmente, em alguns casos, nossas curvas vão ser um pouco mais difíceis que essas. Alguns exercícios vão pedir pra gente parametrizar interseções de superfícies, nesses casos vamos precisar escolher a estratégia correta para parametrizar a curva.

Lembre-se sempre do princípio básico da parametrização: Precisamos escrever x , y e z em função de um único parâmetro! Vamos ver um exemplo disso aqui pra ficar mais claro do que estamos tratando:

Exemplo: Encontre uma parametrização da curva C resultante da interseção do cilindro z = 1 - x 2 com o plano x + y + z = 1 do ponto 1,0 , 0 até 2,2 , - 3

Primeiramente vamos fazer um esboço dessas superfícies pra ter uma noção da curva que queremos parametrizar.

Obs: Esse passo aqui nem sempre é necessário, mas em muitos casos ele nos ajuda muito a entender o enunciado, vai de cada um optar por fazê-lo ou não. Pessoalmente, eu aconselho a fazer, principalmente nos primeiros exercícios desse tipo.

A curva de interseção dessas duas superfícies é essa aqui

Agora que esboçamos a curva, precisamos analisar as equações do enunciado e, de alguma forma, sumir com as variáveis, deixando tudo em função de apenas uma. Isso muda de exercício para exercício, por isso recomendo que treine bastante isso aqui com exercícios resolvidos, com o tempo a gente começa a perceber semelhanças entre eles.

As equações do nosso exemplo são

x + y + z = 1

z = 1 - x 2

Perceba que z já está escrito em função de x , certo? Se conseguirmos escrever também y em função de x já teremos nossa curva parametrizada da forma explícita! Tentaremos fazer isso com a primeira equação

y = 1 - x - z

Mas sabemos que z = 1 - x 2 , portanto

y = 1 - x - 1 - x 2

y = 1 - x - 1 + x 2

y = x 2 - x

Pronto, parametrizamos a curva! Falta só um detalhe, o enunciado diz também que somente quer o pedaço entre 1,0 , 0 e 2,2 , - 3 . Precisamos, então, definir os limites do nosso parâmetro x .

Para fazer isso, precisamos partir de alguma das nossas varáveis já parametrizadas e que sabemos seu valor no começo e no fim do intervalo. Nesse caso, nos pontos que o enunciado deu, x vai de 1 a 2 , podemos dizer que

1 x 2

Agora sim está tudo pronto

x = x

y = x 2 - x

z = 1 - x 2

1 x 2

1,0 , 0

2,2 , - 3

Pra finalizar, vai aqui outro detalhe importante das curvas, sempre que definimos os limites do parâmetro, definimos também uma orientação da curva, ou seja, quando dizemos que 1 x 2 , necessariamente nossa reta tem esse sentido geométrico:

Se quisermos outro sentido, precisamos parametrizar de outra forma! Por exemplo, o sentido inverso dessa curva seria parametrizado por

x = - t

y = t 2 + t

z = 1 - t 2

- 2 t - 1

Tome muito cuidado com a orientação da sua curva! Pode parecer só um sinal de menos, mas muda bastante coisa e pode tirar ponto na sua prova.

Vamos agora partir pros exercícios pra fixar bem essa ideia na cabeça! Vamos lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009 – Modificado

Parametrize a curva C , fronteira do triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 0,1 , orientada no sentido anti-horário.

Dica: Aqui é preciso parametrizar cada um dos lados do triângulo de forma independente, afinal, cada um deles é um segmento de uma reta diferente.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como já diz a nossa dica, vamos precisar descobrir a equação de cada uma das retas pra poder parametrizar a curva C inteira. Antes de mais nada, vamos esboçar esse triângulo

Beleza, precisamos então, para cada um dos lados do triângulo, encontrar o vetor direção e depois parametrizar o segmento de reta tomando cuidado com o sentido que escolhemos.

Tendo o vetor direção V = ( a , b ) e sabendo o ponto inicial P 0 = x 0 , y 0 , sabemos que a parametrização do segmente vai ser

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

Depois escolhemos x ou y para determinar os limites de t , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar pela reta que se encontra no eixo y , vamos chama-la de C 1 . Ela é o segmento de reta que liga ( 0,1 ) a 0,0 , certo? Seu vetor direção V = B - A

V = 0,0 - 0,1

V = 0 , - 1

É importante lembrar que ( 0 , - 1 ) 0,1 , que seria o vetor no outro sentido, tome cuidado com isso!

