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Teoria

Fala, querido! Aqui a gente vai ver como usar o Teorema de Gauss mesmo temos uma singularidade. Como assim? Se liga no exemplo:

Calcule

∬ S   F → . n →   d s

Onde

F → x , y , z = - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1

E S é o cubo de lado 3, centrado na origem, com vetor normal externo a S .

Percebe que calcular essa integral pela definição vai ser chatinho porque o cubo é formado por 4 planos, ou seja, são 4 integrais para fazer. E além disso, esse campo é beem complicado de usar na integral com planos. Vamos usar o Teorema de Gauss, então? Vamo!

Mas temos um problema. Para aplicar Gauss a gente precisa que o campo esteja bem definido no interior da superfície S . Mas no ponto 0,0 , 0 (que fica dentro do cubo) os denominadores das componentes do nosso campo zeram. Isso quer dizer que F → não está definido na origem.

O que a gente faz então? Desiste de calcular essa integral de superfície aí?

Isso mesmo! Não vamos desistir. Esse ponto onde nosso campo não está definido e que está no interior de S nós chamamos de singularidade. A ideia aqui é a gente usar o Teorema de Gauss mesmo tendo essa singularidade dentro da nossa região fechada. Como? Vem ver!

Isolando a Singularidade

Vamos lembrar da fórmulinha do Teorema de Gauss

∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

W é uma região fechada, que tem δ W como fronteira. No nosso caso, a fronteira seria S   (o cubo), e W seria a região dentro dele. Mas nós vimos que tem um problema com essa região W , ela tem uma singularidade, então não podemos usa-la.

A gente precisa de uma nova região W . A ideia aqui é introduzir uma nova superfície nessa situação, que envolva essa singularidade. Sendo que calcular a integral de superfície vetorial dessa nova superfície deve ser algo tranquilo de fazer.

Podemos introduzir, por exemplo, uma esfera de raio 1 e centro na origem. Por que? Cara a equação da esfera é

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Repara que esse termo x 2 + y 2 + z 2 aparece no nosso campo F → . Isso é uma dica que de que a integral de superfície sobre essa esfera vai ser tranquila de calcular. Já já vamos ver o porquê.

Olha como fica nossa situação agora:

Então nossa nova região W agora pode ser a região dentro do cubo, mas fora da esfera. Aí percebe que 0,0 , 0 está dentro da esfera, então nossa nova região W não tem mais singularidade.

Se ela não tem mais singularidade, podemos aplicar Gauss sem problema! Aí já temos W . Mas quem vai ser δ W ? Cara, essa é a superfície que limita nossa região fechada.

Mas percebe que agora, nossa região está limitada pelo cubo S e pela esfera? Então para gente, δ W vai ser um conjunto de duas superfícies:

δ W = S + E s f e r a

Como a gente monta o nosso teorema agora? Tínhamos

∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Vimos que δ W é a soma do cubo S com a esfera. Então ali no lado esquerdo teremos a soma de duas integrais de superfície, uma sobre o cubo e outra sobre a esfera

∬ S   F → . n →   d s + ∬ E s f e r a   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Lembra que em integrais de superfície precisamos dar atenção a orientação das superfícies. E para usar o teorema de Gauss, os vetores normais dessas superfícies precisam apontar para fora da região W .

No enunciado, falamos que o vetor normal ao cubo é externo a ele, então beleza, está apontando para fora de W . Agora pensa na esfera. Se a região W está fora da esfera, os vetores normais a ela precisam apontar para o lado oposto, ou seja, para dentro da esfera.

Pronto, nosso teorema está montando! Como a gente quer calcular a nossa primeira integral, vamos isola-la

∬ S   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V - ∬ E s f e r a   F → . n →   d s

Então o que precisamos fazer é calcular a integral tripla e a integral de superfície da esfera e diminuir uma da outra!

Com ficam os cálculos?

Vamos começar montando a integral tripla.

∭ W   d i v F →   d V

Aí precisamos resolver esse divergente! Que é calculado por

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z

Lembrando que: F → = F x , y , z = - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1

Então:

∂ F 1 → ∂ x =   - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 2 → ∂ y =   2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 3 → ∂ z = 0

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z = 0

Isso nos dá que

∭ W   d i v F →   d V = ∭ W   0   d V = 0

Agora que calculamos a integral tripla, vamos calcular a integral de superfície na esfera, resolvemos assim:

  1. Parametrizar a superfície:Como a superfície é uma esfera de raio 1 vamos usar as primas das coordenadas esféricas. x = s e n ϕ   c o s θ y =   s e n ϕ   s e n θ z = c o s ϕ
  2. Encontrar os limites de integração 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π
  3. Calcular F → φ ϕ , θ . É aqui que a gente percebe que escolher a esfera facilita a nossa vida. Olha como a expressão desse termo vai ficar mais tranquila
  4. F → = - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1

    Como a equação da esfera diz que x 2 + y 2 + z 2 é igual a 1 , só precisamos substituir 1 nesses denominadores com esse termo. E então substituir a parametrização normalmente:

    F → φ ϕ , θ = ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 )

  5. Encontrar n → d s , lembrando que a esfera tem o vetor normal apontando para dentro n → d s = N → d θ d ϕ N → = ∂ φ ∂ θ   X   ∂ φ ∂ ϕ Vamos usar matriz para calcular esse produto: i j k - s e n θ s e n ϕ c o s θ s e n ϕ 0 c o s θ c o s ϕ s e n θ c o s ϕ - s e n ϕ N → = - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ
  6. Como o nosso vetor normal deve apontar para a dentro da esfera, ou seja, apontar para a origem, todas as componentes devem ter sinal negativo, então já achamos nosso vetor certinho: N → = ( - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ )

  7. Agora que já temos F → e N → , vamos calcular a ∬ E s f e r a   F → . n →   d s

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 ) (   - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ ) d ϕ d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 π - s e n ϕ c o s ϕ d ϕ d θ = 0

Agora que ja calculamos a integral tripla e a integral de superfície da esfera, vamos voltar ao teorema de Gauss e substituir os valores encontrados

∬ S   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V - ∬ E s f e r a   F → . n →   d s

∬ S   F → . n →   d s = 0 - 0

Então, nesse caso, temos que:

∬ S   F → . n →   d s = 0

Deu pra pegar o jeitinho?

Então sempre que aparecer uma fração no seu campo, fica de olho se o denominador dela zera no interior de S . Se zerar, cê tem uma singularidade. Aí precisa isolar essa bonita com uma superfície nova para poder usar o Teorema de Gauss, tá bem?

Agora é partir pros exercícios e praticar!!

Com ficam os cálculos?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o campo

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Calcule o fluxo de F através das faces do cubo

W = x , y , z ∈ R 3 | - 2 ≤ x ≤ 2 ,   - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 2 ≤ z ≤ 2

Com vetores normais apontando para dentro.

Passo 1

O campo F é de classe C 1 em R 3 - ( 0,0 , 0 ) . Como a origem do sistema está no interior do cubo W , vamos isolá-la, considerando a esfera S 1 de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região R , que é interior ao cubo e exterior à esfera S 1 .

Chamando de S a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:

∬ S ∪ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z

Onde estamos considerando os vetores normais de d S e de S ∪ S 1 apontando para fora da região R . O divergente de F é dado por

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Usando o F dado no enunciado:

∂ F x ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 3

∂ F y ∂ y = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ F z ∂ z = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F = 3

Então, temos:

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 ∭ R d x   d y   d z = 3   Volume R

Lembrando que a região R é o interior do cubo e o exterior da esfera,

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 4 3 - 4 3 π = 192 - 4 π

Passo 2

Agora vamos calcular

∬ S 1 F ∙ d S → = ∬ S 1 F ∙ n →   d S

Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera S 1 . Observe também que, em cada ponto x , y , z ∈ S 1 , o vetor normal tem coordenadas   n → = ( - x , - y , - z ) . Logo,

F ∙ n → = - 3 x 2 - 1 x 2 + y 2 + z 2

Mas esse denominador x 2 + y 2 + z 2 é o próprio raio da esfera e, portanto, igual a 1. Então,

F ∙ n → = - 3 x 2 - 1

Assim:

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - ∬ S 1 3 x 2 + 1 d S = - ∬ S 1 3 x 2 d S - 4 π

Em coordenadas esférias, temos:

x = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

d S = sen ⁡ ( ϕ )   d θ   d ϕ

θ ∈ 0,2 π

ϕ ∈ 0 , π

Segue que:

∬ S 1 3 x 2 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ( θ ) sen 3 ⁡ ( ϕ ) d θ   d ϕ = 4 π

Consequentemente:

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - ∬ S 1 3 x 2 d S - 4 π

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - 8 π

Somando tudo, levando em conta a mudança do vetor normal:

∬ S F ∙ d S → = 192 - 4 π + 8 π

∬ S F ∙ d S → = 192 + 4 π

Pois o fluxo dessa forma foi obtido com os vetores normais apontando para fora. Como queremos calcular o fluxo com os vetores apontando para dentro, a resposta é

- 192 + 4 π

Resposta

- 192 + 4 π

Exercício Resolvido #2

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , onde

F → x , y , z = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + z 3 3 k →

E S é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , orientada pela normal unitária exterior N → .

Passo 1

Essa função é realmente complicada, se tentarmos parametrizar a superfície S , que é um elipsoide, como temos x 2 + y 2 + z 2 na função F é interessante tentarmos usar o teorema de Gauss, isso porque é de boa escrever a superfície em coordenadas esféricas.

Vamos separar essa F → em duas funções F 1 e F 2 onde

F 1 = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 2

E

F 2 = z 3 3 k

A integral vai ser a soma da integral de superfície de F 1 mais F 2 , vamos aplicar Gauss nas duas mas separamos porque uma vai dar um problema por não ter a origem definida, mas a outra é de boa facin de resolver.

Na F 1 não podemos aplicar o teorema de Gauss direto, mas podemos pegar uma segunda superfície S 2 sendo uma esfera de raio r que vai estar dentro do elipsoide.

S 2 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ r

Ele vai estar dentro porque basta considerarmos r < 1 e os eixos do elipsoide são 1 , 2 e 3 todos maiores ou iguais a 1 , então essa esfera está dentro do elipsoide.

Vamos agora ao teorema de Gauss, primeiro em F 1 .

∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S 2   F 1 → . N → d σ = ∭ W d i v F 1 → d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S ∪ S 2 .

Aplicando, agora, em F 2 , como não temos problemas com a função F 2 é só aplicar o teorema direto

∬ S   F 2 → . N → d σ = ∭ W d i v F 2 → d x d y d z

Onde W é a região que tem como fronteira S .

Passo 2

Vamos começar achando a integral de superfície em F 1

∬ S   F 1 → . N → d σ + ∬ S 2   F 1 → . N → d σ = ∭ W d i v F 1 → d x d y d z

Vamos começar achando a integral de superfície de S 2 , primeiro vamos ver como podemos escrever a parametrização de S 2 que é uma esfera de raio r , então temos

S 2 θ , ϕ = r ∙ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r ∙ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r ∙ cos ⁡ ϕ

S 2 θ , ϕ = r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r cos ⁡ ϕ

Com θ ∈ 0,2 π e ϕ ∈ 0 , π

Vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , ϕ = ∂ S 2 ∂ θ × ∂ S 2 ∂ ϕ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ S 2 ∂ θ = - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

∂ S 2 ∂ ϕ = r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ , - r sen ⁡ ϕ

O vetor normal vai ser

N θ , ϕ = i j k - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - r sen ⁡ ϕ

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 0 j + - r 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j - 0 i

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ - r 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

N θ , ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + - r 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j

Repara que esse vetor esse vetor está todo negativo, isso vai fazer ele sempre apontar para dentro da esfera, então ele está com a orientação correta que queremos que é apontar para fora de W .

Passo 3

Vamos calcular a integral de superfície

∬ S 2   F → . N → d σ

Repara que a função vai ser

F → = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 k →

F → = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2