Caso Escalar R³

Teoria Completa

Expandindo o caso escalar para ℝ³

Vamos expandir os conceitos de integral de linha no ℝ² para três dimensões, beleza? O passo a passo pra resolver as questões vai ser o mesmo, as diferenças são essas aqui

Teremos que parametrizar x , y e z , não mais x e y apenas, com isso

σ ( t ) = ( x t ,   y t ,   z t )

Como consequência disso, o termo d s vai ser calculado assim

d s = σ ' t d t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t

Então, sem mistério nenhum, é só seguir o mesmo passo a passo com esse carinha diferente ai de cima. Para ser sincero a maior dificuldade desse tipo de questão é parametrizar as curvas. Então dá uma treinada nisso que você vai tirar de letra. Vamos ver um exemplo aqui

Se te pedirem para calcular ∫ γ   f   d s onde f x , y , z = x + y e γ é a interseção de z = x 2 + y 2 , onde z ≤ 2 , com x = y , onde 0 ≤ y a gente vai fazer assim:

Passo 1: Montar o problema

Vamos utilizar a fórmula

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x + y e

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2  

Mas ainda não sabemos muita coisa, então vamos achar uma por uma.

Passo 2: encontrar a parametrização da curva

Vamos usar as informações que o problema deu. Temos a interseção entre:

z = x 2 + y 2 , onde z ≤ 2

x = y , onde 0 ≤ y

Podemos fazer uma parametrização explícita aqui, olha só:

x = t

y = x = t

z = t 2 + t 2 = 2 t 2

Logo, uma parametrização para a nossa curva seria

σ → = ( t , t , 2 t 2 )

Precisamos do intervalo do parâmetro, então vem comigo!

Isso nós tiramos das informações que estão faltando, z ≤ 2 e y ≥ 0 .

Bom, se z ≤ 2 , podemos dizer que 2 t 2 ≤ 2 , o que nos dá t 2 ≤ 1 , - 1 ≤ t ≤ 1 .

Se y ≥ 0 , temos que t ≥ 0 .

A interseção entre esses dois intervalos nos dá que 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 3: calcular σ → '

Primeiro derivar a parametrização!

d x d t = 1 , d y d t = 1 , d z d t = 4 t

Agora jogar na fórmula:

σ → ' = 1 2 + 1 2 + 4 t 2 = 16 t 2 + 2

Passo 4: Substituir tudo na integral e escrever f em função de t

f x , y , z = x + y

Passa a ser

x + y = 2 t

Então a integral fica

∫ γ   f   d s = ∫ 0 1 2 t 16 t 2 + 2   d t

Agora é só resolver essa integral aí! Achou muita coisa? Então vamos fazer uns exercícios que com a prática você pega melhor.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 209

Calcule ∫ C   ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s , onde C é a hélice definida por σ t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui temos uma integral de linha que é representada por

∫ C f x , y , z d s

Onde f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Nesse caso ele já nos deu a parametrização:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Como já temos a parametrização, podemos passar direto para o cálculo de σ → '

Antes vamos obter as derivadas da parametrização:

d x d t = - sen ⁡ t ,       d y d t = cos ⁡ t ,       d z d t = 1

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 = 2

Passo 3

Vamos obter agora a nossa função em termos de t

x 2 + y 2 + z 2 → cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + t 2 = 1 + t 2

∫ a b 1 + t 2 ⋅ 2 d t =

Jogando tudo na integral, teremos

= 2 ∫ 0 2 π 1 + t 2   d t =

Passo 4

Vamos, então, calcular a integral:

= 2 t + t 3 3 0 2 π =

Resposta

2 2 π + 8 π 3 3

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 552-1. (modificado)

Encontre a massa de um arame que tem a forma da interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e do plano x + z = 0 , se a densidade do arame em x , y , z for x 2 + y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele esta pedindo a massa, então o que nós devemos cálcular é algo no tipo, vê se você concorda:

∫ C δ x , y , z d s

No enunciado ele já dá a densidade δ x , y , z = x 2 + y 2 , então só fica faltando parametrizar a curva e encontrar o d s . Então vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, nós vemos que o plano pode ser escrito como z =   -   x , certo?

Então, jogando na equação da esfera, temos que a projeção no plano x y fica:

x 2 + y 2 + - x 2 = 1 → x 2 + y 2 + x 2 = 1

→ 2 x 2 + y 2 = 1

Que é uma elipse que pode ser parametrizada por:

σ → t = cos ⁡ t 2 , sen ⁡ t ,       0 ≤ t ≤ 2 π

Mas essa é só a projeção e não podemos esquecer a coordenada z da curva:

z = - x → z = - cos ⁡ t 2

Então, finalmente:

σ → t = cos ⁡ t 2 , sen ⁡ t ,   - cos ⁡ t 2 ,       0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Agora podemos calcular as derivadas da parametrização:

d x d t = - sen ⁡ t 2 ,       d y d t = cos ⁡ t ,       d z d t = sen ⁡ t 2

Assim:

σ → ' t = sen 2 ⁡ t 2 + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 2 = 1

Opa! Isso é legal, parece que não vamos ter que calcular nenhuma integral muito complicada. Vamos ver como que vai ficar!

Passo 4

A nossa função em termos de t será:

x 2 + y 2 → cos ⁡ t 2 2 + sen ⁡ t 2

Vamos jogar tudo que achamos naquela fórmula da integral:

∫ 0 2 π cos ⁡ t 2 2 + sen ⁡ t 2   d t

⇒   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t 2   d t + ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t d t

Passo 5

Agora temos que resolver esses monstrinhos!

Lembrando que:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2       e     sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Então:

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t 2   d t + ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t d t = 1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t + 1 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t d t

⇒ 1 4 t + sen ⁡ 2 t 2 │ 0 2 π + 1 2 t - sen ⁡ 2 t 2 │ 0 2 π

= π 2 + π = 3 π 2

Resposta

3 π 2

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