Beleza, nessa reta aqui, já temos dois pontos A = 0,1 e B = ( 0,0 ) , podemos escolher qualquer um deles como P 0 , o que vai mudar vão ser os limites de t . Aqui vou fazer os dois casos só pra você ver como fica, nas próximas retas vamos sempre escolher apenas um.

Para o ponto P 0 = A = 0,1 a parametrização fica

y t = 1 - t

x t = 0

Ué? x pode ser igual a zero?! Pode sim! O que isso quer dizer é que, para qualquer valor de t , a coordenada x da reta vai sempre ser zero. Se você olhar pro esboço dá pra perceber que isso é verdade.

E quais os limites de t nesse caso? Vamos ver isso por y , que vai de 1 a 0

y = 1 = 1 - t t = 0

y = 0 = 1 - t t = 1

0 t 1

E se escolhêssemos o outro ponto dessa reta pra fazer a parametrização? Olha só como fica!

A = 0,0

x t = 0

y t = - t

Sendo que y vai de 1 a 0 também, com isso

y = 1 = - t t = - 1

y = 0 = - t t = 0

- 1 t 0

r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

r 1 t = 0 , - t - 1 t 0

Ambas parametrizações estão corretas!

Passo 3

Vamos para o próximo seguimento de reta, chamaremos de C 2 que liga B a C . Para encontramos o vetor direção é só fazer o ponto final menos o inicial, certo?

V = C - B = 1,0 - 0,0

V = 1,0

Escolhendo o ponto P 0 = B = 0,0 para parametrizar essa reta ficamos com

x t = 0 + t = t

y t = 0

De novo um termo é igual a zero e, de novo, isso não é problema! Veja que y realmente sempre é zero nessa reta, tranquilo? Vamos ver os limites de t agora.

Sabemos que x vai de 0 até 1 , portanto

x = 0     t = 0

x = 1     t = 1

0 t 1

r 2 t = t , 0   0 t 1

Passo 4

Vamos para o último segmento de reta C 3 , aquele que liga C a A . Novamente vamos encontrar o vetor direção pela diferença entre os pontos final e inicial

V = A - C = 0,1 - 1,0

V = - 1,1

Escolhendo o ponto P 0 = C = 1,0 para parametrizar a reta, ficamos com

x t = 1 - t

y t = t

Para determinar os limites de t , sabemos que y começa valendo zero no ponto C e termina valendo 1 no ponto A , portanto

y = 0 t = 0

y = 1 t = 1

0 t 1

Veja que, pela parametrização de x

t = 0 x = 1 - 0 = 1

t = 1 x = 1 - 1 = 0

Portanto, de fato essa parametrização leva 1,0 até 0,1 .

r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

Passo 5

Pronto! Agora só juntando tudo pra ficar bonito

C = C 1 C 2 C 3

Onde

C 1 = r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

C 2 = r 2 t = t , 0   0 t 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

Resposta

C = C 1 C 2 C 3

C 1 = r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

C 2 = r 2 t = t , 0   0 t 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a parametrização da curva C dada equação

4 x 2 + y 2 = 4

Respeitando a inequação x y 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá galera, essa curva aí é uma daquelas clássicas dada na teoria, lembra? Quando falamos de elipse e circunferência sempre temos x 2 e y 2 se somando, essa fórmula aqui

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse nosso caso não está igual a 1 , né? Mas isso não é problema, é só dividir por 4 dos dois lados, fica assim

x 2 + y 2 4 = 1

O esboço é esse aqui

Passo 2

Pra parametrizar isso aí a gente usa a relação fundamental da trigonometria

cos 2 t x 2 + sen 2 t y 2 4 = 1

x 2 = cos 2 t

y 2 = 4 sen 2 t

x = cos t

y = 2 sen t

0 t 2 π

Passo 3

Teoricamente essa seria a nossa resposta, só que a questão bota uma outra limitação ali, ela diz que

x y 0

Ué, mas o que isso quer dizer? Pensa o seguinte, na elipse completa os limites de x e y são

- 1 x 1

- 2 y 2

Existem pontos em que o produto de   x por y não dá positivo (maior que zero). Po, então como podemos garantir que x y de fato é positivo?

Bom, vamos ter que fazer um estudo de sinal aqui, pensa só, quando x é positivo e y é positivo, o produto também vai ser positivo! Agora, quando um é positivo e o outro negativo, o produto dá negativo. De forma geral é isso aqui

Então, para que x y 0 , precisamos que x e y sejam positivos ou que ambos sejam negativos. E quando isso acontece? O plano x y é dividido em quatro quadrantes, vamos analisar cada um deles separadamente aqui

No 1º quadrante temos que 0 t π 2 , nessa região x e y são positivos, então o produto x y também é maior que zero

No 2º quadrante temos que π 2 t π , aqui x é negativo e y é positivo, então o produto x y é menor que zero

No 3º quadrante temos que π t 3 π 2 , nessa região x e y são negativos, então o produto x y é maior que zero

No 4º quadrante temos que 3 π 2 t 2 π , nessa região x é positivo e y é negativo, então o produto x y é menor que zero

Portanto, somente no primeiro e no terceiro quadrante temos x y 0 , portanto os limites de t são

t = 0 , π 2 π , 3 π 2

Resposta

x = cos t

y = 2 sen t

t = 0 , π 2 π , 3 π 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

Parametrize a curva C dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + 2 z = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, galera, interseção de superfícies aqui, né? Vamos esboçar tudo aqui antes de mais nada pra visualizar melhor a questão

A curva é essa aqui

Para parametrizar isso vamos ter que analisar as equações das superfícies

x 2 + y 2 = 1

x + y + 2 z = 3

Passo 2

Vamos analisar essa primeira equação do cilindro ali de cima, podemos parametrizar pela equação fundamental da trigonometria

cos 2 t + sen 2 t = 1

x 2 = cos 2 t

y 2 = sen 2 t

x t = cos t

y t = sen t

0 t 2 π

Bem simples até, né? Foi porque escolhemos essa equação, que é uma daquelas clássicas, primeiro! Sempre comece pela equação que é fácil de ser parametrizada, beleza?

Passo 3

Vamos continuar aqui então. Já temos x e y parametrizados, certo? Conseguimos encontrar os parâmetros de z pela equação do plano!

x + y + 2 z = 3

2 z = 3 - x - y

z = 3 - x - y 2

Substituindo os valores de x = cos t e y = sen t

z = 3 - cos t - sen t 2

E pronto, agora só pra organizar, nossa curva pode ser escrita de uma forma única como

σ t = cos t , sen t , 3 - cos t - sen t 2

0 t 2 π

Resposta

σ t = cos t , sen t , 3 - cos t - sen t 2

0 t 2 π

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Parametrize a curva dada pela interseção das superfícies

x 2 + y 2 + z 2 = 4

z = x 2 + y - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar com um esboço dessas superfícies que são um pouco diferentes, né? A primeira é uma esfera de raio 2 e a segunda é a parte superior de um cone deslocado no eixo y . Desenhando fica muito mais fácil de entender, olha só:

Bom, agora precisamos só analisar as equações e encontrar alguma forma de escrever todas as nossas variáveis em função de um único parâmetro. As equações são essas aqui

x 2 + y 2 + z 2 = 4

z = x 2 + y - 1 2

Passo 2

Nesse exercício aqui a gente não tem nenhuma equação facilmente parametrizada direto, né? Vamos ter que tentar juntar as duas retirando alguma variável. Ué, como assim? Dá uma olhada aqui, vou mexer um pouco nessa segunda equação

z = x 2 + y - 1 2

z 2 = x 2 + y - 1 2

Agora vamos substituir esse z 2 na primeira equação lá da esfera!

x 2 + y 2 + z 2 = 4

x 2 + y 2 + x 2 + y - 1 2 = 4

Passo 3

Po, mas assim a gente não consegue visualizar absolutamente nada! Vamos reorganizar essa equação tentando encontrar aquela relação fundamental, lembra? Essa aqui

cos 2 t + sen 2 t = 1

Vamos lá então

x 2 + y 2 + x 2 + y - 1 2 = 4

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 - 2 y + 1 = 4  

2 x 2 + 2 y 2 - 2 y = 3

2 x 2 + 2 y 2 - y = 3

Po, pra transformas esse termo y 2 - y em algo do tipo y - a 2 , vamos descobrir quem vai ser esse a , então

