1.

Seja

F → x , y , z = 4 ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + x , y , x 2

Calcule ∬ S   F → ∙ n → d S , onde S é a parte do parabolóide z = 1 - x 2 - y 2 com x 2 + y 2 ≤ 1 , orientada com a normal unitária n → 0,0 , 1 = ( 0,0 , 1 ) .

Resolução
2.

Considere o campo

F = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + 3 x , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2

Calcule o fluxo de F através das faces do cubo

W = x , y , z ∈ R 3 | - 2 ≤ x ≤ 2 ,   - 2 ≤ y ≤ 2 ,   - 2 ≤ z ≤ 2

Com vetores normais apontando para dentro.

Resolução
3.

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , onde

F → x , y , z = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + z 3 3 k →

E S é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , orientada pela normal unitária exterior N → .

Resolução
4.

Calcule o fluxo do campo

F x ,   y ,   z = ( 2 x ,   - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ,   y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 )

Através da superfície S   definida pelas equações

x 2 4 + y 2 9 + z 2 25 = 1     ,                           z ≥ 0 x 2 4 + y 2 9 = 1     ,                     - 3 ≤ z ≤ 0 z =   - 3           ,                                 x 2 4 + y 2 9 ≤ 1

Resolução
5.

Calcule

∬ S   F → ∙ n → d S

onde

F → x , y , z = ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + x , 0,0

e S é parte da superfície z = 4 - 2 x 2 - y 2 com z ≥ 0 , orientada de modo que n → é tal que n → . k → > 0 .

Resolução
6.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 e S é parte da superfície x 2 + y 2 = z + 1 2 entre z = 0 e z = 2 , orientada de modo que N → . k → > 0 .

Resolução
7.

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , onde

F → x , y , z = x i → + y j → + z k → x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + z 3 3 k →

E S é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , orientada pela normal unitária exterior N → .

Resolução
8.

Seja

F → x , y , z = 4 ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + x , y , x 2

Calcule ∬ S   F → ∙ n → d S , onde S é a parte do parabolóide z = 1 - x 2 - y 2 com x 2 + y 2 ≤ 1 , orientada com a normal unitária n → 0,0 , 1 = ( 0,0 , 1 ) .

Resolução
9.

Sejam

F → x , y , z = ( x , y , z ) 4 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + ( 0,0 , z 3 )

E S parte do paraboloide z = 5 - x 2 - y 2 , com z ≥ 0 , orientada com N → 0,0 , 5 = k → . Calcule:

∬ S F → ∙ N → d S

Resolução
10.

Calcular o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = x ,   y - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 3 2 ,   z + y 2 x 2 + y 2 + z 2 2 3 2 ,  

através da superfície S = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   z ≥ 0   orientada pelo vetor noraml n →   tal que n → . 0,0 , 1 > 0 .

Resolução
11.

Seja

F → = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x ,   y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + y ,   z x 2 + y 2 + z 2 3 2 + z

Calcular ∬ S F   n   d S   ode S é o cilindro fechado dado pela união S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 onde

1. S 1 é a superfície lateral x 2 + y 2 = 4 ,   para - 1 ≤ z ≤ 1

2. S 2 é a tampa superior, x 2 + y 2 ≤ 4 ,   para z = 1 .

3. S 3 é a tampa inferior, x 2 + y 2 ≤ 4 ,   para z = - 1 .

e S é orientada com a normal n →   saindo.

Resolução
12.

Considere o campo F → x , y , z = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 3 .   Analise as seguintes afirmações:

(I) Se S é o elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , com a , b , c > 0 orientado pela normal exterior N → então ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 4 π a b c

(II) Se S é a esfera x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 orientada pela normal unitária exterior N → então ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 0

(III) Se S é o cubo de vértices ± 1 , ± 1 , ± 1 orientado pela normal unitária exterior N → , então ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = 4 π

Podemos afirmar que:

a) apenas a afirmação (I) é verdadeira.

b) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

c) apenas a afirmação (III) é verdadeira.

d) apenas a afirmação (II) é verdadeira.

e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Resolução
13.

Considere o campo vetorial em R 3 - 0,0 , 0 definido por

F → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 , y x 2 + y 2 + z 2 3 , z x 2 + y 2 + z 2 3

(a) Calcule o divergente do campo F →

(b) Calcule diretamente o fluxo de F → através da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , em relação ao campo normal que aponta para fora da esfera

(c) Explique porque não é correto usar o Teorema da Divergência para efetuar o cálculo acima.

(d) Calcule o fluxo de F → através do elipsoide 4 x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 = 36 , em relação ao campo normal que aponta para fora do elipsoide.

Sugestão: Aplique o Teorema da Divergência na região do espaço limitada pelas superfícies do elipsoide e da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1

Resolução
14.

Sejam

F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   z 4 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 3 / 2   + 4 x y 2 ,   y z 2 ,   25 x 2 z

e S a superfície do elipsoide 25 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 , com vetor normal unitário orientado para fora de S . Calcular o fluxo do campo F → através de S .

Resolução
15.

Questão 5) Sejam r → = x i → + y j → + z k → , r = r → (magnitude do vetor) e S uma superfície fechada qualquer contendo a origem. Calcule

∬ S   r → r 3 ⋅ d S →

Resolução
16.

Seja

F → x , y , z = x x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + x ,   y x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + y , z x 2 +   y 2 +   z 2 3 2 + z .

Calcular ∬ s F   → . n → d S   onde S é a esfera x - 1 2 + y 2 + z 2 = 9 , orientada com a normal n → saindo.

Resolução

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