Singularidade

Teoria Completa

Revisão – Teorema de Gauss

Sendo ∂ W uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida W e F → um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em W , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:

∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Mas isso só pode ser feito atendendo 3 condições:

  1. Curva fechada
  2. Orientada positivamente
  3. Sem singularidade

Mas se eu te pedir para calcular uma integral de superfície de um campo assim:

F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Não atende mais as condições né? O que nós fazemos então? Vem comigo que vou te explicar como a gente resolve isso!

Singularidades

Neste tipo vamos aprender como resolver problemas com singularidade no campo. Mas primeiro vamos entender o que é uma singularidade!

Um campo com singularidades é um campo no qual pelo menos um ponto do domínio não está definido. O tipo mais comum de singularidade que conhecemos é a divisão por zero. Então, seja um campo

F x ,   y ,   z = 1 x ,   3 x y ,   7

Concorda comigo que este campo não está definido no ponto x = 0 ? Porque neste ponto a primeira componente do campo, 1 x , não está definida!

Assim, não podemos aplicar o Teorema de Gauss com sólidos cujo x = 0 esteja no domínio!

Outro caso de singularidade comum é a raiz de números negativos. Como trabalhamos com o conjunto dos números reais, não existe raíz de número negativo, então devemos também ficar atento a este caso!

Nesta ideia de singularidade devemos sempre desconfiar quando encontrar frações e a raízes!

Agora que a gente já pegou o jeito de achar as singularidades vamos voltar ao nosso exemplo inicial, temos que:

F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Como a gente vai resolver isso?

Isolando a Singularidade

Já sabemos o que são as singularidades, agora iremos ver a ideia usada para que estas singularidades deixem de ser um problema!

No geral, para isolar uma singularidade, devemos pegar superfícies que não incluam estes pontos. Pois o Teorema de Gauss pode ser aplicada para qualquer sólido que tenha aquela borda!

Para isolar a nossa singularidade no nosso exemplo, que é o ponto ( 0,0 , 0 ) , a origem, o que vamos fazer é criar uma esfera de raio 1 (pra facilitar nossas contas) que vai envolver esse ponto de singularidade e isolar ela. Mas ai ficamos com 2 superfícies no problema.

Se ao definir esta novo sólido surgir uma nova superfície, devemos ficar atentos para somar esta superfície no Teorema de Gauss. O sinal da nova integral vai depender da orientação dos vetores normais, então devemos ficar atentos a isto também!

Também devemos escolher uma superfície nova que seja fácil de calcular a sua integral!

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ ∂ S 2   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

Onde, W ' é o novo sólido, ∂ S 1 é a superfície original e ∂ S 2 é a superfície do novo sólido W ' .

Então no nosso caso, vamos ter que:

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ E s   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

Como o que a gente quer calcular a nossa primeira integral, vamos calcular a integral tripla e a integral de superfície esfera e diminuir uma da outra!

Então vamos resolver esse divergente! Que é calculado por

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z

Lembrando que: F → F 1 , F 2 , F 3 = F x , y , z = ( - y x 2 + y 2 + z 2 , x x 2 + y 2 + z 2 , 1 )

Então:

∂ F 1 → ∂ x =   - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 2 → ∂ y =   2 x y x 2 + y 2 + z 2 2

∂ F 3 → ∂ z = 0

d i v F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z = 0

Agora que achamos o divergente, vamos calcular a integral de superfície na esfera, resolvemos assim:

  1. Parametrizar a superfície:Como a superfície é uma esfera de raio 1 vamos usar as primas das coordenadas esféricas. x = s e n ϕ   c o s θ y =   s e n ϕ   s e n θ z = c o s ϕ
  2. Encontrar os limites de integração 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π
  3. Calcular F → φ ( θ , ϕ ) = ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 )
  4. Encontrar n → d s n → d s = N → d θ d ϕ N → = ∂ φ ∂ θ   X   ∂ φ ∂ ϕ Vamos usar matriz para calcular esse produto: i j k - s e n θ s e n ϕ c o s θ s e n ϕ 0 c o s θ c o s ϕ s e n θ c o s ϕ s e n ϕ N → = ( c o s θ s e n 2 ϕ , s e n θ s e n 2 ϕ , s e n θ c o s ϕ )
  5. Mas como essa normal aponta para a origem, todas as componentes tem sinal negativo, então: N → = ( - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ )

  6. Agora que já temos F → e N → , vamos calcular a ∬ E s   F → . n →   d s

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( ( s e n θ s e n ϕ , - c o s θ s e n ϕ   , 1 ) (   - c o s θ s e n 2 ϕ , - s e n θ s e n 2 ϕ , - s e n θ c o s ϕ ) ∫ 0 2 π ∫ 0 π - s e n ϕ c o s ϕ d ϕ d θ = 0

Agora que ja calculamos a integral tripla e a integral de superfície da esfera, vamos voltar ao teorema de Gauss e substituir os valores encontrados

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + ∬ E s   F → . n →   d s = ∭ W '   d i v F →   d V

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s + 0 = 0

Então, nesse caso, temos que:

∬ ∂ S 1   F → . n →   d s = 0

Deu pra pegar o jeitinho né? Agora é partir pros exercícios e praticar!!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 3 - P2 2009.1 – 4

Considere o campo

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Calcule o fluxo de F através das faces do cubo

W = x , y , z ∈ R 3 | - 2 ≤ x ≤ 2 ,   - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 2 ≤ z ≤ 2

Com vetores normais apontando para dentro.

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Passo 1

O campo F é de classe C 1 em R 3 - ( 0,0 , 0 ) . Como a origem do sistema está no interior do cubo W , vamos isolá-la, considerando a esfera S 1 de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região R , que é interior ao cubo e exterior à esfera S 1 .

Chamando de S a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:

∬ S ∪ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z

Onde estamos considerando os vetores normais de d S e de S ∪ S 1 apontando para fora da região R . O divergente de F é dado por

d i v F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z

Usando o F dado no enunciado:

∂ F x ∂ x = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 + 3

∂ F y ∂ y = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

∂ F z ∂ z = 1 x 2 + y 2 + z 2 3 2 - 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2

d i v F = 3

Então, temos:

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 ∭ R d x   d y   d z = 3   Volume R

Lembrando que a região R é o interior do cubo e o exterior da esfera,

∬ S F ∙ d S → + ∬ S 1 F ∙ d S → = ∭ R d i v F d x   d y   d z = 3 4 3 - 4 3 π = 192 - 4 π

Passo 2

Agora vamos calcular

∬ S 1 F ∙ d S → = ∬ S 1 F ∙ n →   d S

Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera S 1 . Observe também que, em cada ponto x , y , z ∈ S 1 , o vetor normal tem coordenadas   n → = ( - x , - y , - z ) . Logo,

F ∙ n → = - 3 x 2 - 1 x 2 + y 2 + z 2

Mas esse denominador x 2 + y 2 + z 2 é o próprio raio da esfera e, portanto, igual a 1. Então,

F ∙ n → = - 3 x 2 - 1

Assim:

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - ∬ S 1 3 x 2 + 1 d S = - ∬ S 1 3 x 2 d S - 4 π

Em coordenadas esférias, temos:

x = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

d S = sen ⁡ ( ϕ )   d θ   d ϕ

θ ∈ 0,2 π

ϕ ∈ 0 , π

Segue que:

∬ S 1 3 x 2 d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ( θ ) sen 3 ⁡ ( ϕ ) d θ   d ϕ = 4 π

Consequentemente:

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - ∬ S 1 3 x 2 d S - 4 π

∬ S 1 F ∙ n →   d S = - 8 π

Somando tudo, levando em conta a mudança do vetor normal:

∬ S F ∙ d S → = 192 - 4 π + 8 π

∬ S F ∙ d S → = 192 + 4 π

Pois o fluxo dessa forma foi obtido com os vetores normais apontando para fora. Como queremos calcular o fluxo com os vetores apontando para dentro, a resposta é

- 192 + 4 π

Resposta

- 192 + 4 π

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 308-12.

Calcule o fluxo do campo

F x ,   y ,   z = ( 2 x ,   - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ,   y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 )

Através da superfície S   definida pelas equações

x 2 4 + y 2 9 + z 2 25 = 1     ,                           z ≥ 0 x 2 4 + y 2 9 = 1     ,                     - 3 ≤ z ≤ 0 z =   - 3           ,                                 x 2 4 + y 2 9 ≤ 1

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Passo 1

Primeiro vamos fazer um rascunho da imagem para entender melhor o problema!

Passo 2

Está vendo a raiz no campo, bom devemos ficar atentos! Raiz e frações são sinais de singularidades, e aqui temos os dois!

O denominador x 2 + y 2 + z 2 , deve ser diferente de zero! Então o ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) é uma singularidade.

Como dentro da raiz temos uma soma de quadrados, que é sempre maior que zero, a origem é a única singularidade!

Para retirar esta singularidade vamos definir uma esfera centrada na origem de raio R bem pequeno!

Assim, o Teorema de Gauss pode ser aplicado como,

∬ S 1   F → . n →   d S + ∬ S   F → . n →   d S = ∭ W   ∇ ⋅ F →   d V

Passo 3

Vamos começar calculando o divergente do campo,

∇ ⋅ F =   ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ ⋅ F = 2 + y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + - y z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 = 2

Assim,

∭ W   ∇ ⋅ F →   d V = 2 ⋅ V W

Passo 4

Agora precisamos calcular o volume do sólido:

Volume do elipsoide, lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

V o l u m e e l i p s o i d e = 4 3 π   a b c

Onde a , b , c são as raízes dos denominadores de x 2 , y 2 e z 2 (os semeixos do elipsoide):

a = 2

b = 3

c = 5

Portanto, como queremos metade do elipsoide:

V e = 1 2 4 3 π   a b c = 20 π  

Volume do cilindro elíptico, a área de uma elipse é dada por:

a e = π a b

Onde a , b são as raízes dos denominadores de x 2 e y 2 (os semeixos da elipse), assim, o volume do cilindro é V c = π a b H , com a = 2 , b = 3 e H = 3 :

V c = π a b H = π ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 π

Volume da esfera de raio R :

V e s f = 4 3 π R 3

Por fim,

2 ⋅ V w = 2 ⋅ 20 π + 18 π - 4 3 π R 3 = 76 π - 8 3 π R 3

Passo 5

Vamos calcular, ∬ S 1   F → . n →   d S , que representa o fluxo do campo que passa pela esfera de raio R . Para isso vamos parametrizar a esfera por:

φ θ , ϕ = ( R s e n ϕ c o s θ ,   R s e n ϕ s e n θ ,   R c o s ϕ )

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Vamos ver quanto dá esse vetor normal da esfera:

∂ φ ∂ ϕ = Rcos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , R s e n θ cos ⁡ ϕ , - R s e n ϕ

∂ φ ∂ θ = - R s e n θ s e n ϕ , Rcos ⁡ θ s e n ϕ , 0

Calculando o produto vetorial:

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ = i j k Rcos ⁡ θ cos ⁡ ϕ R s e n θ cos ⁡ ϕ - R s e n ϕ - R s e n θ s e n ϕ Rcos ⁡ θ s e n ϕ 0

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ =   R 2 s e n 2 ϕ cos ⁡ θ , R 2 s e n 2 ϕ s e n θ , R 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ

n → =   ∂ φ ∂ ϕ × ∂ φ ∂ θ =   R 2 s e n ϕ s e n ( ϕ ) cos ⁡ θ , s e n ( ϕ ) s e n θ , cos ⁡ ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S =   ∬ S 1   2 R s e n ϕ c o s θ ,   - c o s ϕ ,   s e n ϕ s e n θ ⋅ R 2 s e n ϕ s e n ϕ cos ⁡ θ , s e n ϕ s e n θ , cos ⁡ ϕ d S

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ - R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ + R 2 s e n 2 ϕ c o s ϕ s e n θ ) d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( 2 R 3 s e n 3 ϕ cos 2 ⁡ θ ) d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ 1 + c o s 2 θ 2 d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 2 R 3 s e n 3 ϕ θ 2 + s e n 2 θ 4 0 2 π d θ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = π ∫ 0 π 2 R 3 s e n 3 ϕ d ϕ

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 ∫ 0 π s e n 2 ϕ s e n ϕ d ϕ

Para resolver esta integral vamos usar:

u = c o s ϕ

d u = - s e n ϕ d ϕ

Ainda,

s e n 2 ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 1 - u 2

Assim, teremos:

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 ∫ 1 - 1 u 2 - 1 d u

∬ S 1   F → . n →   d S = 2 π R 3 u 3 3 - u 1 - 1 = 8 π R 3 3

Como a normal a esta espera está apontando para fora do sólido, o que significa estar apontando para a origem:

∬ S 1   F → . n →   d S = - 8 π R 3 3