y - a 2 = y 2 - 2 a y + a 2

- 2 a y = - y

a = 1 2

a 2 = 1 4

Reescrevendo a equação lá em cima

2 x 2 + 2 y 2 - y + 1 4 y - 1 2 2 - 1 4 = 3

2 x 2 + 2 y - 1 2 2 - 1 2 = 3

2 x 2 + 2 y - 1 2 2 = 7 2

Quase tudo pronto, agora só falta deixar o termo 1 ali na direita, fica assim

4 7 x 2 + 4 7 y - 1 2 2 = 1

Passo 4

Agora podemos igualar isso à relação cos 2 t + sen 2 t = 1 , com isso

4 x 2 7 = cos 2 t

2 x 7 = cos t

x = 7 2 cos t

Agora para achar a parametrização de y

4 7 y - 1 2 2 = sen 2 t

2 y - 1 2 7 = sen t

y = 7 2 sen t + 1 2

0 t 2 π

Passo 5

Pronto, já temos x e y , agora é só substituir em alguma equação pra achar z . A segunda já temos z isolado, vamos substituir lá mesmo

z = x 2 + y - 1 2

z = 7 2 cos t 2 + 7 2 sen t + 1 2 - 1 2

z = 7 4 cos 2 t + 7 2 sen t - 1 2 2

z = 7 4 cos 2 t + 7 4 sen 2 t 7 4 - 7 2 sen t + 1 4

z t = 2 - 7 2 sen t

Ficou bizarro mas é isso! Pra finalizar vamos colocar tudo junto

x ( t ) = 7 2 cos t

y t = 7 2 sen t + 1 2

z t = 2 - 7 2 sen t

0 t 2 π

Resposta

x ( t ) = 7 2 cos t

y t = 7 2 sen t + 1 2

z t = 2 - 7 2 sen t

0 t 2 π

Exercício Resolvido #5

Enunciado

USP - Cálculo 2 - P1 2012 - 2b – Modificado

Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 . Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Essa superfície S é bem difícil de esboçar, galera, se você não conseguiu não tem problema. A gente vai te mostrar aqui como ela é, mas você pode fazer a questão sem esse esboço. A superfície S é essa aqui

Precisamos da interseção dessa curva com o plano 2 x + y = 2 , o esboço é esse

Vamos precisar analisar as duas equações pra dar um jeito de escrever tudo em função de um parâmetro só, vamos lá?

Passo 2

As equações são essas aqui

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

2 x + y = 2

Vamos tentar isolar algum termo na segunda e substituir na primeira pra ver como fica

y = 2 - 2 x

Tendo y isolado, agora vamos substituir na primeira equação

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 2 - 2 x - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 1 - 2 x 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + 1 - 4 x + 4 x 2 + z 2 = 1

2 x 2 - 4 x + z 2 = 0

2 x 2 - 2 x + z 2 = 0

Precisamos transformar esse termo ( x 2 - 2 x ) em algo da forma x - a 2

x - a 2 = x 2 - 2 a x + a 2 = x 2 - 2 x + a 2

- 2 a x = - 2 x

a = 1

a 2 = 1

Voltando pra equação

2 x 2 - 2 x + z 2 = 0

2 x 2 - 2 x + 1 x - 1 2 - 1 + z 2 = 0

2 x - 1 2 - 2 + z 2 = 0

2 x - 1 2 + z 2 = 2

Não podemos parametrizar ainda com a equação dessa forma, precisamos deixar o termo 1 do lado direito da equação! Não tem problema, só dividir por 2 nos dois lados

2 x - 1 2 + z 2 = 2

x - 1 2 + z 2 2 = 1

Passo 3

Tendo a equação dessa forma, para parametrizar é só relacionar isso com a equação fundamental que diz

cos 2 t + sen 2 t = 1

x - 1 2 = cos 2 t

x = 1 + cos t

z 2 2 = sen 2 t

z = 2 sen t

0 t 2 π

Passo 4

Pronto, agora que temos a parametrização de x e z fica fácil achar a de y , só procurar alguma equação mais fácil e substituir. A equação do plano parece mais simples, né?

y = 2 - 2 x

y = 2 - 2 1 + cos t

y = 2 - 2 - 2 cos t

y = - 2 cos t

Passo 5

Pronto! Só resumindo tudo aqui na resposta e ficamos com a seguinte parametrização

x t = 1 + cos t

y t = - 2 cos t

z t = 2 sen t

0 t 2 π

Resposta

x t = 1 + cos t

y t = - 2 cos t

z t = 2 sen t

0 t 2 π

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