Teoria Completa
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Nosso papo aqui hoje é sobre as integrais de linha em um campo escalar. Se você chegou até essa página é porque precisa aprender esse conteúdo e nós vamos te ajudar nisso.
Conhecimentos Prévios
Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de linha de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou eles deixar aqui embaixo listados👇🏾
O que é uma Integral de Linha
O conceito de integral de linha é bem semelhante com o de integral simples. Nas integrais simples a gente tem uma função $f(x)$ e integramos ela dentro de um intervalo $[a,b]$ e essa integral nos dá a área abaixo da função nesse intervalo. Desse jeitinho aqui:
Agora, na integral de linha, a gente quer integrar uma função, mas não em intervalo de $x$ e sim em uma curva do plano $xy$. Nesse caso, nós temos que o nosso intervalo de integração é uma curva, que varia tanto com $x$ quanto com $y$, então a nossa função integrando será do tipo $f(x,y)=z$, sacou?
A integral de linha pode ser interpretada como a área entre a curva, que chamamos de $C$ e a função, como nessa figura aqui:
Nós representamos a integral de linha dessa maneira aqui:
Onde $ds$ é o que chamamos de infinitesimal da curva, assim como tínhamos o $dx$ na integral simples.
Como calcular uma Integral de Linha?
Essa é a parte importante e que todo mundo quer saber, né? hahaha
Acho que a coisa mais estranha que aparece na integral de linha é aquele $ds$, mas vou te convencer que não tem nenhum mistério.
Para entendermos como calcula, vamos pegar um exemplo. Suponha que a nossa função seja $f(x,y)=2+x^2y$ e que a curva $C$ seja um círculo de raio $1$ e centro na origem.
A primeira coisa que devemos fazer para resolver essa integral é parametrizar a curva. Esse círculo é parametrizado da seguinte forma:
Com o $t$ variando de $0$ à $2\pi$: $0≤t≤2\pi$.
Depois de parametrizar a curva $C$ você vai usar a seguinte fórmula para encontrar o $ds$:
QUE? Entendeu nada, né? hahaha Calma, vamos aplicar no nosso exemplo. Vamos olhar a parametrização que fizemos da curva e definir quem é $x$ e quem é $y$:
Agora, vamos derivar $x$ e $y$ em relação a $t$:
Agora, a gente coloca essa informação na fórmula para $ds$:
E esse é o nosso $ds$.
Após definir o $ds$, o nosso próximo passo é escrever a função $f(x,y)$ em termos de $t$ somente. Lembra que lá na parametrização da curva $C$ nós definimos quem era o $x$ e quem era o $y$?, Então, agora a gente vai pegar esse valor de $x$ e $y$ em função de $t$ e vamos substituir na função, assim:
Agora, está tudo pronto para montar a nossa integral de linha:
Só para deixar tudo bem explicadinho: os limites de integração vieram dos valores de $t$ lá da parametrização. O termo que está no primeiro parêntese é a $f(x,y)$ em termos de $t$ e em seguida temos o $ds$ que a gente calculou.
Agora é só resolver como uma integral simples:
Viu?! Não é tão complicado assim.
Resumo
Vamos fazer aqui um passo a passo para calcular a integral de linha:
PASSO 1: Montar o problema
PASSO 2: Parametrizar a curva $C$
PASSO 3: Calcular o $ds$
PASSO 4: Escrever $f$ em função de $t$
PASSO 5: Substituir $ds$ e $f$ em função de $t$ na integral
PASSO 6: Calcular a integral
Agora vem a hora de praticar e fixar esse conteúdo que aprendemos. Vou deixar em seguida um exercício sobre integrais de linha em campo escalar em vídeo, onde nós do Responde Aí resolvemos o exercício passo a passo junto com você 👇🏾
Exercício (Vídeo)
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Exercício Resolvido #1
Seja a curva cujo traço é a parte da elipse no primeiro quadrante.
Calcule a massa de C, sendo a densidade .
Passo 1
Na teoria, a gente viu que a massa de uma curva é dada pela integral de linha:
A densidade a gente já tem, . Então, fica só faltando parametrizar a curva e calcular . Vamos lá!
Passo 2
O enunciado nos deu a equação da elipse da seguinte forma:
Pra poder parametrizar isso, vamos precisar usar a relação fundamental trigonométrica que diz isso aqui
Portanto
Agora o mesmo para
Ele tem parametrização:
Mas como só temos o pedaço do primeiro quadrante:
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula de
Precisamos colocar as derivas da parametrização dentro da raiz, certo? Vamos calcular elas aqui rapidinho então
E agora é só jogar na integral!
Passo 4
Voltando lá, o que a gente queria calcular era:
Que parece meio estranho de calcular, mas podemos resolver fazendo a substituição:
Então vamos ter:
E aplicando os limites de integração, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um pintor deseja pintar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva no plano dada por , para e . A altura em cada ponto é dada por . Se o pintor cobra reais por , quanto ele receberá?
Passo 1
Lembra que a integral de linha é a área embaixo da curva, onde a altura é dada por ?
Então, essa área vai ser exatamente a área da cerca. E o que ele pede na verdade é:
Onde e é a curva , para e .
Passo 2
Vamos começar achando a parametrização dessa curva. Se ela não tivesse aquele sobre no expoente, poderíamos fazer uma substituição de circunferência.
Então, vamos fazer algo parecido, olhando pra essa equação como a relação trigonométrica
Temos que
Pronto temos a nossa parametrização
Ele diz que pegou a parte positiva de e , então, vamos ter
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da parametrização
Então, calculamos :
Como o enunciado pede e , podemos tirar o módulo e ficar com
Passo 4
Substituindo na integral
Vamos achar a integral ignorando os limites de integração
Fazendo
Substituindo vamos ter
Desubstituindo
Passo 5
A cerca tem em cada lado uma área de , então a área total que ele vai pintar vai ser
O valor gasto vai ser isso vezes
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a integral de linha da função escalar ao longo da curva parametrizada por
Passo 1
A integral de linha vai ser representada assim:
Temos que e pelo próprio enunciado. A parametrização da curva nos dá e .
Passo 2
Começaremos calculando
Passo 3
Agora, calculamos :
Passo 4
Podemos, então, substituir na integral, escrevendo em função de :
Passo 5
Vamos, agora, integrar por partes, chamando e . Temos e .
Chamando, agora, e , temos e e a integral passa a ser:
Substituindo na integral inicial, temos: