Teoria Completa
Revisão – Teorema de Gauss
Sendo uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida e um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:
Mas isso só pode ser feito atendendo 3 condições:
- Curva fechada
- Orientada positivamente
- Sem singularidade
Mas se eu te pedir para calcular uma integral de superfície de um campo assim:
Não atende mais as condições né? O que nós fazemos então? Vem comigo que vou te explicar como a gente resolve isso!
Singularidades
Neste tipo vamos aprender como resolver problemas com singularidade no campo. Mas primeiro vamos entender o que é uma singularidade!
Um campo com singularidades é um campo no qual pelo menos um ponto do domínio não está definido. O tipo mais comum de singularidade que conhecemos é a divisão por zero. Então, seja um campo
Concorda comigo que este campo não está definido no ponto ? Porque neste ponto a primeira componente do campo, , não está definida!
Assim, não podemos aplicar o Teorema de Gauss com sólidos cujo esteja no domínio!
Outro caso de singularidade comum é a raiz de números negativos. Como trabalhamos com o conjunto dos números reais, não existe raíz de número negativo, então devemos também ficar atento a este caso!
Nesta ideia de singularidade devemos sempre desconfiar quando encontrar frações e a raízes!
Agora que a gente já pegou o jeito de achar as singularidades vamos voltar ao nosso exemplo inicial, temos que:
Como a gente vai resolver isso?
Isolando a Singularidade
Já sabemos o que são as singularidades, agora iremos ver a ideia usada para que estas singularidades deixem de ser um problema!
No geral, para isolar uma singularidade, devemos pegar superfícies que não incluam estes pontos. Pois o Teorema de Gauss pode ser aplicada para qualquer sólido que tenha aquela borda!
Para isolar a nossa singularidade no nosso exemplo, que é o ponto , a origem, o que vamos fazer é criar uma esfera de raio 1 (pra facilitar nossas contas) que vai envolver esse ponto de singularidade e isolar ela. Mas ai ficamos com 2 superfícies no problema.
Se ao definir esta novo sólido surgir uma nova superfície, devemos ficar atentos para somar esta superfície no Teorema de Gauss. O sinal da nova integral vai depender da orientação dos vetores normais, então devemos ficar atentos a isto também!
Também devemos escolher uma superfície nova que seja fácil de calcular a sua integral!
Onde, é o novo sólido, é a superfície original e é a superfície do novo sólido .
Então no nosso caso, vamos ter que:
Como o que a gente quer calcular a nossa primeira integral, vamos calcular a integral tripla e a integral de superfície esfera e diminuir uma da outra!
Então vamos resolver esse divergente! Que é calculado por
Lembrando que:
Então:
Agora que achamos o divergente, vamos calcular a integral de superfície na esfera, resolvemos assim:
- Parametrizar a superfície:Como a superfície é uma esfera de raio 1 vamos usar as primas das coordenadas esféricas.
- Encontrar os limites de integração
- Calcular
- Encontrar Vamos usar matriz para calcular esse produto:
- Agora que já temos e , vamos calcular a
Mas como essa normal aponta para a origem, todas as componentes tem sinal negativo, então:
Agora que ja calculamos a integral tripla e a integral de superfície da esfera, vamos voltar ao teorema de Gauss e substituir os valores encontrados
Então, nesse caso, temos que:
Deu pra pegar o jeitinho né? Agora é partir pros exercícios e praticar!!
Exercício Resolvido #1
Considere o campo
Calcule o fluxo de através das faces do cubo
Com vetores normais apontando para dentro.
Passo 1
O campo é de classe em . Como a origem do sistema está no interior do cubo , vamos isolá-la, considerando a esfera de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região , que é interior ao cubo e exterior à esfera .
Chamando de a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:
Onde estamos considerando os vetores normais de e de apontando para fora da região . O divergente de é dado por
Usando o dado no enunciado:
Então, temos:
Lembrando que a região é o interior do cubo e o exterior da esfera,
Passo 2
Agora vamos calcular
Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera . Observe também que, em cada ponto , o vetor normal tem coordenadas . Logo,
Mas esse denominador é o próprio raio da esfera e, portanto, igual a 1. Então,
Assim:
Em coordenadas esférias, temos:
Segue que:
Consequentemente:
Somando tudo, levando em conta a mudança do vetor normal:
Pois o fluxo dessa forma foi obtido com os vetores normais apontando para fora. Como queremos calcular o fluxo com os vetores apontando para dentro, a resposta é
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule o fluxo do campo
Através da superfície definida pelas equações
Passo 1
Primeiro vamos fazer um rascunho da imagem para entender melhor o problema!
Passo 2
Está vendo a raiz no campo, bom devemos ficar atentos! Raiz e frações são sinais de singularidades, e aqui temos os dois!
O denominador , deve ser diferente de zero! Então o ponto é uma singularidade.
Como dentro da raiz temos uma soma de quadrados, que é sempre maior que zero, a origem é a única singularidade!
Para retirar esta singularidade vamos definir uma esfera centrada na origem de raio bem pequeno!
Assim, o Teorema de Gauss pode ser aplicado como,
Passo 3
Vamos começar calculando o divergente do campo,
Assim,
Passo 4
Agora precisamos calcular o volume do sólido:
Volume do elipsoide, lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?
Onde são as raízes dos denominadores de , e (os semeixos do elipsoide):
Portanto, como queremos metade do elipsoide:
Volume do cilindro elíptico, a área de uma elipse é dada por:
Onde são as raízes dos denominadores de e (os semeixos da elipse), assim, o volume do cilindro é , com , e
Volume da esfera de raio :
Por fim,
Passo 5
Vamos calcular, , que representa o fluxo do campo que passa pela esfera de raio . Para isso vamos parametrizar a esfera por:
Vamos ver quanto dá esse vetor normal da esfera:
Calculando o produto vetorial:
Para resolver esta integral vamos usar:
Ainda,
Assim, teremos:
Como a normal a esta espera está apontando para fora do sólido, o que significa estar apontando para a origem: