Singularidade

Teoria Completa

Revisão – Teorema de Gauss

Sendo ∂ W uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida W e F → um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em W , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:

∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Mas isso só pode ser feito atendendo 3 condições:

  1. Curva fechada
  2. Orientada positivamente
  3. Sem singularidade

Mas se eu te pedir para calcular uma integral de superfície de um campo assim:

F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Não atende mais as condições né? O que nós fazemos então? Vem comigo que vou te explicar como a gente resolve isso!

Singularidades

Neste tipo vamos aprender como resolver problemas com singularidade no campo. Mas primeiro vamos entender o que é uma singularidade!

Um campo com singularidades é um campo no qual pelo menos um ponto do domínio não está definido. O tipo mais comum de singularidade que conhecemos é a divisão por zero. Então, seja um campo

F x ,   y ,   z = 1 x ,   3 x y ,   7

Concorda comigo que este campo não está definido no ponto x = 0 ? Porque neste ponto a primeira componente do campo, 1 x , não está definida!

Assim, não podemos aplicar o Teorema de Gauss com sólidos cujo x = 0 esteja no domínio!

Outro caso de singularidade comum é a raiz de números negativos. Como trabalhamos com o conjunto dos números reais, não existe raíz de número negativo, então devemos também ficar atento a este caso!

Nesta ideia de singularidade devemos sempre desconfiar quando encontrar frações e a raízes!

Agora que a gente já pegou o jeito de achar as singularidades vamos voltar ao nosso exemplo inicial, temos que:

F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Como a gente vai resolver isso?

Isolando a Singularidade

Já sabemos o que são as singularidades, agora iremos ver a ideia usada para que estas singularidades deixem de ser um problema!

No geral, para isolar uma singularidade, devemos pegar superfícies que não incluam estes pontos. Pois o Teorema de Gauss pode ser aplicada para qualquer sólido que tenha aquela borda!

Para isolar a nossa singularidade no nosso exemplo, que é o ponto ( 0,0 , 0 ) , a origem, o que vamos fazer é criar uma esfera de raio 1 (pra facilitar nossas contas) que vai envolver esse ponto de singularidade e isolar ela. Mas ai ficamos com 2 superfícies no problema.

Se ao definir esta novo sólido surgir uma nova superfície, devemos ficar atentos para somar esta superfície no Teorema de Gauss. O sinal da nova integral vai depender da orientação dos vetores normais, então devemos ficar atentos a isto também!

Também devemos escolher uma superfície nova que seja fácil de calcular a sua integral!

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ ∂ S 2   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

Onde, W ' é o novo sólido, ∂ S 1 é a superfície original e ∂ S 2 é a superfície do novo sólido W ' .

Então no nosso caso, vamos ter que:

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ E s   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

Como o que a gente quer calcular a nossa primeira integral, vamos calcular a integral tripla e a integral de superfície esfera e diminuir uma da outra!

Então vamos resolver esse divergente! Que é calculado por

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z

Lembrando que: F → F 1 , F 2 , F 3 = F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Então:

∂ F 1 → ∂ x =   - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 2 → ∂ y =   2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 3 → ∂ z = 0

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z = 0

Agora que achamos o divergente, vamos calcular a integral de superfície na esfera, resolvemos assim:

  1. Parametrizar a superfície:Como a superfície é uma esfera de raio 1 vamos usar as primas das coordenadas esféricas. x = s e n ϕ   c o s θ y =   s e n ϕ   s e n θ z = c o s ϕ
  2. Encontrar os limites de integração 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π
  3. Calcular F → φ ( θ , ϕ ) = ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 )
  4. Encontrar n → d s n → d s = N → d θ d ϕ N → = ∂ φ ∂ θ   X   ∂ φ ∂ ϕ Vamos usar matriz para calcular esse produto: i j k - s e n θ s e n ϕ c o s θ s e n ϕ 0 c o s θ c o s ϕ s e n θ c o s ϕ s e n ϕ N → = ( c o s θ s e n 2 ϕ , s e n θ s e n 2 ϕ , s e n θ c o s ϕ )
  5. Mas como essa normal aponta para a origem, todas as componentes tem sinal negativo, então: N → = ( - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ )

  6. Agora que já temos F → e N → , vamos calcular a ∬ E s   F → . n →   d s

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 ) (   - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ ) ∫ 0 2 π ∫ 0 π - s e n ϕ c o s ϕ d ϕ d θ = 0

Agora que ja calculamos a integral tripla e a integral de superfície da esfera, vamos voltar ao teorema de Gauss e substituir os valores encontrados

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ E s   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + 0 = 0

Então, nesse caso, temos que:

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s = 0

Deu pra pegar o jeitinho né? Agora é partir pros exercícios e praticar!!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 3 - P2 2009.1 – 4

Considere o campo

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Calcule o fluxo de F através das faces do cubo

W = x , y , z ∈ R 3 | - 2 ≤ x ≤ 2 ,   - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 2 ≤ z ≤ 2

Com vetores normais apontando para dentro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O campo F é de classe C 1 em R 3 - ( 0,0 , 0 ) . Como a origem do sistema está no interior do cubo W , vamos isolá-la, considerando a esfera S 1 de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região R , que é interior ao cubo e exterior à esfera S 1 .

Chamando de S a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:

∬ S ∪ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z

Onde estamos considerando os vetores normais de d S e de S ∪ S 1 apontando para fora da região R . O divergente de F é dado por

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Usando o F dado no enunciado:

∂ F x ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 3

∂ F y ∂ y = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ F z ∂ z = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F = 3

Então, temos:

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 ∭ R d x   d y   d z = 3   Volume R

Lembrando que a região R é o interior do cubo e o exterior da esfera,

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 4 3 - 4 3 π = 192 - 4 π

Passo 2

Agora vamos calcular

∬ S 1 F ∙ d S → = ∬ S 1 F ∙ n →   d S

Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera S 1 . Observe também que, em cada ponto x , y , z ∈ S 1