Caso Escalar R²

Teoria Completa

Introdução

O conceito de integral de linha é muito semelhante com o de integral simples, que você já está cansado de ver. Vamos tomar o exemplo abaixo:

∫ a b f ( x ) d x

Você já aprendeu que essa expressão significa que estamos “somando” os valores da função f x dentro de um intervalo [ a ,   b ] , ou seja, com x variando entre a e b . No caso de f ( x ) ser positiva, teríamos uma área desse tipo:

Agora vamos estender um pouco esse conceito. Digamos que queremos fazer esse mesmo “somatório”, dessa vez, não em um intervalo de x , mas sim em uma curva do plano x y . Nesse caso, a nova função será do tipo f x , y = z , pois ela deve estar definida para pontos ( x , y ) , e esse somatório nos daria uma área desse tipo:

É exatamente isso que chamamos de integral de linha. No caso da função f ( x ,   y ) ser positiva, sua integral em uma curva C pode ser interpretada como a área entre a curva e essa função, como na figura acima.

Representamos essa integral dessa forma:

∫ C   f ( x , y ) d s

Onde d s é um pedacinho da curva C , chamamos isso de infinitesimal da curva, da mesma forma que tínhamos o d x como subintervalo de [ a ,   b ] nas integrais simples.

Como calcular?

Agora como calcular essa integral?

Acho que a coisa mais estranha ali é o tal d s , mas vou te convencer que não tem nenhum mistério. Vamos supor que a nossa função seja f x , y = 2 + x 2 y e a curva C seja um círculo de raio 1 e centro na origem.

A primeira coisa que devemos fazer para resolver essa integral é parametrizar a curva. Esse círculo é parametrizado da seguinte forma

  σ → = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t )

Além disso, aquele t varia de 0 a 2 π , ou seja, 0 ≤ t ≤ 2 π . Agora que vem o passe de mágica, na verdade, a fórmula que você deve guardar no seu coração

d s = σ → ' t d t =   d x d t 2 + d y d t 2 d t

Não entendi nada!! Calma, vamos ver aqui no nosso exemplo:

x = cos ⁡ t → d x d t = - sen ⁡ t

y = sen ⁡ t → d y d t = cos ⁡ t

Seguindo a fórmula que eu te passei

d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 = 1  

Uau, que coisa fantástica! É legal mesmo, mas não se anima muito porque nem sempre o d s será um número, ele pode ser uma função, mas tem quer ser sempre uma função apenas de t .

O que a gente faz agora? A gente tem que tentar escrever a nossa função f ( x , y ) com o t .

Lá da parametrização a gente tem

x = cos ⁡ t

y = sen ⁡ t

Substituindo essas expressões na função f ( x , y ) , temos

f x , y = 2 + x 2 y → 2 + cos ⁡ t 2 ( sen ⁡ t )

Agora, está tudo pronto para montar a nossa querida integral

∫ C f x , y d s = ∫ 0 2 π 2 + cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 1 d t

Só para deixar tudo bem explicadinho: os limites de integração vieram dos valores de t lá da parametrização. O termo que está no primeiro parêntese é a f ( x , y ) em termos de t e o segundo parêntese é o d s que a gente calculou.

Agora é só resolver como uma integral simples

= 2 t - cos 3 ⁡ t 3 0 2 π =

= 4 π - 1 3 - 0 - 1 3 =

= 4 π

Viu?! não é tão complicado assim.

Vamos resumir aqui o nosso passo a passo:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Parametrizar a curva

Passo 3: Calcular o d s

Passo 4: Substituir d s na integral e escrever f em função de t

Passo 5: Calcular a integral

Aplicações Importantes

Lembra quando você aprendeu a calcular comprimentos de arcos? Você viu que, sendo S o comprimento da curva C parametrizada em função de t , podíamos calculá-lo assim:

S = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Consegue ver que isso é nada mais que uma integral de linha com a função constante f x , y = 1 ? Ou seja:

S = ∫ C f x , y d s = ∫ a b 1 . σ → ' t d t

Outra aplicação que você deve ter em mente é como calcular a massa de um arame ou fio com densidade linear. A densidade vai ser

δ x , y = d m d s

Isto é,

d m =   δ x , y d s

A massa total pode ser calculada, então, pela integral:

M = ∫ C d m = ∫ C δ x , y d s

Ou seja, a integral de linha da função f x , y = δ x , y .

Na prática, nesses dois casos não muda nada, né? Só o nome das coisas, mas você tem que estar ligado pra saber quando as utilizar. Então, vamos ver uns exercícios pra você ficar esperto!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP - Cálculo 3 - P1 2015 – 2b

Seja C a curva cujo traço é a parte da elipse x 2 3 + y 2 4 = 1 no primeiro quadrante.

Calcule a massa de C, sendo a densidade δ x , y = x y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na teoria, a gente viu que a massa de uma curva é dada pela integral de linha:

∫ C δ x , y d s

A densidade a gente já tem, δ x , y = x y . Então, fica só faltando parametrizar a curva e calcular σ → ' t   d t . Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos deu a equação da elipse da seguinte forma:

x 2 3 + y 2 4 = 1

Pra poder parametrizar isso, vamos precisar usar a relação fundamental trigonométrica que diz isso aqui

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Portanto

x 2 3 = cos 2 ⁡ t

x 2 = 3 cos 2 ⁡ t

x = 3 cos ⁡ t

Agora o mesmo para y

y 2 4 = sen 2 ⁡ t

y 2 = 4 sen 2 ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Ele tem parametrização:

σ → = 3 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t

Mas como só temos o pedaço do primeiro quadrante:

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula de σ → ' t d t :

σ → ' t d t =   d x d t 2 + d y d t 2 d t

Precisamos colocar as derivas da parametrização dentro da raiz, certo? Vamos calcular elas aqui rapidinho então

x t = 3 cos ⁡ t → x ' t = - 3 sen ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t → y ' t = 2 cos ⁡ t

σ → ' = - 3 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2

= 3 sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

= 3 sen 2 ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

= 3 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = cos 2 ⁡ t + 3

E agora é só jogar na integral!

Passo 4

Voltando lá, o que a gente queria calcular era:

∫ a b δ x t , y t ∙ σ → ' t   d t = ∫ 0 π 2 3 cos ⁡ t ∙   2 sen ⁡ t   ∙ cos 2 ⁡ t + 3   d t

Que parece meio estranho de calcular, mas podemos resolver fazendo a substituição:

u = cos 2 ⁡ t + 3

d u = 2 cos ⁡ t ∙ - sen ⁡ t   d t → d t = d u - 2 cos ⁡ t ∙ sen ⁡ t

Então vamos ter:

∫ 3 cos ⁡ t ∙   2 sen ⁡ t   ∙ cos 2 ⁡ t + 3   d t = ∫ - 3 ∙ u   d u